一個(gè)偶然的發(fā)現(xiàn)

陳德華

一、 提出問(wèn)題

在學(xué)習(xí)乘法公式：（a±b）2=a2±2ab+b2時(shí)，老師給出了這樣一道題目：若a+b=5，ab=6，則a2+b2=_______，a-b=_______.

老師讓我們分組討論、分析解題的思路，很多同學(xué)“連碰帶猜”，用特殊值不斷進(jìn)行“試驗(yàn)”. 同組的小王的想法是：因?yàn)?+2=

5，3×2=6，所以a=3，b=2，故a2+b2=13，a-b=1. 但同學(xué)小李卻有不同的看法：如果a=2，b=3呢，那么a-b的值就等于-1了.

有沒(méi)有一種通法，能直接求出所有滿足題意的解呢？老師讓我們結(jié)合乘法公式進(jìn)行探究，我們小組的同學(xué)經(jīng)過(guò)充分討論后決定對(duì)（a+b）和（a-b）進(jìn)行平方，因?yàn)檫@樣變化后，就會(huì)出現(xiàn)a2+b2和ab，從而溝通了它們之間的關(guān)系. 我舉手提出了我們小組的想法，老師首先充分肯定了我們的思路，并鼓勵(lì)我們把探究的過(guò)程展示出來(lái).

歸納起來(lái)就是三句話：兩數(shù)的平方和等于兩數(shù)和的平方減去它們積的2倍或兩數(shù)差的平方加上它們積的2倍；兩數(shù)和的平方與差的平方之和等于它們平方和的2倍；兩數(shù)和的平方與差的平方之差等于它們積的4倍.

讓我們把問(wèn)題中的已知條件代入，看結(jié)論是否得到驗(yàn)證. 把a(bǔ)+b=5，ab=6代入公式一得：a2+b2=52-2×6=13；再把a(bǔ)2+b2=13、ab=6代入公式二得：13=（a-b）2+2×6，所以（a-b）2=1；若把a(bǔ)+b=5、a2+b2=13代入公式三得：52+（a-b）2=2×13，所以（a-b）2=1；若把a(bǔ)+b=5，ab=6代入公式四得：52-（a-b）2=4×6，所以（a-b）2=1. 所以a-b=±1，結(jié)論都能得到驗(yàn)證.

三、 運(yùn)用結(jié)論

課后練習(xí)時(shí)，我發(fā)現(xiàn)還有幾道題目可運(yùn)用公式一和公式二解決，你不妨也來(lái)試一試.

通過(guò)這節(jié)課的探究，我深深地體會(huì)到，學(xué)習(xí)的過(guò)程實(shí)際上就是一個(gè)鉆研和探索、歸納的過(guò)程，也是一個(gè)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程. 可見，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)只有享受過(guò)程，才能有所收獲！

（指導(dǎo)教師：趙 軍）