孫翔

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)的有效媒介，其在解直角三角形中的運(yùn)用也非常廣泛，在此僅舉一些簡(jiǎn)單事例如下：

一、 數(shù)形結(jié)合思想

在解直角三角形時(shí)，應(yīng)該通過(guò)畫(huà)圖來(lái)幫助分析解決問(wèn)題，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想加深對(duì)解直角三角形本質(zhì)的理解.

例1 已知tanA=，求sinA的值.

【分析】此已知條件可轉(zhuǎn)化為：已知在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，求∠A的正弦值.

解：如圖1，若設(shè)AC=4k，BC=3k，那么必有AB=5k，所以sinA==.

二、 方程思想

方程思想就是從分析問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，適當(dāng)設(shè)定未知數(shù)，把已知量與未知量之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程（組）模型，從而使問(wèn)題得到解決的思維方法.

例2 如圖2，已知∠C=90°，AB=26，∠CBD=45°，∠DAC=30°，求BC的長(zhǎng).

【分析】圖形中有 Rt△DAC和Rt△DBC，但是沒(méi)有一個(gè)直角三角形條件夠用，原因是AB=26不屬于任何一個(gè)直角三角形，可以通過(guò)設(shè)BC=x，則AC=x+26，讓字母參與運(yùn)算，最后列方程求解.

解：設(shè)BC=x，

∵∠CBD=45°，∠C=90°，∴BC=CD=x，

在Rt△DAC中，∠DAC=30°，AC=x+26，

tan30°=，3x=（x+26），

x=，x=13（+1），

∴BC=13（+1）.

三、 轉(zhuǎn)化思想

解直角三角形時(shí)，在某些問(wèn)題的圖形中你根本看不到直角三角形，這時(shí)需根據(jù)條件通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的問(wèn)題，然后利用直角三角形的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題.

例3 如圖3所示，在四邊形ABCD中，AB=8，BC=1，∠BAD=30°，∠ABC=60°，四邊形ABCD的面積為5，求AD的長(zhǎng).

【分析】顯然四邊形ABCD中有特殊角∠DAB和∠CBA，且它們互余，延長(zhǎng)AD、BC相交于點(diǎn)E，可得Rt△AEB.

解：延長(zhǎng)AD、BC相交于點(diǎn)E，則∠E=180°-30°-60°=90°，

在Rt△ABE中，sin30°=，cos30°=，

由此可得BE=4，AE=4，CE=3.

S四邊形ABCD=S△ABE-S△CED=×4×4-×3DE=5，

∴DE=2，AD=AE-DE=2.

例4 如圖4所示，在△ABC中，∠B=60°，且∠B所對(duì)的邊b=1，AB+BC=2，求AB的長(zhǎng).

【分析】欲求AB的長(zhǎng)，但題目是斜三角形，且已知條件非常分散，所以若想用到角的條件，必須構(gòu)造直角三角形，作BC上的高AD，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解直角三角形.

解：作AD⊥BC于點(diǎn)D，設(shè)BD=x，在Rt△ABD和Rt△ACD中，

∵∠B=60°，

∴AB=2x，AD=x，

DC==，

∴AB+BC=2x+x+=3x+=2，解得：x=.

經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根，則AB=2x=1.

四、 參數(shù)思想

例5 如圖5，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是AC上的一點(diǎn)，且AD∶DC=1∶3，求tan∠DBC的值.

【分析】此題在條件中沒(méi)有給出有關(guān)線段的長(zhǎng)度，但已知比值，因此可根據(jù)已知條件中的比值1∶3引進(jìn)參數(shù)假設(shè)有關(guān)線段的長(zhǎng)度，進(jìn)行求解.

解：作DE⊥BC于點(diǎn)D，并設(shè)AD=k，則DC=3k，AB=AC=4k.

∵∠A=90°，∴BC=AC=4k，又∠C=45°，

∴∠EDC=45°，DE=EC，

在Rt△DEC中，DE2+EC2=DC2，

設(shè)DE=x，則x2+x2=9k2，

x2=k2，x=k（負(fù)值舍去），

∴DE=EC=k，

∴BE=BC-EC=4k-k=k，

∴tan∠DBC===.

五、 分類(lèi)討論思想

分類(lèi)討論思想就是針對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的共性與差異性，將其分為不同種類(lèi). 要做到成功分類(lèi)，要注意兩點(diǎn)：一是要有分類(lèi)意識(shí)，善于從問(wèn)題的情景中抓住分類(lèi)的對(duì)象；二是找出科學(xué)合理的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，滿足不重不漏的原則.

例6 在△ABC中，AB=2，AC=，∠B=30°，求∠BAC的度數(shù).

【分析】原題沒(méi)有給出圖形，隱含了可能的條件，滿足要求的三角形有兩種情形，需要分類(lèi)討論.

解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC交BC（或延長(zhǎng)線）于點(diǎn)D，

在Rt△ABD中，∠BAD=60°，

sin30°===，

所以AD=1，

在Rt△ACD中，

cos∠CAD==，

所以∠CAD=45°，

如圖6，∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+45°=105°，

或如圖7，∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-45°=15°.

六、 建模的思想

解直角三角形在生產(chǎn)、生活中有著廣泛地應(yīng)用，這就要求我們能從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)去分析、構(gòu)建直角三角形模型.

例7 如圖8，天空中有一個(gè)靜止的廣告氣球C，從地面A點(diǎn)測(cè)得C點(diǎn)的仰角為45°，從地面B點(diǎn)測(cè)得C點(diǎn)的仰角為60°. 已知AB=20 m，點(diǎn)C和直線AB在同一鉛垂平面上，求氣球離地面的高度.（結(jié)果保留根號(hào)）

【分析】本題是測(cè)量問(wèn)題，可通過(guò)作CD⊥AB構(gòu)建直角三角形模型進(jìn)行求解.

解：作CD⊥AB，垂足為D，設(shè)氣球離地面的高度是 x m，

在Rt△ACD中，∠CAD=45°，

所以AD=CD=x，

在Rt△CBD中，∠CBD=60°，

所以tan60°=，所以BD=x，

因?yàn)锳B=AD-BD，

所以20=x-x，

所以x=30+10，

所以氣球離地面的高度是（30+10）m.

（作者單位：江蘇省泗洪縣第一實(shí)驗(yàn)學(xué)校）