舒俊江

現(xiàn)實(shí)世界中，空間形式和數(shù)量之間有著多種多樣的聯(lián)系，經(jīng)過人類不斷地研究和探索，發(fā)現(xiàn)其中某些關(guān)系，再由人們不斷提煉逐漸形成一種思想、在這些思想中就蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)思想，它是對數(shù)學(xué)事實(shí)和數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)認(rèn)識(shí).基本數(shù)學(xué)思想如：分類討論思想、函數(shù)與方程思想，等等，它們在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中具有奠基性和總結(jié)性，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，數(shù)學(xué)思想運(yùn)用得當(dāng)，就能在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力方面發(fā)揮方法論的作用.下面我就結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)方法談?wù)勛约旱恼J(rèn)識(shí).

一、數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)

（一）數(shù)形結(jié)合的含義.

數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法.數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用，大致分為兩種基本形式：一是“形”的問題轉(zhuǎn)化為用數(shù)量關(guān)系解決，它往往把技巧性極強(qiáng)的推理論證轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系解決，起到化難為易的作用.二是“數(shù)”的問題轉(zhuǎn)化為形狀的性質(zhì)解決，它往往具有直觀性，易于理解和接受的優(yōu)點(diǎn).總之，數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助教”、“以數(shù)解形”，將復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，是數(shù)的規(guī)律性和靈活性的有機(jī)結(jié)合.

（二）數(shù)形結(jié)合的原則.

1.等價(jià)性原則

數(shù)形結(jié)合時(shí)，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價(jià)的，否則解題將會(huì)出現(xiàn)漏洞.有時(shí)由于圖形的局限性，不能完整地表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時(shí)圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明，但它同時(shí)是抽象而嚴(yán)格證明的誘導(dǎo).

2.雙向性原則

在數(shù)形結(jié)合時(shí)，既要進(jìn)行幾何直觀的分析，又要進(jìn)行代數(shù)抽象的探索，兩方面相輔相成.僅對代數(shù)問題進(jìn)行幾何分析或只對幾何問題進(jìn)行代數(shù)分析，在很多時(shí)候是很難行得通的.

3.簡單性原則

找到解題思路之后，至于用幾何方法還是用帶數(shù)方法，或者兼用兩種方法敘述解題過程，則取決于哪種方法更簡單，而不是刻意追求一種流行的模式——代數(shù)問題運(yùn)用幾何方法，幾何問題尋找代數(shù)方法.

二、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用

例1.A、B兩村子在河的同側(cè)，且A、B村到河的距離分別為1千米、3千米，A、B兩村的水平距離為3千米，現(xiàn)要在河邊修一抽水站向A、B兩村送水，鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用是每千米2.2萬元，如果國家撥款10萬元，試問這兩個(gè)村至少還需要自籌資金多少元，才能把水管鋪到兩村？

分析：運(yùn)用軸對稱知識(shí)，如圖1-1所示.

圖1-1

1.作點(diǎn)A、B關(guān)于直線C、D的對稱點(diǎn)A■、B■.

2.連接A■B兩點(diǎn)交直線CD于點(diǎn)P.

3.任取P以外點(diǎn)P■.

由幾何知識(shí)可知，AP■=A■P■，AP=A■P，AP■+P■B=A■P■+P■B>A■B，即A、B兩點(diǎn)間直線距離最短，即點(diǎn)P就是河邊修建抽水站的地方.

根據(jù)勾股定理：A■B=■=■=5（千米），

所以兩個(gè)村至少還需要自籌資金為：5*2.2-10=1（萬元）.

評述：此例表明，P■在CD上移動(dòng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)P■與P點(diǎn)重合時(shí)，AP■+B■P=AP+BP的值最小.

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，簡化了解題過程，而且開闊了思維視野，有利于對所用知識(shí)的理解和鞏固.

同時(shí)，此例可以變成如下例子：

例2.已知x+y=3，且x>0，y>0，求x、y為何值時(shí)，■+■有最小值？

根據(jù)上例運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，按等價(jià)性原則進(jìn)行代數(shù)與幾何的轉(zhuǎn)換，使問題變得主動(dòng)和直觀.

分析：設(shè)AC=1，BD=3，CD=x+y=3，如圖1-2.

1.作A點(diǎn)關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn).

2.連接A■、B兩點(diǎn)交直線CD于點(diǎn)P.

求x、y為何值時(shí)，■+■有最小值，即

變?yōu)镃D上求一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小.

解：因?yàn)锳C=A■C=1，BD=3，

圖1-2

又因?yàn)锳■C/BD=CP/PB=1/3，所以CP=3/4，PD=9/4，

即x=3/4，y=9/4時(shí)，■+■有最小值.

評述：通過認(rèn)真分析問題的“題設(shè)”與“結(jié)合”特征，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，處理以上類似數(shù)學(xué)問題，體現(xiàn)了以形助數(shù)、以數(shù)解形.不難發(fā)現(xiàn)，我們還可以做以下一般性推廣.

例3.已知x+y=p（p>0），且x>0，y>0，求x、y為何值時(shí)，■+■有最小值？

三、數(shù)形結(jié)合思想的幾點(diǎn)思考

（一）數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)及基本方法是怎樣的一個(gè)關(guān)系.

數(shù)學(xué)思想即認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)處理數(shù)學(xué)問題發(fā)熱基本觀點(diǎn)，而觀點(diǎn)的形成又是人們在長期的學(xué)習(xí)中反復(fù)應(yīng)用提煉逐步產(chǎn)生的，它來源于數(shù)學(xué)基本知識(shí)與基本方法，同時(shí)高于知識(shí)與方法，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想能使知識(shí)向更深更高層次發(fā)展.例如在以上例子中，運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想把式子轉(zhuǎn)化為直觀圖形，變復(fù)雜為簡單.長期反復(fù)地訓(xùn)練，學(xué)習(xí)就會(huì)由自發(fā)變?yōu)樽杂X，在處理問題時(shí)會(huì)主動(dòng)自覺地運(yùn)用，調(diào)用這樣的方法與手段貫徹實(shí)現(xiàn)用這種思想解決問題.

（二）數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)逐步滲透.

學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解決數(shù)學(xué)問題，是逐步熟練提高的過程，教師應(yīng)對學(xué)生進(jìn)行多次的數(shù)形結(jié)合思想滲透，不斷發(fā)展學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合的思想，進(jìn)而使學(xué)生逐漸形成在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候有效運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的意識(shí).必須使學(xué)生充分明白，要想利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，就必須找準(zhǔn)二者的契合點(diǎn)，然后根據(jù)相應(yīng)對象的屬性，將數(shù)與形進(jìn)行巧妙結(jié)合，進(jìn)而相互間進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化，這樣才能真正有效地解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.總之，引導(dǎo)學(xué)生不斷地進(jìn)行規(guī)律探索，從特殊到一般，進(jìn)而歸納并總結(jié)一般性的結(jié)論.

（三）創(chuàng)造良好的課堂氛圍，有利于學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的學(xué)習(xí)和掌握.

創(chuàng)造良好的課堂氛圍，教師要在課堂教學(xué)中處處要求自己，以身作則，用自己的威望影響全班學(xué)生，給全班學(xué)生以積極的情緒體驗(yàn).教師的情緒、情感具有感染性，它能使學(xué)生受到潛移默化的影響.教學(xué)的趣味性，同樣也有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.營造濃厚的學(xué)習(xí)氛圍，教學(xué)內(nèi)容難易要適度，由淺入深，學(xué)生經(jīng)過積極努力，最后難題也容易解答，此時(shí)，他們就會(huì)體驗(yàn)到隨之而來的幸福和喜悅，為自己的智慧、毅力和力量而信心大作，從而學(xué)習(xí)興趣更濃厚，教師還應(yīng)從學(xué)生非言語行為（表情、目光、動(dòng)作、姿勢）中了解學(xué)生的思想動(dòng)態(tài).教師一句熱情而富有鼓勵(lì)性的話，一個(gè)親切信任的眼神，都能引起學(xué)生的興奮感、責(zé)任感，使其形成積極的心理狀態(tài).這種良好的氣氛對數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)或其他教學(xué)思想的教學(xué)都會(huì)產(chǎn)生非常積極的作用.

參考文獻(xiàn)：

[1]張必華.重視通性通法滲透數(shù)學(xué)思想.

[2]初中數(shù)學(xué)教與學(xué).2013（5）.