“變教為學(xué)”需要螺旋上升的學(xué)習(xí)活動

郜舒竹

任何人學(xué)習(xí)任何知識都不可能“看見就會，聽到就懂”。就一節(jié)課的學(xué)習(xí)過程來說，應(yīng)當(dāng)是“感知、思考、交流”等環(huán)節(jié)“循環(huán)往復(fù)，螺旋上升”的過程（見圖1）。

這種“循環(huán)往復(fù)，螺旋上升”并不是依賴教師告知的過程，而是學(xué)生自己逐步“自悟”的過程，是一個從開始的“迷惑”逐步走向“清晰”的過程。期間至少應(yīng)當(dāng)包括四個層次，第一是“明確問題，產(chǎn)生動機(jī)”;第二是“過程方法，獲得結(jié)論”;第三是“多樣比較，錯誤辨析”;第四是“關(guān)聯(lián)應(yīng)用，總結(jié)提升”。

一、明確問題，產(chǎn)生動機(jī)

學(xué)習(xí)過程起始階段的“感知”，通常是學(xué)生利用感覺器官獲取信息的活動，比如觀察的活動、操作的活動、傾聽的活動等等。在這樣的感知活動中，不同的學(xué)生會形成不同的“關(guān)注點”，同時產(chǎn)生“想知道”的愿望。其中的“關(guān)注點”就成為下面思考活動的目標(biāo)，“想知道”的愿望就成為進(jìn)一步思考的動機(jī)。

感知活動中伴隨著思考活動，初步的思考活動通常是在疑惑、想知道等心理因素驅(qū)使下形成一個或一系列問題，同時伴隨著對這些問題價值的判斷，以及對問題答案與解決策略的初步想法。諸如此類的想法往往是不完善、缺乏證據(jù)的，可以認(rèn)為是主觀臆斷，也可以認(rèn)為是猜想（conjecture）或者假設(shè)（hypothesis）。這樣初步的思考活動對于學(xué)生的學(xué)習(xí)是必不可少的，是學(xué)生學(xué)習(xí)中必須經(jīng)歷的過程。

需要注意的是，初步的感知與思考過程中，不同的學(xué)生往往會產(chǎn)生不同的“關(guān)注點”及其相關(guān)想法，每個學(xué)生對于自身的想法就有表達(dá)的需求和愿望。因此，每個學(xué)生就應(yīng)當(dāng)有表達(dá)的機(jī)會，同時能夠有機(jī)會了解別人的想法。這樣表達(dá)和交流的活動，實質(zhì)上是對想法逐步清晰和完善的過程，同時對每位學(xué)生也是提供新的感知信息的過程。

通過以上活動，學(xué)生應(yīng)當(dāng)形成了清晰的問題目標(biāo)和解決問題的動機(jī)，同時對問題的答案和問題解決的過程與方法有了初步的設(shè)想。至此可以認(rèn)為是“感知、思考、交流”的第一次循環(huán)（見圖2）。

這一過程中生成的問題、猜想以及解決問題的設(shè)想等內(nèi)容，就成為了進(jìn)一步學(xué)習(xí)的感知對象。比如，對于小學(xué)數(shù)學(xué)課程中“圓的周長”這一內(nèi)容，其重點在于探索圓的周長與直徑（或半徑）的關(guān)系。這樣的關(guān)系可以分為兩個層次，從質(zhì)性的角度說，圓的周長與直徑具有依賴與制約的關(guān)系;從量化的角度看，圓的周長與直徑的比值是固定不變的常量。引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)這樣的內(nèi)容，首先應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生通過感知活動感受到圓的周長與半徑不是相互獨立的，它們之間是有關(guān)系的。比如可以給學(xué)生布置如下的任務(wù)：

1.用圓規(guī)畫出兩個大小不同的圓，一邊畫一邊想：圓的周長和半徑或者直徑是否有關(guān)系？

2.用自己的語言和同伴說說這樣的關(guān)系。

學(xué)生通過“用圓規(guī)畫”這樣的操作活動，自然可以感知到如下的事實：

（1）直徑（半徑）越大則周長越大;

（2）直徑（半徑）越小則周長越小;

（3）周長越大則直徑（半徑）越大;

（4）周長越小則直徑（半徑）越小。

也就是圓的周長與直徑（半徑）具有依賴與制約的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上自然就會產(chǎn)生想進(jìn)一步了解圓的周長與直徑（半徑）量化關(guān)系的愿望。相關(guān)的問題就是“圓的周長與直徑究竟具有怎樣的關(guān)系”，至此應(yīng)當(dāng)說就形成了進(jìn)一步學(xué)習(xí)的動機(jī)和目標(biāo)。

二、過程方法，獲得結(jié)論

接下來進(jìn)入圖1所示學(xué)習(xí)過程的第二次循環(huán)。第二次循環(huán)過程的目標(biāo)指向前面產(chǎn)生的問題、猜想和設(shè)想，目的是求解或證實，因此其感知與思考活動就是圍繞尋找理由或者證據(jù)（Evidence）以及解決問題的過程與方法而開展的。

針對前面“圓的周長與直徑究竟具有怎樣的關(guān)系”這個問題，就需要通過“搜集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)”的過程來解決。所謂“搜集數(shù)據(jù)”就是對于大小不同的圓形進(jìn)行測量，“整理數(shù)據(jù)”就是把測量的結(jié)果用清晰的方式進(jìn)行記錄。比如可以設(shè)計如下的表格記錄測量的數(shù)據(jù)：

表1 ?圓直徑與周長數(shù)據(jù)記錄表

物體 直徑 周長

盤子 25厘米 79厘米

硬幣 1厘米 3.15厘米

…… …… ……

在實際教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)盡可能多地測量各式各樣、大小不同的圓形實物（也應(yīng)當(dāng)包括前面學(xué)生用圓規(guī)畫出的圓形），并把所有數(shù)據(jù)記錄在同一個表格內(nèi)。在此基礎(chǔ)上，就可以開始“分析數(shù)據(jù)”。分析數(shù)據(jù)的過程實質(zhì)上就是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，也就是在運動與變化的過程中發(fā)現(xiàn)不變因素的過程。比如在表1中發(fā)現(xiàn)盤子的周長與直徑的比值為=3.16，硬幣周長與直徑的比值為3.15等等。這些比值的一個共性就是相互之間比較接近，因此以上活動所獲得的結(jié)論就是：

無論什么樣的圓形，其周長與直徑的比值都非常接近于3.1A，其中的數(shù)字A不確定。

以上“搜集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)”的過程，包含了觀察（observation）、比較（comparing）、試驗（experiment）、數(shù)據(jù)記錄（data record）、分類（categorizing或classifying）、排序（ordering）、發(fā)現(xiàn)規(guī)律（pattern Finding或recognizing relationships）、測量（measurement）、數(shù)據(jù)解釋（data interpreting）和推理（reasoning）等活動。在這些活動的基礎(chǔ)上就得到了具有一定可信度的結(jié)論或者是問題的答案。需要注意此時的結(jié)論還沒有達(dá)到完善的水平，因此就需要進(jìn)一步的表達(dá)和交流。表達(dá)的方式可以是書面的，也可以是口頭的;表達(dá)的形式可以是文字的，也可以是符號的、圖像的。

學(xué)生在表達(dá)過程中，自然會出現(xiàn)與教師預(yù)設(shè)“不同”的內(nèi)容，這些“不同”可能是學(xué)生“正確的自創(chuàng)”，也可能是“荒謬的錯誤”。如果在成人世界的工作活動或者學(xué)術(shù)活動中，“荒謬的錯誤”通常是要努力避免的。但對于學(xué)生的學(xué)習(xí)活動來說，無論是“正確的自創(chuàng)”，還是“荒謬的錯誤”，都應(yīng)當(dāng)成為進(jìn)一步感知與思考的對象，是進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)的資源。這樣的過程就構(gòu)成了圖1學(xué)習(xí)過程的第二次循環(huán)（見圖3）。

三、多樣比較，錯誤辨析

接下來第三次學(xué)習(xí)過程的循環(huán)，應(yīng)當(dāng)以前面活動中學(xué)生所生成的“不同”結(jié)論以及過程與方法作為感知和思考的對象。其核心活動在于對各式各樣“不同”的理解與比較，同時包括對“錯誤”的辨別及其原因的分析，通過表達(dá)和交流逐步形成相對統(tǒng)一的認(rèn)識（見圖4）。

比如，針對前面圓的周長所獲得的結(jié)論“無論什么樣的圓形，其周長與直徑的比值都非常接近于3.1A，其中的數(shù)字A不確定”，可以組織學(xué)生圍繞下面的問題展開討論：不同的圓形周長與直徑的比值非常接近，說明了什么？可以結(jié)合正方形的周長與邊長的關(guān)系進(jìn)行思考。

學(xué)生熟悉的正方形的周長與邊長的比值是固定不變的4，運用類比推理可以聯(lián)想到圓形周長與直徑的比值也應(yīng)當(dāng)是固定不變的值。而且這個固定不變的比值應(yīng)當(dāng)近似于3.1A。在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)提出下面的問題引導(dǎo)學(xué)生思考討論：為什么不同的同學(xué)針對不同的圓形得到的比值會出現(xiàn)微小的差異呢？對這個問題的思考討論期望學(xué)生在兩個方面有所感悟。

第一，由于人的感官以及測量工具的局限，任何實際測量都不可能做到絕對準(zhǔn)確，總會出現(xiàn)誤差。

第二，我們目前所熟悉的整數(shù)、分?jǐn)?shù)以及有限小數(shù)都不足以表達(dá)圓與其直徑的比值。

事實上，歷史上數(shù)千年的時間里，人們都困惑于“圓周長與直徑的比值究竟是什么”的問題，距今約4000年前的古代巴比倫人（公元前3000年～公元前729年）用“3”代表這個比值，古希臘時期的阿基米德（Archimedes，公元前287～公元前212）發(fā)現(xiàn)這個比值介于3和3之間，我國南北朝時期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖沖之（公元429～500）發(fā)現(xiàn)這個比值介于3.1415926和3.1415927之間，等等。[1]

到了距今300多年的1706年，威爾士（Welsh）數(shù)學(xué)家威廉姆·瓊斯（William Jones，公元1675～1749）才首次使用希臘字母“π”表達(dá)圓周長與直徑的比值，這一符號真正為大家所接受并開始廣泛使用，應(yīng)當(dāng)是30年后的1736年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Leonhard Euler ，公元1707～1783）在自己的著作中開始使用之后的事情了。之所以使用希臘字母“π”代表圓周長與直徑的比值，是因為希臘文中表示“外圍，邊緣”的詞匯是“”（對應(yīng)的英文單詞是“periphery”），其第一個字母是“π”。 [2]在研究“π”的過程中，人們逐漸發(fā)現(xiàn)這個比值是不能用已經(jīng)熟悉的整數(shù)和分?jǐn)?shù)表示的，證明了這個比值“π”是一個無理數(shù)。只能夠用分?jǐn)?shù)或者小數(shù)表示出它的近似值。

在此基礎(chǔ)上，就可以得到圓周長與直徑的關(guān)系為c=πd，圓周長與半徑的關(guān)系為c=2πr。公式中的字母“c”表示圓周長，對應(yīng)的英文單詞為“circumference”，字母“d”表示圓的直徑，對應(yīng)的英文單詞為“diameter”，字母“r”表示圓的半徑，對應(yīng)的英文單詞為“radius”。

四、關(guān)聯(lián)應(yīng)用，總結(jié)提升

有了相對統(tǒng)一的結(jié)論，就可以進(jìn)入關(guān)聯(lián)與應(yīng)用的學(xué)習(xí)過程。關(guān)聯(lián)與應(yīng)用自然是以關(guān)系識別作為核心活動，其目的在于把以上學(xué)習(xí)活動中形成的結(jié)論或者方法，與其他知識與方法建立聯(lián)系，與人的實踐活動建立聯(lián)系。在這一過程中，學(xué)生對已學(xué)內(nèi)容有了較為廣泛、深刻的理解，自然還會產(chǎn)生新的問題。通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力圖實現(xiàn)“讓知識越學(xué)越少，讓問題越學(xué)越多”的目的（見圖5）。

比如，在我國許多城市建設(shè)的發(fā)展中，都圍繞城區(qū)修建“環(huán)路”，北京城目前就有從二環(huán)路到六環(huán)路的五條圍繞北京城區(qū)的環(huán)路（見圖6）。

人們出行時經(jīng)常面臨的一個問題就是面對多條路線選擇的時候，如何確定最快捷的路線。不妨假設(shè)環(huán)路都是圓形的（見圖7），如果不考慮堵車等因素，圖7中從A處出發(fā)到G處，至少就有三條行車路線供選擇：

路線1：ABCDEFG

路線2：ABCEFG

路線3：ABFG

其中路線2中從C到E是沿著內(nèi)環(huán)路線的弧線行駛，路線3中從B到F是沿著外環(huán)路線的弧線行駛。這一問題的解決依賴于對各條路線的長度進(jìn)行比較，也就是需要研究直徑與圓周長的關(guān)系。對這一問題的思考與討論，學(xué)生可以體驗到所學(xué)習(xí)的“圓的周長”知識的實際價值。這種對知識實際價值的體驗對于激發(fā)進(jìn)一步的學(xué)習(xí)動機(jī)是有所裨益的。在解決問題的過程中，可以啟發(fā)學(xué)生與類似相關(guān)聯(lián)的問題作對比，比如如果假設(shè)環(huán)形路線都是正方形（見圖8），那么三種供選擇的路線分別為：

路線1：ABCDEFG

路線2：ABCMEFG

路線3：ABNFG

在發(fā)現(xiàn)這三條線路長度分別相同的基礎(chǔ)上，可以引導(dǎo)學(xué)生將圖7和圖8兩個路線圖畫在一起進(jìn)行觀察（見圖9）。

這時就為觀察和比較提供了更加直觀的模型，學(xué)生可以充分利用直覺進(jìn)行猜測，而后通過計算進(jìn)行驗證。

在此基礎(chǔ)上可以進(jìn)一步提出新的問題，如果環(huán)形路不是正方形和圓形，而是其他圖形，比如橢圓形（見圖10），那么應(yīng)當(dāng)怎樣解決類似問題呢？

諸如此類的問題僅依賴中小學(xué)的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容是難以解決的，盡管如此，在解決問題的基礎(chǔ)上提出新的問題的思維方式本身，對學(xué)生的一生都是一種重要的素質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生提出新問題的做法，注重的不是問題本身以及問題是否能夠解決，注重的是學(xué)生作為人的思維方式的培養(yǎng)，是“教書育人”的具體體現(xiàn)。

以上所介紹的“問題與動機(jī)，過程與方法，多樣與錯誤，聯(lián)想與應(yīng)用”是一個螺旋上升的學(xué)習(xí)過程，每一個環(huán)節(jié)都需要經(jīng)歷“感知—思考—交流”的過程。這樣的設(shè)計并不是遵循“從易到難”的原則，而是“發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題、推廣應(yīng)用”的一般認(rèn)識論原則。

參考文獻(xiàn)：

[1]Dorothy Rice. History of π （or PI）. Mathematics News Letter， Vol. 2， No. 5 （Mar.， 1928）， pp.6～8.

[2]Rheta N. Rubenstein and Randy K. Schwartz. Circles Around， About， Across， & Through. Math Horizons，Vol. 11，No. 2 （November 2003）， pp.20～23.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 ? 100048）