抓住概念本質(zhì)，靈活解題

王軍

《有理數(shù)》一章是初中數(shù)學(xué)中一切運(yùn)算的基礎(chǔ). 它要求同學(xué)們在理解有理數(shù)的有關(guān)概念、法則的基礎(chǔ)上，能根據(jù)概念、法則、運(yùn)算律迅速地進(jìn)行解題，還要善于根據(jù)題目條件，將《有理數(shù)》一章重點(diǎn)知識相結(jié)合，靈活巧妙地運(yùn)用概念、法則和簡捷的算法提高運(yùn)算能力，提高思維的敏捷性與靈活性. 下面對部分難點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行剖析，希望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助.

一、 負(fù)數(shù)的產(chǎn)生及其意義

隨著社會的發(fā)展，小學(xué)學(xué)過的自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)已不能滿足實(shí)際需要，為了滿足實(shí)際需要，引入了負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)是由于實(shí)際需要產(chǎn)生的，負(fù)數(shù)也是客觀存在的數(shù).

正數(shù)和負(fù)數(shù)通常表示具有相反意義的量，若正數(shù)表示某種意義的量，則負(fù)數(shù)就表示其相反意義的量，反之亦然 .

例1 一個物體沿著南北兩個相反方向運(yùn)動，如果把向南的方向規(guī)定為正，那么走 6 km，走-4.5 km，走0 km的意義各是什么？

【分析】正數(shù)與負(fù)數(shù)可表示具有相反意義的量，正數(shù)表示向南運(yùn)動，則負(fù)數(shù)表示向北運(yùn)動. 0表示原地不動，0表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界，在實(shí)際問題中也有確定的意義.

解：走6 km表示物體向南走6 km；

走-4.5 km表示物體向北走4.5 km；

走0 km表示物體原地不動.

例2 某老師把某一小組五名同學(xué)的成績簡記為：+ 10、-5、0、+8、-3，又知記為0的實(shí)際成績表示90分，正數(shù)表示超過90分，則這五位同學(xué)的平均成績?yōu)槎嗌俜郑?/p>

【分析】由題意先求出這五位同學(xué)的實(shí)際成績，如簡記為+ 10的學(xué)生實(shí)際成績?yōu)?00，然后再求平均成績.

解：依題意知，五位同學(xué)的實(shí)際成績分別為：100、85、90、98、87.

其平均成績?yōu)椋骸粒?00+85+90+98+87）=92（分）.

二、 數(shù)軸的概念及其意義

數(shù)軸概念中包含三層含義：一是說數(shù)軸是一條直線，可以向兩端無限延伸；二是說數(shù)軸具有原點(diǎn)、正方向和單位長度三要素，三者缺一不可；三是說數(shù)軸原點(diǎn)的選定、正方向的取向、單位長度大小的確定，是根據(jù)實(shí)際需要規(guī)定的.

例3 如圖所示的數(shù)軸上，A、B、C、D、E各點(diǎn)分別表示什么數(shù)？

【分析】根據(jù)各點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)、右側(cè)還是在原點(diǎn)上，來確定數(shù)是負(fù)數(shù)、正數(shù)還是 0，根據(jù)各點(diǎn)距離原點(diǎn)多少個長度單位，來確定數(shù)的值.

解：點(diǎn)A表示數(shù)3；點(diǎn)B表示數(shù)；

點(diǎn)C表示數(shù)0；點(diǎn)D表示數(shù)-3；

點(diǎn)E表示數(shù)-4.

例4 在數(shù)軸上畫出表示下列各數(shù)的點(diǎn)，并用“<”連接起來；

-3，4，-1，2，0，1，-2.

【分析】首先畫出數(shù)軸，三要素要齊全；再把各數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)找出來；然后根據(jù)這些數(shù)在數(shù)軸上的位置順序比較大小，再用“<”連接起來.

解：這些數(shù)在數(shù)軸上的表示如圖所示 .

它們從小到大的排列為：-3<-2<

-1<0<1<2<4.

三、 兩個負(fù)有理數(shù)的大小比較

兩個負(fù)有理數(shù)的大小比較與其他數(shù)一樣，可以利用數(shù)軸找準(zhǔn)兩個負(fù)有理數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大. 兩個負(fù)有理數(shù)的大小比較，還可以利用絕對值，求這兩個數(shù)的絕對值，比較兩個數(shù)絕對值的大小，絕對值大的反而小 .

例5 利用絕對值比較下列有理數(shù)的大小 .

（1） -0.6，-60；

（2） -，-，-.

【分析】比較負(fù)數(shù)的大小，先求出各數(shù)的絕對值，關(guān)鍵是比較絕對值的大小，絕對值大的反而小.比較分?jǐn)?shù)大小，一般要化成同分母的分?jǐn)?shù)來比較 .

解：（1） -0.6=0.6，-60=60.

∵0.6<60，∴-0.6>-60.

（2）

-==，

-==，

-==，

∵<<，

∴->->-.

四、 有關(guān)絕對值的計(jì)算及化簡

靈活正確運(yùn)用絕對值的代數(shù)意義及有關(guān)性質(zhì) .

例6 已知a+2+b-3=0，求a和b的值.

【分析】由絕對值的非負(fù)性可知，a+2≥0，b-3≥0，而且只有當(dāng)a+2和b-3都等于0時，a+2+b-3=0才成立，因?yàn)橹挥?的絕對值等于0，所以a=-2，b=3.

五、 有理數(shù)混合運(yùn)算中應(yīng)注意的問題

（1） 要注意運(yùn)算順序；

（2） 要靈活運(yùn)用運(yùn)算定律進(jìn)行簡便運(yùn)算，不要搞錯符號，特別是乘方的符號；

（3） 要靈活進(jìn)行小數(shù)、分?jǐn)?shù)的互化；

（4） 互為相反數(shù)的和，互為倒數(shù)的積，有因數(shù)為零，特殊運(yùn)算先行結(jié)合.

例8 計(jì)算：

（1） （-5）-（+3）+（-9）-（-7）；

（2）

+-

-+

--

+1.

【分析】進(jìn)行有理數(shù)加減混合運(yùn)算時，應(yīng)先把加減運(yùn)算統(tǒng)一成加法運(yùn)算，再寫成省略加號和括號的代數(shù)和，最后運(yùn)用有理數(shù)的加法法則及運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算，能夠簡化運(yùn)算的盡量簡化運(yùn)算 .

解：（1） 原式=（-5）+（-3）+（-9）+（+7）

=-5-3-9+7

=（-5-3-9）+7

=-17+7=-10；

（2） 原式=

++

++

-+

-

=+--

=

-+

-

=--=-.

例9 計(jì)算：

（1） ÷

-1+×

-12-（0.5-1）3；

（2） ×[2.1×（3.2-6.8）+2.4]-0.48.

【分析】按照有理數(shù)混合運(yùn)算的順序，有括號的應(yīng)先計(jì)算括號內(nèi)的算式，即去括號由里向外，但這樣計(jì)算有時比較麻煩.經(jīng)過觀察本題可以發(fā)現(xiàn)：括號外的的分母3是括號內(nèi)的2.1和2.4的約數(shù)，利用乘法分配律先進(jìn)行計(jì)算可以使整個計(jì)算簡捷明快.

解：（1） 原式=×

-+×-

-

=-++

=；

（2） 原式=0.7×（3.2-6.8）+0.8-0.48

=0.7×（-3.6）+0.8-0.48

=（-2.52-0.48）+0.8=-2.2.

例10 計(jì)算：

（1）

1-

-2 ÷

- -

-2 ÷

-；

（2） -0.252÷

-4×（-1）21+

1

+2-3.75×24.

解：（1） 原式=

1

+2 ÷

-

+2

÷

-=

×

-

+2×

-

=

-5+2×

-

=

-×

-

=3；

（2） 原式=-×16×（-1）+1×24+2×24-3.75×24=1+33+56-90=0.

注：第（1）小題先由里及外逐層去掉括號，同時把除法轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行運(yùn)算，第（2）小題應(yīng)用乘法分配律使運(yùn)算得以簡化.

六、 科學(xué)記數(shù)法

把一個大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a的整數(shù)位數(shù)只有一位，這種記數(shù)的方法，叫作科學(xué)記數(shù)法.

例11 用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)：

（1） 270.3；

（2） 3 870 000；

（3） 光的速度約為300 000 000米/秒；

（4） 0.5×9×1 000 000；

（5） 10.

【分析】科學(xué)記數(shù)法a×10n中，a是小于10且大于或等于1的數(shù)，n比原數(shù)位的整數(shù)位數(shù)少1，比如：3 870 000 000是10位數(shù)，指數(shù)n就是9. 這就是說n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1，而不是比所有的數(shù)位和少1. 如179.4=1.794×102，而不是179.4=1.794×103.

解：（1） 270.3=2.703×100=2.703×102.

（2） 3 870 000=3.87×1 000 000=3.87×106.

（3） 300 000 000=3×100 000 000=3×108.

（4） 0.5×9×1 000 000=4.5×106.

（5） 10=1×10.

總之，在學(xué)習(xí)有理數(shù)一章時，要抓住基本概念，掌握運(yùn)算法則，最重要的是練好基本功，這是一種數(shù)學(xué)功底，需要經(jīng)過長期的、刻苦的訓(xùn)練，并且在訓(xùn)練中還要注意動腦筋，尋找解題規(guī)律和技巧，不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn).

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆外國語學(xué)校）