原子分解快速算法在電能質(zhì)量擾動分析中的應(yīng)用

曲正偉，郝婉茹，王 寧

（燕山大學(xué) 電力電子節(jié)能與傳動控制河北省重點實驗室，河北 秦皇島 066004）

0 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，高智能化精密設(shè)備的大量使用，對供電質(zhì)量要求越來越苛刻；同時由于大量擾動負荷（如非線性負荷、不對稱負荷）接入電網(wǎng)或其他擾動源（如線路短路故障、感應(yīng)電動機啟動）存在，使得電能質(zhì)量問題日益嚴(yán)重，極大地影響了公用電網(wǎng)的安全穩(wěn)定運行［1］。因此，對電能質(zhì)量擾動信號進行分析具有非常重要的意義。

目前常用的電能質(zhì)量擾動信號的分析方法主要有小波變換［2-3］、S 變換［4-5］、數(shù)學(xué)形態(tài)變換［6］、希爾伯特-黃變換（HHT）［7-8］和 Prony 算法［9］等。小波變換是有力的時頻分析方法，但小波函數(shù)的選擇對分析結(jié)果的影響較大；S變換雖有較好的時頻性，但采樣頻率及采樣頻帶的選擇對其性能影響很大，且抗噪能力較弱；數(shù)學(xué)形態(tài)變換方法是在積分幾何研究成果的基礎(chǔ)上提出的，其性能易受結(jié)構(gòu)元素的影響，針對復(fù)雜的信號難以選取合適的結(jié)構(gòu)元素；HHT方法和Prony算法雖能自適應(yīng)地得到信號的頻率、幅值和相角等局部信息，但這2種算法只能表達連續(xù)信號。

原子分解技術(shù)是近年來信號處理領(lǐng)域研究的熱點。該方法源于Mallat及Zhang提出將信號在過完備的非正交基上分解的思想［10］。 文獻［11-14］均將原子分解算法應(yīng)用于電能質(zhì)量擾動分析中：文獻［11］以離散的Gabor原子庫和傳統(tǒng)的匹配追蹤算法為基礎(chǔ)，雖能從電能質(zhì)量擾動信號中提取特征分量，但計算量相當(dāng)大；文獻［12-13］構(gòu)造出適合電力系統(tǒng)擾動信號的離散相關(guān)原子庫，相比文獻［11］，在一定程度上降低了計算量，但仍應(yīng)用傳統(tǒng)的匹配追蹤算法進行迭代求解，不利于電能質(zhì)量擾動信號的在線分析；文獻［14］采用粒子群優(yōu)化（PSO）算法對匹配追蹤過程進行優(yōu)化并將其應(yīng)用于間諧波的檢測分析中，但并未對其他電能質(zhì)量擾動信號進行分析。

本文為克服原子分解算法計算量大的缺點，在離散的相關(guān)原子庫及傳統(tǒng)匹配追蹤算法的基礎(chǔ)上，從多方面對原子分解算法進行優(yōu)化，采用優(yōu)化后的快速算法對電能質(zhì)量擾動信號進行分析，結(jié)合算例驗證了該方法的有效性和正確性。

1 原子稀疏分解

1.1 原子分解理論

原子分解理論中，為了達到信號稀疏分解的目的，首先需在信號空間中構(gòu)建一個過完備的展開函數(shù)集合，這種過完備集合中的基稱為原子，由原子組成的過完備集合稱為原子庫。信號可根據(jù)自身的特點在高度冗余的原子庫中采取貪婪分解策略自適應(yīng)地選出一組最佳匹配原子，這組最佳匹配原子即可用來表示該信號，此過程稱之為原子稀疏分解。

原子稀疏分解有兩大核心問題，即如何構(gòu)建合理的原子庫以及如何自適應(yīng)地尋找最佳匹配原子。

1.2 匹配追蹤算法

信號的原子稀疏分解過程通常采用一種貪婪自適應(yīng)的分解策略——匹配追蹤MP（Matching Pursuit）算法。

定義原子庫D=（gγ）γ?τ，其中γ為原子參數(shù)組，τ為原子參數(shù)組集合，且原子作歸一化處理，即‖gγ‖=1。

其中，〈·，·〉為兩者的內(nèi)積。

對每次分解出的殘余分量重復(fù)按式（1）、式（2）進行迭代分解。

n次迭代分解后，信號f表示為：

即將信號f表示為n個原子的線性組合。

由式（1）—（3）可知，每次分解過完備原子庫中的所有原子都要與待分析信號進行內(nèi)積運算，而且要進行多次分解，從而使計算量相當(dāng)大，過大的計算量限制了原子分解算法的實用性。

1.3 電能質(zhì)量擾動的連續(xù)相關(guān)原子庫

為提高信號分解的精度與速度，原子庫中的原子可根據(jù)電能質(zhì)量擾動信號的特點加以構(gòu)造。這種針對特定信號構(gòu)造的原子庫稱為相關(guān)原子庫［15］。

a.基波原子庫。

基波是電網(wǎng)信號中的主要成分，為了對電網(wǎng)中的擾動信號進行更精確的分析，需首先將基波分量提取出來。為此，根據(jù)基波信號的特點構(gòu)建基波原子為：

其中，原子包含 4 個參數(shù)（ f1，φ1，ts1，te1），f1為基波頻率，φ1為基波的相位，ts1與te1分別為基波的開始與終止時刻；u（t）為單位階躍函數(shù)；kγ1為原子的歸一化系數(shù)。設(shè)待分析信號f（t）采樣數(shù)據(jù)長度為N，采樣頻率為fs，則基波原子參數(shù)的取值范圍為49 Hz≤f1≤51 Hz，1 /fs≤ts1＜te1≤N /fs，0≤φ1≤2π。

b.類基波原子庫。

電壓暫升、電壓暫降及電壓中斷等擾動信號的頻率與基波頻率相同，統(tǒng)稱這類擾動信號為類基波擾動［12］。為此，構(gòu)建類基波原子為：

其中，原子包含 3 個參數(shù)（φ2，ts2，te2），φ2為擾動的相位，ts2與 te2分別為擾動的開始與終止時刻；u（t）為單位階躍函數(shù)；kγ2為原子的歸一化系數(shù)。類基波原子的參數(shù)取值范圍為 0≤φ2≤2π，1 /fs≤ts2＜te2≤N /fs。

c.脈沖原子庫。

將持續(xù)時間非常短的電壓尖峰、電壓切痕等擾動統(tǒng)稱為脈沖擾動。為此，根據(jù)電網(wǎng)中該擾動信號的特點，構(gòu)造脈沖原子為：

其中，原子包含 2 個參數(shù)（ts3，te3），ts3與te3分別為擾動的開始與終止時刻；u（t）為單位階躍函數(shù)；kγ3為原子的歸一化系數(shù)。脈沖原子的參數(shù)取值范圍為1/fs≤ts3＜te3≤N /fs。

d.振蕩原子庫。

將電網(wǎng)中衰減振蕩、發(fā)散振蕩、諧波及間諧波等擾動信號統(tǒng)稱為振蕩擾動，根據(jù)電網(wǎng)中該信號的特點，構(gòu)造的振蕩原子為：

其中，包含 5 個參數(shù)（f4，φ4，ρ，ts4，te4），f4為擾動頻率，φ4為擾動的相位，ρ為衰減系數(shù)，ts4與te4分別為擾動的開始與終止時刻；u（t）為單位階躍函數(shù)；kγ4為原子的歸一化系數(shù)。振蕩原子的參數(shù)取值范圍為1/fs≤ts4＜te4≤N /fs，0≤φ4≤2π，1 Hz≤f4≤1600 Hz，衰減系數(shù)的范圍可根據(jù)振蕩信號的類型來具體確定。

e.閃變原子庫。

根據(jù)電網(wǎng)中閃變信號的特點，構(gòu)造的閃變原子為：

其中，包含 4 個參數(shù)（f5，φ5，ts5，te5），f5為擾動的頻率，φ5為擾動的相位，ts5與te5分別為擾動的開始與終止時刻；u（t）為單位階躍函數(shù)；kγ5為原子的歸一化系數(shù)。閃變原子的參數(shù)取值范圍為0.05 Hz≤f5≤35 Hz，1 /fs≤ts5＜te5≤N /fs，0≤φ5≤2π。

設(shè)電能質(zhì)量擾動信號的幅值為A，若上述原子gγ（t）的參數(shù)能匹配擾動信號，則有：

傳統(tǒng)MP算法采用遍歷的方法來找尋最匹配原子，因此只能通過原子參數(shù)離散化來構(gòu)造與傳統(tǒng)MP算法相配合的冗余原子庫，而參數(shù)的離散值中可能不含設(shè)定值，這樣會導(dǎo)致分解結(jié)果不夠準(zhǔn)確，在相同的逼近誤差下，重構(gòu)目標(biāo)信號所需的離散原子數(shù)目將遠大于連續(xù)原子，考慮到上述缺陷，本文不再對每種原子的參數(shù)進行離散化處理。

2 原子分解算法的優(yōu)化

2.1 降低原子庫的規(guī)模

快速傅里葉變換（FFT）是數(shù)字信號處理領(lǐng)域一種很重要的算法，可對信號進行頻譜分析。由于衰減振蕩、諧波等擾動信號的頻率范圍非常寬，如果直接采用振蕩原子庫進行搜索提取，計算量將很大。為了減少計算量，可以在匹配追蹤計算前，采用FFT對最優(yōu)原子的頻率進行預(yù)求解，目的是降低原子庫的規(guī)模。該方法的具體步驟如下：

a.采用FFT計算電能質(zhì)量擾動信號的頻譜；

b.找尋與頻譜極值相對的頻率fr；

c.將頻率fr量化為原子的頻率，以該頻率為中心，采用MP算法在小范圍內(nèi)搜索最優(yōu)原子的頻率。

2.2 PSO匹配追蹤算法

PSO算法是通過模擬鳥群覓食行為而發(fā)展起來的一種基于群體協(xié)作隨機搜索的優(yōu)化算法［16］。采用PSO算法優(yōu)化MP算法是將原子與信號或信號殘差內(nèi)積的絕對值作為適應(yīng)度函數(shù)，每個原子看作為一個粒子，粒子中變量作為待尋優(yōu)參數(shù)，例如，提取衰減振蕩信號時，其待尋優(yōu)參數(shù)為（f4，φ4，ρ，ts4，te4）；提取閃變信號時，其待尋優(yōu)參數(shù)為（f5，φ5，ts5，te5）。

PSO算法優(yōu)化的MP算法的具體步驟如下。

a.初始化粒子群，設(shè)最大迭代次數(shù)為M，種群大小為Nm，在既定范圍內(nèi)隨機生成粒子中參變量的位置和速度。

c.將個體極值pbestnd與粒子的適應(yīng)度值進行對比，若當(dāng)前值更優(yōu)，則用當(dāng)前值更換pbestnd，并用該粒子的位置更替?zhèn)€體最優(yōu)位置。

d.將全局極值gbestd與粒子的適應(yīng)度值進行對比，若比gbestd更優(yōu)，則用此值更替gbestd，并用該粒子的位置更替全局最優(yōu)位置。

e.分別利用式（11）、式（12）更換粒子的速度和位置。

其中，w為慣性權(quán)重，c1與c2為加速系數(shù)，本文采用文獻［16］中的參數(shù)選取方法，選 w=0.729 8，c1=c2=1.4962間的隨機數(shù)為第 m 次迭代時第n個粒子的第d維的速度為第m次迭代時第n個粒子的第d維的當(dāng)前位置為第m次迭代時第n個粒子的第d維的個體極值點的位置為整個粒子群在第m次迭代時第d維的全局極值點的位置。

f.重復(fù)步驟b—e，當(dāng)達到最大迭代次數(shù)M時終止迭代。

在迭代分解過程中，采用連續(xù)變量作為中間變量，得到的結(jié)果也是連續(xù)值，這樣在采用PSO算法優(yōu)化MP算法的同時也完成了離散參數(shù)連續(xù)化的目的。

3 原子分解快速算法在擾動信號特征提取中的應(yīng)用

采用原子分解的快速算法對擾動信號進行特征提取的具體步驟如下。

a.采用基波原子庫及PSO算法優(yōu)化的MP算法，提取出基波分量，獲取殘余信號。

b.根據(jù)擾動信號的不同，采用相應(yīng)的連續(xù)相關(guān)原子庫。

c.如果采用振蕩原子庫提取衰減振蕩、諧波等信號，則在匹配追蹤計算前，采用FFT對最優(yōu)原子的頻率進行預(yù)先求解。

d.采用PSO算法優(yōu)化的MP算法，在連續(xù)的相關(guān)原子庫中搜尋與當(dāng)前信號內(nèi)積最大的原子，獲得最匹配的原子，存儲該原子并計算殘余信號及殘余能量值。

e.當(dāng)殘余能量值小于設(shè)定的閾值或迭代次數(shù)達到設(shè)定值時，終止迭代。

f.每次迭代產(chǎn)生的原子都包含電能質(zhì)量擾動信號的實用參數(shù)，用這些原子來重構(gòu)擾動信號，用相似度Cm來衡量其重構(gòu)性能，其定義為：

其中，f為原始信號；fm為m次的重構(gòu)信號。

4 算例分析

4.1 原子分解快速算法性能分析

以諧波信號為例，對本文提出的原子分解快速算法的性能進行分析，取諧波信號的采樣頻率為12800 Hz，采樣數(shù)據(jù)長度為0.2 s，每周期采樣256個點，基波頻率為50 Hz，并在信號中加入20 dB的高斯白噪聲。設(shè)定其仿真參數(shù)如表1所示，表中A為標(biāo)幺值，后同。諧波的分解信號及重構(gòu)信號如圖1所示，其中U0為原始波形，U0f為提取的基波分量，U0h1為提取的75 Hz間諧波分量，U0h2為提取的3次諧波分量，U0h3為提取的5次諧波分量，U0r為其重構(gòu)波形。由重構(gòu)波形可以看出該算法有很好的抗噪性能。獲取的匹配參數(shù)如表1所示，該諧波信號的表達式為：u（t）=cos（100πt+π /3）＋A1cos（150πt+π /2）＋

表1 諧波的仿真參數(shù)及匹配參數(shù)Table 1 Simulation and matching parameters of harmonics

圖1 諧波信號的原子快速分解和重構(gòu)波形Fig.1 Waveforms of atom rapid decomposition and reconstruction for harmonics

當(dāng) 0 s≤t≤0.15 s時，式中 A1=0.5，t為其他值時A1為 0；當(dāng) 0.05 s≤t≤0.2 s時，式中 A2=0.5，t為其他值時 A2為 0；當(dāng) 0.1 s≤t≤0.2 s時，式中 A3=0.3，t為其他值時A3為0。

由表1的匹配參數(shù)可知，頻率、相位的誤差都很小，幅值的誤差略大，主要是提取基波幅值時誤差較大，導(dǎo)致在后續(xù)迭代中誤差累積，使得在提取其他分量的幅值時誤差越來越大；但仍符合諧波分析的精度要求，而且可較精確地給出頻率的突變時刻，可實現(xiàn)諧波的實時跟蹤功能。

為驗證原子分解快速算法的穩(wěn)定性，對該信號重復(fù)進行20次試驗，得到各分量參數(shù)的最大相對誤差如表2所示，由表中數(shù)據(jù)可知該算法是比較穩(wěn)定。

表2 諧波各參數(shù)的最大相對誤差Table 2 Largest relative error of harmonic parameters

為比較離散相關(guān)原子庫和連續(xù)相關(guān)原子庫對算法性能的影響，采用文獻［13］提出的離散化方法，對振蕩原子庫中原子參變量（f4，φ4，ρ，ts4，te4）進行離散化處理，再采用PSO算法優(yōu)化MP算法對其進行迭代分解，迭代26次（即需26個原子）后，其相似度才達到0.9818，耗時59.58 s。而采用連續(xù)相關(guān)原子庫只需迭代4次，相似度就達到0.9909，耗時7.182 s?？梢娫訁?shù)連續(xù)化可以顯著地提高分解結(jié)果的準(zhǔn)確度并降低計算量。

4.2 電能質(zhì)量擾動信號的特征提取

（1）電壓暫降。

電壓暫降信號的仿真參數(shù)及匹配參數(shù)如表3所示。

重構(gòu)信號的相似度Cm達0.9902。由表3得出，基波幅值、電壓暫降幅值、電壓暫降相位的相對誤差分別為1.2100%、6.9000%、2.1403%，而其他匹配參數(shù)的相對誤差都很小，基本可以忽略。基波幅值相對誤差較大的主要原因是電壓暫降與基波具有相同的頻率，這樣暫降信號會使基波的能量變小。在匹配追蹤的過程中，獲取的最大內(nèi)積也對應(yīng)地減小，根據(jù)式（10）求取的幅值就會比設(shè)定值小。由于在采用基波原子庫提取基波時存在誤差，導(dǎo)致在提取基波分量后的殘余信號仍含有少量的基波成分。使得采用類基波原子庫提取暫降信號時出現(xiàn)誤差。雖然暫降信號幅值的相對誤差較大，但由于暫降信號的幅值較小，故該誤差在可接受的范圍內(nèi)。

表3 電壓暫降仿真參數(shù)及匹配參數(shù)Table 3 Simulation and matching parameters of voltage sag

（2）閃變。

閃變的仿真參數(shù)及匹配參數(shù)如表4所示。

表4 閃變的仿真參數(shù)及匹配參數(shù)Table 4 Simulation and matching parameters of flicker

重構(gòu)信號的相似度Cm達0.9907。由表4得出，閃變幅值、閃變相位的相對誤差分別為1.500%、3.7709%，造成這2個參數(shù)誤差較大的原因有2個：一是受殘余基波分量的影響，二是閃變在起始時刻的值比較小，導(dǎo)致在強噪聲條件下不易分辨。

（3）衰減振蕩。

衰減振蕩的仿真參數(shù)及匹配參數(shù)如表5所示。

表5 衰減振蕩的仿真參數(shù)及匹配參數(shù)Table 5 Simulation and matching parameters of damping oscillation

重構(gòu)信號相似度為0.9910。由表5得出，衰減系數(shù)、衰減振蕩幅值的誤差分別為1%、3.04%，造成這2個參數(shù)誤差較大的原因可能是受到了強噪聲和殘余基波分量的影響。

提取衰減振蕩的結(jié)束時間不穩(wěn)定，這主要是因為隨著時間的推移衰減振蕩逐漸變小，到某一時間后，衰減的特征不再明顯，導(dǎo)致無法準(zhǔn)確匹配，所以提取的結(jié)束時刻會不穩(wěn)定。

（4）電壓尖峰。

電壓尖峰的仿真參數(shù)及匹配參數(shù)如表6所示。

表6 電壓尖峰的仿真及匹配參數(shù)Table 6 Simulation and matching parameters of voltage spike

重構(gòu)信號的相似度為0.9904，獲得的匹配參數(shù)都比較理想。

（5）多重擾動。

多重擾動的仿真參數(shù)及獲取的匹配參數(shù)如表7所示。

表7 多重擾動的仿真參數(shù)及匹配參數(shù)Table 7 Simulation and matching parameters of multiple disturbances

重構(gòu)信號的相似度為0.9909，由表7可知，匹配參數(shù)與理論設(shè)定值的誤差都較小，可以較準(zhǔn)確地提取多重擾動中的各個分量。

5 結(jié)論

本文提出一種電能質(zhì)量擾動分析的原子分解快速算法，為電能質(zhì)量擾動信號的分析提供了一種新的途徑。理論分析和仿真算例表明，本文提出的算法可快速有效地建立電能質(zhì)量擾動信號的參量化解析表示，克服了傳統(tǒng)原子分解算法因計算量大而導(dǎo)致計算時間過長的缺點。采用原子分解快速算法提取的擾動信號特征量（如幅值、相位、頻率、起止時間、衰減系數(shù)等）可作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機等分類器的輸入量，便于對擾動信號進行分類識別。