宋 越，程浩忠，張 健，邵 瑤，孫全才，李詩旸

（1.上海交通大學 電力傳輸與功率變換控制教育部重點實驗室，上海 200240；2.中國電力科學研究院，北京 100192；3.愛荷華州立大學，美國 艾姆斯 50010）

0 引言

法國電力公司提出的三級電壓控制模式[1]已在國內外得到廣泛應用[2-5]，取得了良好的效果。該模式中，二級電壓控制是協(xié)調本地控制和全局控制的中間環(huán)節(jié)，起到了承上啟下的重要作用。作為二級電壓控制的關鍵組成部分，電壓控制分區(qū)受到了諸多學者的關注。電壓控制分區(qū)問題屬于NP（Nondeterministic Polynomial）難題，分區(qū)方法主要關注滿意解的求取，常用的方法如聚類分析[1，6-8]和智能算法[9-11]等，其中聚類分析因物理意義直觀明確而得到了廣泛的應用和研究。

電氣距離的定義和最優(yōu)分區(qū)的篩選是聚類分析的關鍵。文獻[1]提出了經典的電氣距離定義，定義方式簡潔、易于計算，在基于凝聚聚類[6]、分裂聚類（如 α 分解[12]）及模糊聚類[13]的分區(qū)方法中得到廣泛應用，但該定義將所有節(jié)點設為PQ節(jié)點，沒有突出無功源的控制特性；近年來，基于控制空間的電氣距離定義[7-8]成為趨勢。該定義相比文獻[1]的定義更詳細地刻畫了無功源的電壓控制特性，但涉及多維數(shù)據(jù)。而文獻[14]指出，隨著系統(tǒng)規(guī)模增大，聚類數(shù)據(jù)的維度增大，該定義對節(jié)點耦合程度的辨識能力會變差，導致聚類結果不準確甚至錯誤，即產生“高維聚類問題”。

最優(yōu)分區(qū)篩選方面，目前多數(shù)研究[1，6-7]通過尋找聚類半徑與分區(qū)數(shù)的關系曲線中的“平坦區(qū)”確定最優(yōu)分區(qū)方案。該方法在物理意義上符合分區(qū)原則，但主觀性過強，篩選的準確性受曲線形狀的影響較大。部分研究引入了復雜網絡理論[15]、證據(jù)融合理論[16]等方法評價分區(qū)質量，選取質量最高的方案為最優(yōu)分區(qū)，取得了積極的成果，但評價角度不夠全面，有待進一步研究。

針對上述問題，本文進行了以下幾方面研究：提出了一種評價分區(qū)質量的多目標模塊度指標，綜合衡量方案的區(qū)域間解耦性和對故障的魯棒性；提出了基于“化簡-分區(qū)-還原調整”的多層次分區(qū)方法，其中化簡階段算法有效地處理了基于控制空間的電氣距離定義在大系統(tǒng)中遇到的高維聚類問題。該方法的計算效率較高，并保證了區(qū)內連通性，避免了過多的人工調整。多個大中型算例結果驗證了該方法的有效性和可行性。

1 無功電壓控制特性分析

1.1 電壓控制分區(qū)原則

電壓控制分區(qū)目的是實現(xiàn)各區(qū)域電壓控制的解耦。 根據(jù)目前研究[1，6，17]，分區(qū)應遵循以下原則。

a.中樞節(jié)點的代表性：區(qū)域中樞節(jié)點的電壓特性能夠反映區(qū)域內所有節(jié)點的電壓特性。

b.區(qū)內可控性：區(qū)域內有足夠的無功備用控制該區(qū)域電壓。

c.區(qū)域間解耦性：區(qū)域電壓由該區(qū)域無功源控制，受其他區(qū)域影響很小。

d.對故障的魯棒性：故障前后，節(jié)點間的電氣聯(lián)系變化應較??；否則分區(qū)方案可能失去參考價值，該區(qū)域的控制優(yōu)化措施也可能失效。該原則可看作區(qū)域間解耦性概念的擴充。

e.區(qū)內連通性：區(qū)域內部無孤立節(jié)點或被其他區(qū)域隔開。

f.變壓器支路端點一致性：變壓器支路兩端節(jié)點屬同一區(qū)域。

上述原則中，中樞節(jié)點可在得到分區(qū)方案后確定[1]，原則e和f將在算法中保證，因此聚類過程應重點滿足原則b—d。以下分別對區(qū)內可控性和區(qū)域間解耦性進行詳細分析。

1.2 區(qū)域內可控性分析：無功源節(jié)點電氣距離

無功源（如發(fā)電機、SVC）節(jié)點對受控節(jié)點電壓的控制能力可以通過準穩(wěn)態(tài)電壓控制靈敏度表征：

其中，ΔQG為無功源節(jié)點無功出力變化向量，ΔUL為受控節(jié)點電壓變化向量；G為無功源節(jié)點集；L為受控節(jié)點集（包括無功出力已到達上限的無功源節(jié)點）；SLG為電壓控制靈敏度陣，元素（SLG）ij表示無功源j的無功出力單位變化時受控節(jié)點i的電壓變化量。為符合準穩(wěn)態(tài)電壓控制特性，通過逐次遞歸法[7]求解，即計算某個無功源節(jié)點的控制靈敏度時，其余無功源節(jié)點仍設為PV節(jié)點。

SLG各列SiLG為各無功源節(jié)點對受控節(jié)點的電壓控制向量。由于電壓控制的區(qū)域特性，在SiLG中，無功源節(jié)點i附近的受控節(jié)點對應分量較大，其余分量很小。若無功源節(jié)點i、j的電壓控制向量相近，則表明二者的無功儲備可共同用于控制其附近區(qū)域的電壓水平，控制耦合度較高。因此可將無功源節(jié)點的電氣距離定義為：

根據(jù)式（2），定義分區(qū) s、t的電氣距離：

其中，Gs、Gt分別為分區(qū) s、t中的無功源節(jié)點集。 若分區(qū)s、t電氣距離相近，表明分區(qū)s、t中無功源的控制作用相近，應在聚類過程中優(yōu)先歸并，以滿足區(qū)內可控性原則。

1.3 區(qū)域間解耦性分析：模塊度與最優(yōu)方案篩選

聚類過程中產生了一系列的分區(qū)方案，應選取其中解耦性質最為合理的方案為最優(yōu)分區(qū)方案。Newman等人提出了評價網絡劃分質量的模塊度指標，加權網絡的模塊度定義為[18]：

其中，A為邊權重矩陣，元素Aij為連接節(jié)點i、j的邊權重；ΦP為分區(qū)方案；如果節(jié)點i、j屬同一分區(qū)，則δ（i，j） =1，否則為所有與節(jié)點i相連的邊權重之和，即節(jié)點i的度；為網絡中所有邊權重之和；為保持節(jié)點i、j的度不變而網絡隨機連接的情況下節(jié)點i、j之間邊權重的期望值。分析式（4），若要增大M值，則需將權重大于期望值（即聯(lián)系緊密）的支路兩端節(jié)點劃分至同一區(qū)域，權重小于期望值（即聯(lián)系較弱）的支路兩端節(jié)點劃分至不同區(qū)域，顯然這是一種合理的劃分方式。因此M可用于評價分區(qū)質量。實踐經驗表明，M＞0.3時分區(qū)質量較高[18]。

本文將電網看作加權無向連通圖，節(jié)點和支路分別為圖的節(jié)點和邊，提出2種模塊度指標分別衡量分區(qū)方案的區(qū)域間解耦性和對故障的魯棒性。

a.區(qū)域間解耦模塊度M1。根據(jù)區(qū)域間解耦性原則，合理的分區(qū)方案應使區(qū)域內部支路兩端節(jié)點的電氣聯(lián)系緊密，區(qū)域邊界支路兩端節(jié)點的電氣聯(lián)系較弱。為體現(xiàn)PV節(jié)點和PQ節(jié)點的不同特性，本文基于文獻[9]的思想對電氣距離定義進行改進，并定義M1。

其中，Ui、Qi分別為節(jié)點i電壓和注入無功；dij為節(jié)點i、j的電氣聯(lián)系程度；yij為節(jié)點i、j之間的導納值。若i為受控節(jié)點，αij定義為節(jié)點j電壓單位變化時節(jié)點i電壓變化量；若i為無功源節(jié)點，其電壓不變化，αij定義為節(jié)點j無功單位變化時節(jié)點i無功出力變化量。節(jié)點 i、j的電氣聯(lián)系越緊密，αij越大，dij越小，（A1）ij越大。由前文對式（4）的分析可得，M1可以衡量分區(qū)方案的區(qū)域間解耦性。

b.故障魯棒性模塊度M2。根據(jù)分區(qū)方案對故障的魯棒性原則，若支路兩端節(jié)點的電氣聯(lián)系因支路故障而大幅減弱，則該支路應作為區(qū)域邊界支路。由于逐一計算支路故障前后的電氣聯(lián)系變化耗時較多，可能出現(xiàn)潮流發(fā)散，故采用支路兩端節(jié)點的電氣聯(lián)系對支路導納的靈敏度表征支路開斷前后支路端點的電氣聯(lián)系變化，并定義模塊度M2。

式（7）中的偏導數(shù)可通過數(shù)值攝動法計算。由式（8）可知，支路魯棒性越強，則 Δdij值越小，（A2）ij值越大。M2可以衡量分區(qū)方案對故障的魯棒性。

分區(qū)方案質量由M1和M2共同表征，定義多目標模塊度指標M∑：

其中，ΦPi為第i種分區(qū)方案。

M∑綜合考慮了分區(qū)方案的區(qū)域間解耦性和對故障的魯棒性，選擇M∑最大值對應的方案為最優(yōu)分區(qū)方案。

2 多層次電壓控制分區(qū)方法

2.1 多層次分區(qū)思想

本文利用數(shù)據(jù)降維的思想[19]處理高維聚類問題。在電力系統(tǒng)中，一個節(jié)點通常與其附近的若干節(jié)點電氣聯(lián)系緊密，可看作一個節(jié)點簇。由于每一簇節(jié)點的電壓特性可由其中樞節(jié)點的信息表征，若保留中樞節(jié)點的信息而略去其余節(jié)點的信息，可大幅降低電壓控制向量的維度，從而提高聚類準確性和計算效率。據(jù)此本文提出了基于多目標模塊度的多層次電壓控制分區(qū)方法，如圖1所示。多層次框架[20]分為以下3個階段。

a.化簡階段：通過聚類找出節(jié)點簇，識別中樞節(jié)點，將系統(tǒng)原拓撲 G0=（VT0，E0）（VT0為圖 G0節(jié)點集，E0為邊集）逐步簡化至 Gk=（Vk，Ek），電壓控制向量維度降至設定水平。

b.分區(qū)階段：基于簡化后的系統(tǒng)，首先形成初始分區(qū)，再按各分區(qū)之間的電氣聯(lián)系逐步凝聚分區(qū)，并根據(jù)M∑選出最優(yōu)方案。

c.還原調整階段：將分區(qū)階段得到的簡化后系統(tǒng)分區(qū)方案還原為原系統(tǒng)方案，適當調整邊界節(jié)點的區(qū)域歸屬，進一步優(yōu)化分區(qū)質量，得到最終分區(qū)方案。

圖1 多層次分區(qū)方法Fig.1 Multi-level network partitioning

2.2 電壓控制分區(qū)步驟

2.2.1 化簡階段

a.節(jié)點初步聚類。

根據(jù)式（5）定義的dij作為節(jié)點相似度進行聚類，以快速找出電氣聯(lián)系緊密的節(jié)點簇。為保證聚類準確性，選取較底層（如聚類程度小于50%）的聚類結果。為不改變節(jié)點簇與外界的連通關系，選取聚合節(jié)點集中的連通子集作為節(jié)點簇。聯(lián)絡變壓器兩端的節(jié)點也作為節(jié)點簇，保證變壓器兩端節(jié)點分區(qū)一致性。

b.節(jié)點簇中樞節(jié)點選擇。

對于節(jié)點簇Ck，根據(jù)簇中各節(jié)點間的電氣聯(lián)系，選擇處于中心位置的受控節(jié)點作為中樞節(jié)點[1]：

若Ck中只有2個受控節(jié)點，則選取受控靈敏度較大的受控節(jié)點作為中樞節(jié)點：

c.簡化電網拓撲與電壓控制向量。

在保持節(jié)點簇與外部連通關系不變的情況下，將節(jié)點簇歸并為一個節(jié)點，并將節(jié)點簇間的聯(lián)絡支路邊權重的平均值作為歸并后節(jié)點間的邊權重。以圖2為例，其中左圖為原拓撲，圖中虛線圈中為節(jié)點簇，右圖為簡化后的拓撲。若節(jié)點簇中含有無功源節(jié)點和受控節(jié)點，則將其等效為1個無功源節(jié)點和1個受控節(jié)點，二者相連，再與外部連接，如圖3所示。此外為保證區(qū)內連通性，在分區(qū)階段中規(guī)定二者屬同一分區(qū)，發(fā)電機出口變壓器兩端的節(jié)點做相同處理。

圖2 電網拓撲簡化過程示意圖Fig.2 Schematic diagram of network topology coarsening

圖3 含無功源節(jié)點的節(jié)點簇簡化示意圖Fig.3 Schematic diagram of node cluster coarsening，including var sources

在電壓控制向量中保留中樞節(jié)點對應維度，略去其余維度。若節(jié)點簇中無功源節(jié)點數(shù)大于1，則將這些無功源節(jié)點對應的電壓控制向量疊加作為等效。

2.2.2 分區(qū)階段

a.形成初始分區(qū)。

無功源的電壓控制能力通常由近到遠逐漸衰減，以各無功源節(jié)點為起點向周圍擴展，可形成一系列小規(guī)模分區(qū)，作為初始分區(qū)。為保證區(qū)內連通性，本文按各節(jié)點的連通層次順序分配區(qū)域編號，形成初始分區(qū)。以圖4為例，圖中節(jié)點1、2為無功源節(jié)點，其余為受控節(jié)點。節(jié)點1、2為第1層節(jié)點，區(qū)號分別為A、B。節(jié)點3—5與第1層節(jié)點直接相連，為第2層節(jié)點。節(jié)點5通過變壓器與節(jié)點2相連，根據(jù)化簡階段的規(guī)定直接分配至B區(qū)。節(jié)點3、4則根據(jù)無功源1、2對其控制靈敏度的大小和連通情況分配區(qū)域歸屬。第3層和第4層節(jié)點的分配方法依此類推。所有節(jié)點分配完成后，若某分區(qū)只有孤立的無功源節(jié)點，則搜索其相連分區(qū)中的無功源節(jié)點，按式（3）計算距其最近者，歸并到該分區(qū)。

圖4 連通層次順序說明Fig.4 Node connectivity levels

b.分區(qū)凝聚。

初始分區(qū)的離散程度較高，若對各區(qū)域間的解耦程度進行辨識，逐步歸并電氣距離相近的區(qū)域，可獲得質量更高的分區(qū)方案。這一過程稱為分區(qū)凝聚，具體步驟如下：若存在歸并后對模塊度有正貢獻（即ΔM1＞0，ΔM2＞0）的連通區(qū)域，則按式（3）找出其中電氣距離最近的一對區(qū)域（i，j）并歸并；若不存在歸并后對模塊度有正貢獻的連通區(qū)域，則歸并連通區(qū)域中電氣距離最近的一對。重復上述過程至所有區(qū)域歸并為一個分區(qū)為止。

c.確定最優(yōu)方案。

由式（9）計算初始分區(qū)與凝聚過程產生的各分區(qū)方案的多目標模塊度M∑，取M∑最大者為最優(yōu)分區(qū)方案。

2.2.3 還原調整階段

設簡化系統(tǒng)的分區(qū)方案中某節(jié)點屬于分區(qū)A，而該節(jié)點由節(jié)點簇Ck歸并而來，則將Ck中所有節(jié)點的分區(qū)號都設為A，由此可得到原系統(tǒng)的分區(qū)方案。由于該方案不一定是原系統(tǒng)的最優(yōu)方案，在保證區(qū)內連通性的情況下，以最大化ΔM1+ΔM2為目標，調整該方案中區(qū)域邊界受控節(jié)點的分區(qū)歸屬，得到最終分區(qū)方案。

分區(qū)算法總體流程如圖5所示。算法的3個階段相互配合、分工明確，計算效率較高。

3 算例分析

3.1 IEEE 118節(jié)點系統(tǒng)

對IEEE 118節(jié)點系統(tǒng)分區(qū)，分區(qū)方案與模塊度的關系曲線如圖6所示。多目標模塊度M∑在分區(qū)數(shù)為7時取到最大值，對應分區(qū)方案如表1所示。以區(qū)域4和區(qū)域5為例分析該方案的合理性。發(fā)電機節(jié)點49（屬于區(qū)域4）和發(fā)電機節(jié)點61（屬于區(qū)域5）的端電壓分別提高0.01 p.u.后區(qū)域4和區(qū)域5的受控節(jié)點電壓變化情況（標幺值）如表2所示。可見發(fā)電機對本區(qū)域的電壓控制效果明顯，對其他區(qū)域的電壓控制效果很小，可以忽略。因此該方案具有較強的區(qū)內可控性和區(qū)域間解耦性。

圖5 多層次分區(qū)算法流程Fig.5 Flowchart of multi-level partitioning algorithm

圖6 分區(qū)方案-多目標模塊度曲線Fig.6 Curve of multi-objective modularity vs.sub-region quantity

對故障的魯棒性方面，本文方案中的區(qū)域內部支路（開斷后導致孤島的支路除外）共有114條。逐一校驗上述支路開斷前后的分區(qū)方案，其中92%（105條）的支路開斷后其兩端節(jié)點仍屬同一分區(qū)，這表明故障對區(qū)內節(jié)點電氣聯(lián)系的影響不大，分區(qū)方案對故障的魯棒性較強。本文方案與文獻中方案的對比如表3所示，本文方案的2種模塊度指標值均最大，分區(qū)方案質量較高。

表1 IEEE 118節(jié)點系統(tǒng)分區(qū)方案Table 1 Partitioning scheme for IEEE 118-bus system

表2 實施電壓控制后各區(qū)域節(jié)點電壓變化Table 2 Bus voltage variations for different sub-regions with voltage control

表3 IEEE 118節(jié)點系統(tǒng)分區(qū)方案比較Table 3 Comparison of partitioning schemes for IEEE 118-bus system

3.2 大系統(tǒng)算例

以IEEE 2736sp系統(tǒng)為例考察本文方法處理高維聚類問題的有效性。在化簡階段設置不同的電壓控制向量維度下降率進行分區(qū)。無功源節(jié)點的電氣距離取值范圍為0～1，考慮到電氣距離較近（如取值為0～0.3）的節(jié)點歸并可能性較大，為關鍵數(shù)據(jù)，故選取這部分數(shù)據(jù)進行分析，統(tǒng)計其方差和計算用時（在2GB內存、3.1GHz主頻的計算機上運行得到，下文同）如圖7所示。為便于比較，圖中的數(shù)據(jù)已歸一化，即為該點數(shù)值與維度下降率為0情況下的比值。由圖7可見，電氣距離方差隨聚類數(shù)據(jù)維度的降低呈現(xiàn)變大趨勢，這有利于數(shù)據(jù)辨識，同時計算用時隨之減少。表4的分區(qū)方案質量對比也表明，化簡階段有效地處理了高維聚類問題，得到了質量更高的分區(qū)方案。

圖7 IEEE 2736sp系統(tǒng)維度下降率-電氣距離方差／計算用時曲線Fig.7 Curve of electrical distance variance／computational load rate vs.dimension reduction rate for IEEE 2736sp system

表4 IEEE 2736sp系統(tǒng)不同化簡程度下分區(qū)質量Table 4 Partitioning quality of IEEE 2736sp system for different coarsening degrees

利用本文方法對若干大中型系統(tǒng)分區(qū)（電壓控制向量維度均簡化40%），分區(qū)方案與計算用時（聚類信息的計算時間未計入）如表5所示，可見本文方法在多個大系統(tǒng)中均得到了滿意的分區(qū)方案。此外在大系統(tǒng)中，計算其電壓控制靈敏度和模塊度定義中的邊權重矩陣的耗時較多，對于在線應用可以考慮預先離線算得這部分數(shù)據(jù)并在線調用的方法。

表5 若干大系統(tǒng)算例分區(qū)情況Table 5 Partitioning scheme for different large-scale systems

4 結論

本文研究了區(qū)域電壓的可控性和解耦性，提出了無功源節(jié)點電氣距離定義以及評價電壓控制分區(qū)質量的多目標模塊度指標，在此基礎上利用多層次分區(qū)方法對系統(tǒng)進行分區(qū)。IEEE 118節(jié)點系統(tǒng)算例驗證了本文方法的有效性，分區(qū)方案的區(qū)域內部聯(lián)系緊密，區(qū)域間解耦程度較高，保證了區(qū)域內部連通性，符合分區(qū)原則。若干大系統(tǒng)算例測試表明，通過“化簡-分區(qū)-還原調整”機制，多層次分區(qū)方法可以有效地處理高維聚類問題，降低問題規(guī)模，使算法以較高的計算效率得到高質量的分區(qū)方案，對于大系統(tǒng)電壓控制分區(qū)和在線分區(qū)等問題有一定價值。