丁晟，劉少軍，胡贇

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直升機分扭傳動直齒輪疲勞壽命評估方法

丁晟，劉少軍，胡贇

(中南大學 機電工程學院，高性能復雜制造國家重點實驗室，湖南 長沙，410083)

為得到直升機主減速器分扭傳動系統(tǒng)中關于直齒輪的疲勞壽命評估方法，在Lundberg?Palmgren疲勞壽命理論(L?P理論)和Hertz接觸理論的基礎上建立主動輪單齒疲勞壽命評估模型。該模型所需參數(shù)主要與輪齒嚙合時的最大Hertz接觸應力相關。為利用有限元分析軟件ANSYS求解此應力，確定主動輪單齒在嚙合區(qū)的各嚙合界點，并推導嚙合區(qū)上的載荷分布規(guī)律，得到基于載荷譜多工況作用下主動輪的疲勞壽命評估方法，并針對某直升機在單工況作用下的直齒輪給出疲勞壽命評估算例。研究結果表明，該方法所得疲勞壽命估算值比試驗值更加保守，是一種安全、有效的疲勞壽命估算方法。

直齒輪；疲勞壽命；Lundberg?Palmgren理論(L?P理論)；Hertz接觸理論；載荷分布

疲勞壽命分析是直升機研究的重要內容，同時也是傳動系統(tǒng)可靠性校核的關鍵技術指標。該指標要求直升機的零部件具有設計要求的疲勞壽命，而且需以要求的置信度保證直升機在使用期內發(fā)生疲勞損壞的概率極小。從20世紀40年代起，尤其是近30年來，各國圍繞直升機的疲勞壽命評估開展了大量研究，如美國在ART(advanced rotorcraft transmission)，RDS-21 (rotorcraft drive system for the 21 century)計劃以及NASA公布的相關文件中，都將傳動系統(tǒng)的壽命列為關鍵技術[1?3]。然而，這些研究往往更多地關注傳動系統(tǒng)中結構件的疲勞壽命，對于傳動系統(tǒng)中關鍵、重要部件的疲勞壽命研究較少，國內在這方面的研究更是欠缺。事實上，以高周振動疲勞為主的直升機傳動系統(tǒng)關鍵、重要部件的特點是載荷復雜、結構特殊、飛行狀態(tài)復雜多變，加之其多為單通道傳力的構件，一旦在飛行中發(fā)生疲勞破壞往往導致災難性事故，因而，有必要對直升機傳動系統(tǒng)中關鍵、重要部件的疲勞壽命進行評估[4]。本文以直升機分扭傳動系統(tǒng)中的直齒輪作為研究對象，考慮到其所處工況的多變性以及外加載荷的復雜性，其疲勞失效的機理與疲勞壽命的計算方法都與一般齒輪的不同，因而本文擬在基于Lundberg? Palmgren疲勞壽命理論和Hertz接觸理論的基礎上，建立直齒輪疲勞壽命評估模型，形成可靠的疲勞壽命評估方法。

1 分扭傳動結構

直升機主減速器中齒輪傳動系統(tǒng)[5]如圖1所示。整個齒輪傳動系統(tǒng)分為3級：第1級齒輪傳動為斜面齒輪傳動，通過斜面齒輪30與斜面齒輪34的嚙合傳動將轉速方向從向變?yōu)橄?；?級齒輪傳動為分扭構型傳動，通過直齒輪38與直齒輪42A和42D以及直齒輪40與直齒輪44B和44C的嚙合傳動將功率分為4條路徑傳輸，避免了扭矩過大導致直齒輪過快疲勞失效問題；第3級齒輪傳動為人字齒輪傳動，通過人字齒輪48A，48B，48C和48D與人字齒輪32的嚙合傳動將功率合一并輸出。

圖1 單分扭齒輪箱模塊示意圖

2 疲勞壽命評估方法

2.1 疲勞壽命評估理論

2.1.1 Lundberg?Palmgren疲勞壽命理論

Lundberg等針對軸承的疲勞壽命建立了數(shù)學分析模型[6]。該模型假定軸承疲勞失效源于接觸下表面由高應力影響下軸承材料中應力分布的不協(xié)調所引起的疲勞點蝕，對于生存概率、應力影響因子和壽命三者之間有如下關系式：

式中：為生存概率；為高應力影響區(qū)域的體積；為應力循環(huán)次數(shù)即壽命；G為Weibull斜率；和為材料指數(shù)；0為臨界應力深度；為臨界應力。

在此數(shù)學模型基礎上，文獻[6]認為，基于疲勞失效原理的相似性，此模型同樣適用于對齒輪疲勞壽命的評估。因此，當生存概率通常作為設計指標既定時，式(1)左邊變?yōu)槌Ａ?，則應力循環(huán)次數(shù)可以視為只與高應力影響區(qū)域體積、臨界應力深度0和臨界應力相關的變量。式(1)變換后的比例關系式如下：

對于航空用AISI 9310鋼直齒輪，其Weibull斜率G以及材料指數(shù)和已由NASA給出通用值[7]，故下面著重探討高應力影響區(qū)域體積、臨界應力深度0和臨界應力的轉化求解。

2.1.2 Hertz接觸理論

忽略齒輪嚙合時的相對滑動及摩擦，其嚙合時的接觸可以近似看成Hertz線接觸[8]。對于材料相同的1對齒輪，其嚙合時接觸橢圓的長、短半軸、表達式[9]如下：

式中：為齒寬；為外加載；0為與彈性模量有關的系數(shù)；為綜合曲率半徑。0和表達式如下：

式中：為彈性模量；1/為泊松比；和分別為主動輪和從動輪曲率半徑，

1為主動輪分度圓半徑；為主動輪壓力角；1和2分別為主動輪和從動輪齒數(shù)。

對于航空用齒輪，其疲勞失效通常是由最大反向正交剪應力引起，此最大反向正交剪應力作用在距接觸表面下距離為0處，振幅在之間變動。在Hertz線接觸理論中，應力深度與接觸橢圓短半軸之間，振幅與最大Hertz接觸應力max之間，外加負載與最大Hertz接觸應力max之間有如下關系式：

式中：1為“單齒”嚙合區(qū)漸開線弧長。

由式(3)，(6)和(7)可知：忽略輪齒固有屬性參數(shù)，高應力影響區(qū)域體積、臨界應力深度0和臨界應力這3個著重探討的參數(shù)主要與最大Hertz接觸應力相關。

此外，由于齒面接觸應力為脈動循環(huán)，需將最大Hertz接觸應力通過Goodman公式轉化為對稱循環(huán)的當量應力，其轉換公式如下[11]：

2.2 單齒在1個嚙合周期內的載荷分布

疲勞壽命評估主要與最大Hertz接觸應力max相關，本文擬通過有限元分析軟件ANSYS來實現(xiàn)其求解。在求解之前，需要確定輪齒在嚙合周期內的載荷分布。

2.2.1 單齒嚙合內界點和外界點的確定

AGMA 913-A98[12]給出了齒輪嚙合時內界點和外界點的確定方法，如圖2所示。圖2中：點為齒廓嚙合起始點；點為齒廓嚙合終止點；點和點為單對齒嚙合的內界點和外界點。

圖2 嚙合界點的確定

據(jù)此可知，在直角坐標系內，各嚙合界點到坐標原點的距離為

式中：r為齒輪基圓半徑；r為齒輪齒頂圓半徑；a為中心距；p為齒輪基節(jié)。

2.2.1 嚙合區(qū)上任一點法向力

對于齒輪單齒，沿實際嚙合區(qū)域載荷分布近似服從如下規(guī)律[13]：

式中：L和L為載荷分配系數(shù)，參考美國航空發(fā)動機減速器齒輪強度計算方法中的參數(shù)，選用，[13]；為嚙合起始點距齒頂弧長；為嚙合內界點距齒頂?shù)幕￠L；為嚙合外界點距齒頂?shù)幕￠L；為嚙合終止點距齒頂?shù)幕￠L；為該點距齒頂弧長；0為加載于齒頂時的法向力，

式中：為功率；為轉速。

2.2.2 嚙合區(qū)上任一點加載角

在直角坐標系中，沿漸開線上加載力與加載角如圖3所示。

圖3 漸開線上加載力與加載角簡圖

則嚙合線上任一點的加載角為

2.3 疲勞壽命評估模型

2.3.1 主動輪單齒疲勞壽命評估模型

考慮到當設計指標生存概率為90%時，應力循環(huán)次數(shù)即為主動輪1個單齒的疲勞壽命10，聯(lián)立式(2)，(3)，(4)和(6)，并略去常量比值，由式(2)得到如下比例關系式：

引入材料系數(shù)G，式(15)變成

當生存概率=90%時，據(jù)式(16)可得主動輪單齒的疲勞壽命10。

2.3.2 主動輪疲勞壽命評估模型

由式(1)可知有如下比例關系式：

由式(17)可知：對于同一研究對象，以90%生存概率下的疲勞壽命10作為基準。生存概率有如下關系式：

根據(jù)獨立事件的基本概率理論，對于齒數(shù)為1的分扭傳動主動輪，其同時帶動2對從動輪，主動輪生存概率S與主動輪單齒生存概率的關系式如下：

對于主動輪，當主動輪生存概率S為90%時，將式(19)代入式(18)有

當生存概率S為90%時，由式(20)可得主動輪的疲勞壽命L。

2.3.3 多工況下主動輪疲勞壽命評估模型

直升機在實際飛行過程中具有不同的飛行狀態(tài)，各狀態(tài)對應的工況可以由載荷譜得到。齒輪所處工作環(huán)境復雜而多變，其在各工況綜合作用下的疲勞壽命如下：

3 疲勞壽命評估實例

3.1 主動輪基本參數(shù)與所處工況

所研究直齒輪副基本參數(shù)及材料性能分別如表1和表2所示。

表1 齒輪副基本參數(shù)

表2 材料性能

直升機飛行譜中含多種工況，分別對應于正常飛行時不同的飛行狀態(tài)。本文為了方便說明和簡化計算，只選取其中某一飛行狀態(tài)進行研究，即以遠航速度平飛側滑15°，質量為“中2”時作為研究對象所處工況，其結果如表3所示。

表3 傳動系統(tǒng)部分載荷譜

3.2 ANSYS求解最大Hertz接觸應力

一個完整的平面單齒輪廓通常由齒頂曲線、工作齒廓、過渡曲線和齒底曲線這4部分組成。在這4部分曲線中，工作齒廓是輪齒嚙合區(qū)域，過渡曲線雖不參與齒輪的嚙合運動，但其對齒輪的應力和變形影響較顯著，故有必要精確地作出工作齒廓和過渡曲線的實際齒廓。本文在ANSYS中采用APDL參數(shù)化語言對主動輪單齒進行建模。

為了求解主動輪單齒在1個嚙合周期內的最大Hertz接觸應力，在ANSYS中采用SOLID185作為單元類型，它為八節(jié)點低階六面體單元，對單齒模型生成四節(jié)點的四邊形映射網(wǎng)格，并最終經(jīng)體掃略生成三維實體網(wǎng)格。

完成網(wǎng)格劃分后，需對模型進行位移約束和施加載荷。假定主動輪輪齒不動，通過外加負載沿嚙合區(qū)移動即移動載荷的方式來模擬齒輪副在1個嚙合周期內的實際接觸情況，對輪齒兩側面及底面施加全位移約束。

主動輪在嚙合過程中同時帶動2對從動輪，對于一側嚙合單齒而言，另一側外加負載對其最大Hertz接觸應力的影響可忽略不計。故為了求解方便，只考慮一側外加負載。

在ANSYS求解過程中，將單齒二維端面上的實際嚙合漸開線均分為21等分，則在此端面上載荷作用關鍵點為22個點，由此衍生到三維體中接觸線為22條。每條接觸線上節(jié)點個數(shù)及其坐標已知，則依據(jù)式(11)和(14)可分別得到其法向作用力和加載角。采用DO循環(huán)分別加載共22次，最終得到沿漸開線Hertz接觸應力分布如圖4所示。

1—沿漸開線Hertz接觸應力；2—修正最大Hertz接觸應力；3—平均Hertz接觸應力

圖4 沿漸開線Hertz接觸應力

Fig. 4 Hertz contact stress along involute line

其中，第13步為1個嚙合周期內最大Hertz接觸應力出現(xiàn)時的載荷步，其應力云圖如圖5所示。由此可知最大Hertz接觸應力為1.331 GPa，代入式(8)得到Goodman修正當量應力為1.011 GPa。

圖5 最大Hertz接觸應力所處載荷步Von Mises應力云圖

3.3 主動輪單工況下疲勞壽命評估

在直升機處于以遠航速度平飛側滑15°、質量為“中2”的飛行工況時，對于主動輪而言，其功率為487.5 kW，轉速為7 626 r/min，在此工況下產生的Goodman修正當量應力為1.011 GPa。Lewis實驗室[6]給出航空用AISI 9310漸開線直齒輪的材料影響系數(shù)為B=4.08×108，=31/3，=7/3，e=3/2。在ANSYS后臺數(shù)據(jù)中可以查得最大Hertz接觸應力作用點在和方向的坐標分別為2.58 mm和59.90 mm，“單齒”嚙合區(qū)漸開線弧長為1.513 mm。

將上述參數(shù)代入式(16)計算得到主動輪單齒疲勞壽命10為1.978 3×106次，將其代入式(20)計算得到主動輪在該工況下疲勞壽命L為1.187 5×105次。中航某所AISI 9310直齒輪在某型齒輪疲勞試驗機上于該工況下疲勞壽命的實驗結果為1.620 0×105次。與之相比相對誤差為26.7%，考慮到潤滑對疲勞壽命的影響，且加上評估值比試驗值更加保守，可以認為該疲勞壽命評估方法是有效且精確的。

4 結論

1) 在L?P疲勞壽命理論和Hertz接觸理論的基礎上，建立了直升機主減速器中分扭傳動主動輪的疲勞壽命評估模型，得到其疲勞壽命的評估方法。

2) 利用所得到的針對直齒輪的疲勞壽命評估方法，對直升機傳動系統(tǒng)載荷譜中某一工況下的主減速器直齒輪中的主動輪疲勞壽命進行評估，并與試驗結果進行對比，研究結果表明，該方法是一種安全，有效的疲勞壽命估算方法。

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Evaluation method of fatigue life for split torque transmission spur gears in helicopter

DING Sheng, LIU Shaojun, HU Yun

(State Key Laboratory for High Performance Complex Manufacturing, School of Mechanical and Electrical Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

To obtain the fatigue life evaluation method for split torque transmission spur gears in helicopter’s main reducer, an mathematical model of single pinion tooth based on Lundberg?Palmgren fatigue life theory (L?P theory) and Hertz contact theory was established. The parameters of this model were mostly related to the maximum Hertz contact stress. To solve the stress by the software of ANSYS, the boundary points and the regularities of loading distributions on the meshing area were determined, including the force and angle of loading at any point in this area. According to the data above, the fatigue life evaluation method for pinion under varieties of working conditions based on loading spectrum was finally obtained, and an example which proves the method reasonable of pinion under one working condition was given. The results show that the evaluation result calculated by this method is securer than the test result, which indicate that the method is a safe and effective evaluation method of fatigue life.

spur gears; fatigue life; L?P theory; Hertz contact theory; loading distribution

TH132.4；V215.5

A

1672?7207(2015)01?0135?06

2014?02?10；

2014?04?22

國防預研項目(81302XXXX) (Project(81302XXXX) supported by the National Defense Beforehand Research Project)

劉少軍，教授，博士生導師，從事深海礦產資源勘探與開采技術及直升機疲勞壽命與可靠性分析方法研究；E-mail: liumen503@gmail.com

10.11817/j.issn.1672?7207.2015.01.019

(編輯 陳燦華)