李鳳蓮，暢江，張雪英，宋磊，田玉楚, 2

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基于壓縮感知的語音盲稀疏重構(gòu)算法及其去噪應(yīng)用

李鳳蓮1，暢江1，張雪英1，宋磊1，田玉楚1, 2

(1. 太原理工大學(xué) 信息工程學(xué)院，山西 太原，030024；2. 昆士蘭科技大學(xué) 信息工程學(xué)院，澳大利亞 昆士蘭，4001)

根據(jù)傳統(tǒng)的正交匹配追蹤(OMP)算法和稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤(SAMP)算法各自的缺陷，提出可以在盲稀疏狀態(tài)下重構(gòu)帶噪語音的多匹配正交追蹤(MMOP)算法。該算法采用同時匹配多個原子以及同步增大和縮小原子集的辦法來解決SAMP算法中原子的過匹配和欠匹配現(xiàn)象，此外，還提出一種新的去噪思想和設(shè)置初始步長方法，并且采用分階段步長來重構(gòu)原始語音信號。研究結(jié)果表明：本文算法不僅修正SAMP算法的過匹配和欠匹配的現(xiàn)象，而且還具有匹配速度快、迭代次數(shù)少的優(yōu)點(diǎn)，同時又提高語音信號在盲稀疏狀態(tài)下的重構(gòu)精度，此外，該算法還可以應(yīng)用在噪聲語音中，有較明顯的去噪效果，且其重構(gòu)后的語音主客觀質(zhì)量評價都要好于傳統(tǒng)的OMP算法和SAMP算法。

壓縮感知；重構(gòu)算法；語音去噪；匹配追蹤算法

由于重構(gòu)算法是壓縮感知[1?2](compressed sensing, CS)理論研究的關(guān)鍵技術(shù)之一，因此，近年來，國外的學(xué)者對CS的重構(gòu)算法進(jìn)行大量研究，國內(nèi)的一些學(xué)者也開始陸續(xù)對CS重構(gòu)算法進(jìn)行相關(guān)研究，例如王良君等[3]提出在多稀疏空間下重構(gòu)圖像，何宜寶等[4]提出利用概率結(jié)構(gòu)模型實現(xiàn)信號重構(gòu)，王超等[5]提出基于稀疏約束的自適應(yīng)正則化迭代重構(gòu)算法、陳勝垚等[6]提出混沌壓縮感知的在線估計，王娟[7]提出基于量子免疫的CS重構(gòu)算法。雖然已有的算法很多，但沒有一個算法是普遍適用的，很多算法也都是在經(jīng)典的CS重構(gòu)算法之上進(jìn)行改進(jìn)，例如劉記紅等[8]提出基于改進(jìn)的正交匹配追蹤算法，Do等[9]提出稀疏度自適應(yīng)的匹配追蹤算法，高睿等[10]提出的變步長匹配追蹤算法。目前，最具有代表性的經(jīng)典CS重構(gòu)算法有基追蹤法(basis pursuit, BP)[11]、正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit, OMP)[12]以及稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤(sparsity adaptive matching pursuit，SAMP)[13]等算法。然而，對于現(xiàn)有的OMP算法和SAMP算法都各有其優(yōu)缺點(diǎn)。OMP算法是最常用的一種算法，雖然重構(gòu)精度高，但它是在稀疏度已知的情況下才可使用，若稀疏度未知，則就要對其進(jìn)行估計，稀疏度估計的過高和過低都會影響重構(gòu)后的精度和速度。SAMP算法是一種稀疏度自適應(yīng)的匹配追蹤算法，它雖然可以在盲稀疏度的情況下對信號進(jìn)行重構(gòu)，但是它以降低算法的運(yùn)算速度為代價來進(jìn)行盲匹配的。此外，SAMP算法還存在過匹配和欠匹配[14]現(xiàn)象，該現(xiàn)象影響程序運(yùn)行時的速度、精度以及穩(wěn)定性?；谏鲜鲈?，本文作者針對語音信號，提出一種可以重構(gòu)盲稀疏帶噪語音的多匹配正交追蹤算法(multi-matching orthogonal pursuit，MMOP)，該算法使傳統(tǒng)的壓縮感知過程在3個方面進(jìn)行了改進(jìn)，首先它解決了SAMP算法的過匹配和欠匹配問題，并且還簡單有效地完成了對初始步長的估計，加快了算法的計算速度；其次，它采用分階段步長的思想來加強(qiáng)算法的重構(gòu)精度，最后又提出一種新的方式來濾除原始信號中的噪聲。通過這3方面的改進(jìn)方法，使得語音信號達(dá)到了更清晰和更準(zhǔn)確的重構(gòu)效果。

1 壓縮感知

1.1 壓縮感知理論

在對信號進(jìn)行觀測時，若×維的觀測矩陣與不相關(guān)，且＜＜＜，為×1維的列向量，則信號的觀測值為

在對信號進(jìn)行重構(gòu)時，實際上就是對式(2)求逆運(yùn)算的過程，根據(jù)＜＜＜，可將該逆運(yùn)算轉(zhuǎn)化為1或0范數(shù)優(yōu)化問題，若采用0范數(shù)求解，只要求出中的個稀疏值即可，即求解公式(4)中的。

在CS理論中，通常使用的重構(gòu)算法是基于0范數(shù)[12?13]優(yōu)化的OMP算法和SAMP算法。

1.2 OMP算法和SAMP算法存在的問題和不足

正交匹配追蹤(OMP)算法是一種常用的貪婪追蹤算法，它的基本思想是：采用貪婪迭代的方法來達(dá)到原子選擇和殘差更新的目的，在每次迭代中對已選原子集合進(jìn)行正交化處理，并計算求得觀測矩陣與當(dāng)前殘差的相關(guān)性，找出最相關(guān)的原子用最小二乘法進(jìn)行信號的稀疏逼近，求出殘差，再重復(fù)之前的操作，完成次迭代，其中迭代的次數(shù)就為信號的稀疏度。OMP算法能夠以極高的概率重構(gòu)原始信號，但該算法實現(xiàn)的前提條件是所需信號的稀疏度必須是已知的，若能夠精準(zhǔn)地確定信號的稀疏度，則采用OMP算法重構(gòu)原始信號是非?？焖俸陀行У?，而在實際情況中，信號經(jīng)壓縮傳輸后其稀疏度一般都是無法知曉的，尤其對于語音信號而言，經(jīng)過分幀處理后的語音，其每一幀的稀疏度都是不一樣的，因此，語音信號的稀疏度就更無法確定。

SAMP算法是OMP算法的一種改進(jìn)算法，它通過設(shè)置1個初始步長，在程序反復(fù)迭代的過程中更新，找出最優(yōu)原子，實現(xiàn)信號的稀疏估計，因此，該算法具有重建盲稀疏信號的優(yōu)點(diǎn)。然而，該算法仍然存在一些問題，首先由于該算法迭代步驟增加，程序運(yùn)行時需要花費(fèi)大量的時間；其次，該算法在迭代過程中，過分依賴初始步長，若初始步長估計錯誤可導(dǎo)致程序運(yùn)行時間過長；再次，該算法的迭代終止條件是當(dāng)前殘差小于設(shè)定閾值，由于不能保證每次的殘差都會小于上一次的殘差，因此，這樣的終止條件極容易使信號在重構(gòu)時產(chǎn)生過匹配和欠匹配的現(xiàn)象，從而降低了信號的重構(gòu)精度和重構(gòu)效率。

2 多匹配正交追蹤算法(MMOP)

2.1 MMOP算法的基本原理

基于傳統(tǒng)OMP算法和SAMP算法所存在的不足，本文提出一種MMOP算法，該算法的基本原理是在程序運(yùn)行時的每次迭代中，從觀測矩陣與當(dāng)前殘差的內(nèi)積中選擇與本次循環(huán)最相關(guān)的前個原子作為候選集，式(6)為其相關(guān)系數(shù)的表達(dá)式：

根據(jù)相關(guān)系數(shù)選出候選集原子后，再把本次候選集的原子和上次候選集的原子合并為新的候選集，將新選出的原子，用最小二乘法進(jìn)行多匹配得出重構(gòu)信號，求出當(dāng)前殘差。式(7)為用最小二乘法估計原始信號，式(8)為殘差的求解公式：

1=+(9)

2=?(10)

式中：為信號迭代步長，然后比較候選集長度為1和2的殘差，選用殘差最小的候選集個數(shù)為當(dāng)前，進(jìn)行下一次迭代，當(dāng)殘差小于某個預(yù)先設(shè)定好的精度后程序?qū)⒆詣油Ｖ沟?。每次迭代完成后其就是語音信號每一幀的稀疏度。

2.2 MMOP重構(gòu)中的閾值去噪思想

目前已有研究成果指出應(yīng)用壓縮感知理論可以提高原始信號的抗噪性能[15?18]，但只能是在噪聲強(qiáng)度不大的情況下，通過設(shè)置式(4)的閾值來限制重構(gòu)的稀疏個數(shù)，再利用式(5)進(jìn)行重構(gòu)去噪，但是，由于重構(gòu)的語音本身就是帶噪的語音信號，所以，若原始信號的噪聲比較大，最終重構(gòu)出的信號仍是噪聲信號，因此，傳統(tǒng)的壓縮感知理論不能達(dá)到真正的去噪目的[19]。基于上述原因本文所提出的這種閾值去噪思想可以使語音信號在無噪聲狀態(tài)時，直接跳過無語音幀，對有語音幀進(jìn)行重構(gòu)，而在語音信號含有噪聲時，使帶噪語音信號得到清晰的重構(gòu)，其基本原理如下。

假設(shè)帶噪語音為

式中：z，z和z分別為經(jīng)過頻域變換后的帶噪信號、純凈信號和噪聲信號。帶噪語音在變換域上的稀疏表示為

式(13)為信號幀在有語音時的去噪過程，噪聲閾值的設(shè)置方式為無語音期間信號幀的稀疏個數(shù)。為了滿足語音信號的自適應(yīng)重構(gòu)要求，本文對噪聲閾值進(jìn)行2步評估，即設(shè)置2個去噪閾值，分別為初始閾值和迭代后的閾值。初始閾值的設(shè)置方式由重構(gòu)純凈語音時的實驗得出，若純凈語音在固定的幀長中，其無語音幀的稀疏個數(shù)一般總是小于某個范圍，而這個范圍就設(shè)定為初始去噪閾值，當(dāng)為含噪語音時，若某個幀重構(gòu)后的稀疏個數(shù)大于但遠(yuǎn)小于之前某個重構(gòu)好的語音幀時，則可以判定該段語音信號幀為噪聲幀，就將該段語音幀的稀疏個數(shù)設(shè)為。此設(shè)計方案可以有效地濾除噪聲，實現(xiàn)語音增強(qiáng)的功能。

2.3 MMOP算法的分階段步長思想

為了提高重構(gòu)算法的速度，MMOP算法采用分階段步長的法方法來重構(gòu)語音信號。由于本文算法設(shè)置了一個去噪聲閾值，若≤，則在重構(gòu)過程中是不進(jìn)行任何處理的，信號直接置零，這就說明每一個語音幀的稀疏個數(shù)至少要大于這個噪聲閾值，即≥，因此，就可以設(shè)置MMOP的初始步長=。該方法簡單而有效地實現(xiàn)了對初始步長的估計。此外，研究表明[10]，在每次迭代過程中，當(dāng)還沒有達(dá)到所需重構(gòu)信號的稀疏個數(shù)時，相鄰2次迭代的殘差是逐步減小的，而且隨著迭代速度的增加，此殘差的下降速度越來越慢。因此，在匹配速度變慢時，采用減小迭代步長的方法來逼近信號的稀疏度，信號迭代步長的增加量減小為=×(其中，為信號的壓縮比)。

2.4 MMOP的具體實現(xiàn)步驟

步驟1：將帶噪語音進(jìn)行分幀加窗后，將每一幀的原始信號直接投影到觀測矩陣上，得到信號的觀測值。

步驟3：根據(jù)式(6)計算出相關(guān)系數(shù)，并從中選擇個最大相關(guān)系數(shù)存入中。

步驟4：合并當(dāng)前候選集與前一次候選集作為新的候選集new，更新=new，中的原子個數(shù)為新的，利用式(7)和(8)求出信號的當(dāng)前估計值和當(dāng)前 殘差。

步驟5：當(dāng)?shù)螖?shù)=1時，求出new中不為零的原子個數(shù)，若不為零的原子個數(shù)=，則可認(rèn)為該幀語音為有語音信號，轉(zhuǎn)入步驟6；否則可認(rèn)為該幀語音為無語音信號，設(shè)置當(dāng)前幀為零，并進(jìn)行下一幀的信號重構(gòu)，=+1，轉(zhuǎn)入步驟3。

步驟8：求出當(dāng)前中不為零的原子個數(shù)K，若，則可認(rèn)為該幀語音為噪音信號，更新噪聲閾值，求出該幀的噪聲功率譜，同時更新噪聲功率，根據(jù)得到去噪后的語音幀，并進(jìn)行下一幀的信號重構(gòu)，轉(zhuǎn)入步驟3；否則，無需更新噪聲閾值，直接轉(zhuǎn)入步驟3。

3 實驗結(jié)果及分析

本實驗所選用的語音庫為英語語音庫，在該語音庫中，分別選取男生和女生的語音各20句，每段語音的時長為2 s，對于每段語音的每個實驗，都重復(fù)5次，結(jié)果取其平均值。實驗所用的仿真軟件為MATLAB，實驗方法是對每段語音采用OMP，SAMP和MMOP這3種算法進(jìn)行重構(gòu)，并比較它們重構(gòu)后的語音質(zhì)量。其中OMP算法是在已知語音信號每一幀稀疏度的情況下進(jìn)行的，SAMP算法采用的固定迭代步長為4。實驗中采用信噪比和主觀質(zhì)量評價(PESQ)的方法作為重構(gòu)語音信號的評價標(biāo)準(zhǔn)。其中信噪比(SNR)的計算公式為

式中：s為信號功率；n為噪聲功率。實驗中語音信號的幀長為512個樣點(diǎn)。實驗分別討論2種情況：一種是在無噪聲條件下，分析這3種算法的重構(gòu)性能；另一種情況是在有噪聲的條件下，分析SAMP閾值去噪方法與MMOP去噪方法的去噪效果。

實驗1：考察無噪聲語音在不同壓縮比的狀態(tài)下，使用不同方法重構(gòu)以后，語音的質(zhì)量情況。表1所示為采用不同方法重構(gòu)語音后的信噪比SNR和PESQ。

從表1可以看出：當(dāng)小于0.3時，由于OMP算法的計算復(fù)雜度低，能夠在較少數(shù)據(jù)中快速、準(zhǔn)確找出最相關(guān)的匹配原子；而當(dāng)大于0.3時，SAMP算法不論從信噪比還是PESQ都比OMP算法的重構(gòu)效果好。對于本文所提出的MMOP算法，當(dāng)壓縮比不同時，其重構(gòu)后語音的信噪比以及PESQ全都比OMP算法和SAMP算法的高。

表1 采用不同方法重構(gòu)語音后的RSNR和PESQ

由于MMOP所選取的迭代步長為自適應(yīng)的，對于不同的語音幀，算法的迭代次數(shù)是不一樣的，因此很難精確地計算出該算法的時間復(fù)雜度。所以，為了對這3種算法的計算速度進(jìn)行分析，本文對算法的迭代次數(shù)和算法的運(yùn)行時間進(jìn)行比較，結(jié)果如表2和圖1所示。對于重構(gòu)2 s的語段來說，從表2可以看出MMOP算法的迭代次數(shù)要比OMP算法和SAMP算法的少得多，這是因為MMOP算法采用分階段步長的方法根據(jù)實際的語音情況自適應(yīng)調(diào)整迭代步長，從而大大減少了迭代次數(shù)。對于圖1來說，OMP算法的程序運(yùn)行時間要比SAMP算法快很多，甚至在10 dB為0.6時，SAMP算法所要耗費(fèi)的時間幾乎是OMP算法的6倍，這是因為SAMP算法迭代步長固定，且每增加1次迭代算法的運(yùn)算量就比前一次大，所以，即便SAMP算法的重構(gòu)效果較好，迭代次數(shù)少，但其計算速度慢的缺點(diǎn)就阻礙了該算法的應(yīng)用。而OMP算法之所以能夠快速準(zhǔn)確地重構(gòu)，是因為其稀疏度為已知確定的，但在實際情況中，語音信號每一幀的稀疏度都是未知的，所以，采用OMP算法就不能對信號進(jìn)行快速準(zhǔn)確的重構(gòu)。本文提出的MMOP算法在運(yùn)行速度上雖然不及已知稀疏度的OMP算法運(yùn)法速度快，但是比起SAMP算法，其速度已有明顯提高。

表2 每種算法的平均迭代次數(shù)

1—SAMP；2—OMP；3—MMOP

圖1 不同算法的運(yùn)行速度對比

Fig. 1 Running speed of different algorithms

圖2所示為將這3種重構(gòu)算法的相對誤差和進(jìn)行了比較。從圖2可以看出：當(dāng)壓縮比大于0.3時，SAMP算法的相對誤差較小，而本文的MMOP算法重構(gòu)的語音，其相對誤差都比前2種算法的小；當(dāng)壓縮比小于0.3時，MMOP的相對誤差明顯比OMP算法和SAMP算法的小，這表明在壓縮比很大的情況下，采用MMOP算法可以使原始信號得到更精確的重構(gòu)。

1—SAMP；2—OMP；3—MMOP

圖2 不同算法的相對誤差對比

Fig. 2 Comparison of relative error of different algorithms

圖3所示為當(dāng)壓縮比為0.5時采用這3種方法對某段語音重構(gòu)后的效果圖。從圖3可以看出：SAMP算法重構(gòu)后的語音信號在橫坐標(biāo)為2×104處與原始語音信號有明顯不一致的地方，并且該處的幅值明顯比原始信號的大，這是一種“過匹配現(xiàn)象”。此外，還有一種現(xiàn)象為“欠匹配現(xiàn)象”，該現(xiàn)象在圖中不容易被直接看出。從圖3還可以看出本文的MMOP算法可以很好地解決重構(gòu)過程中的過匹配和欠匹配問題，并且結(jié)合表1，可以看出它的重構(gòu)效果要比OMP和SAMP算法的要好。

(a) 原始語音；(b) OMP重建語音；(c) SAMP重建語音；

(d) MMOP重建語音

圖3=0.5時不同方法的重建效果圖

Fig. 3 Reconstruction effect of different method when=0.5

實驗2：考察信號在有噪聲的情況下，比較傳統(tǒng)SAMP算法的閾值去噪效果和本文所提出的MMOP算法的閾值去噪效果。圖4所示為當(dāng)帶噪語音信噪比為5 dB時的去噪效果圖。表3所示為當(dāng)壓縮比固定=0.3時，在不同噪聲強(qiáng)度下，采用MMOP算法進(jìn)行語音去噪以后的SNR和PESQ。表4所示為當(dāng)原始含噪語音的信噪比為10 dB時，在壓縮比不同的情況下MMOP算法的去噪性能。

(a) 原始語音；(b) 含噪語音；(c) SAMP閾值去噪；

(d) MMOP算法去噪

圖4SNR為5 dB時MMOP的去噪效果圖

Fig. 4 MMOP de-noising effect atSNRof 5 dB

表3 R=0.3時SAMP和MMOP的去噪效果

表4 原噪聲比為10 dB、壓縮比不同時MMOP的去噪效果

在本實驗中，其噪聲信號均采用高斯白噪聲，這是因為實際的噪聲信號經(jīng)白化及同態(tài)濾波處理后都可以轉(zhuǎn)化為高斯白噪聲。從圖4可以看出：將原始信號加上白噪聲以后，通過設(shè)置噪聲閾值的方式采用傳統(tǒng)SAMP算法只能去除無語音期間的噪聲，但是在有語音期間其重構(gòu)后的語音仍是帶噪語音，而使用MMOP算法，通過對噪聲閾值的兩步評估以及對含噪語音采用功率相減的方法，不僅可以濾除無語音期間的噪聲，而且可以明顯地去除有語音期間的噪聲。

從表3可以看出：當(dāng)壓縮比固定=0.3時，相比于SAMP算法，MMOP算法有更好的去噪效果。當(dāng)帶噪語音的信噪比小于10 dB時，MMOP算法的去噪能力要比SAMP算法的去噪能力更強(qiáng)，并有相對較高的信噪比SNR和PESQ；當(dāng)帶噪語音大于15 dB時，由于背景噪聲減弱，每種算法的去噪效果并不明顯。

從表3可以看出：當(dāng)原噪聲信噪比為0.4時，SAMP算法的去噪效果最好，而當(dāng)原噪聲的信噪比大于0.3時，它的去噪效果下降。這是因為壓縮比變大時，在重構(gòu)時就會重構(gòu)出一部分噪聲，由此看出SAMP算法不能達(dá)到真正的去噪目的。對于MMOP算法，它不受壓縮比的束縛，擺脫了壓縮感知去噪方法的局限性。由表4可知：在相同的噪聲干擾下，MMOP算法的去噪效果也要比SAMP算法的好。

4 結(jié)論

1) 針對使用傳統(tǒng)壓縮感知在處理語音信號時存在的一些問題，本文提出了3種改進(jìn)算法，分別改進(jìn)了重構(gòu)算法的過匹配和欠匹配問題、重構(gòu)過程中的初始步長設(shè)置問題和匹配速度問題以及重構(gòu)時的去噪 問題。

2) 雖然本文結(jié)合語音信號，對已有的壓縮感知理論進(jìn)行相關(guān)改進(jìn)，但是基于語音信號自身的特點(diǎn)，如何使用感知理論對語音信號進(jìn)行有效處理，使其可以更為準(zhǔn)確和快速地重構(gòu)出來，還需要不斷地研究和 完善。

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Reconstruction algorithm of blind sparse and its de-noising application in speech based on

LI Fenglian1, CHANG Jiang1, ZHANG Xueying1, SONG Lei1, TIAN Yuchu1, 2

(1. College of Information Engineering, Taiyuan Universi ty of Technology, Taiyuan 030024, China;2. Faculty of Information Technology, Queensland University of Technology, QLD 4001, Australia)

Considering the defects of the traditional orthogonal matching pursuit (OMP) algorithm and the sparsity adaptive matching pursuit (SAMP) algorithm, the multi-matching orthogonal pursuit (MMOP) algorithm was proposed under the condition of blind sparse with noise speech. The proposed algorithm used method of the match more than one atom to solve the over matching and less matching problems of SAMP algorithm as well as method of growing and shrinking atomic set. In addition, a new method of speech de-noising and the initial step, and the phased step was also proposed to reconstruct the original speech signal. The results show that the proposed algorithm can not only solve the SAMP algorithm problem of over matching and less matching, but also improve the matching speed and lessen the iterations number, and at the same time improve the accuracy of reconstruction. What’s more, the proposed algorithm can also be applied to the common noisy speech, with a better speech quality evaluation than the traditional OMP algorithm and SAMP algorithm.

compressed sensing; reconstruction algorithms; speech de-noising; matching pursuit algorithm

TN921.3

A

1672?7207(2015)01?0164?07

2014?02?22；

2014?04?17

國家自然科學(xué)基金資助項目(61371193)；山西省自然科學(xué)基金資助項目(2012011014-1)；山西省青年科技研究基金資助項目(2013021016-2)；山西省回國留學(xué)人員科研基金資助項目(2013-034) (Project(61371193) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(2012011014-1) supported by the Natural Science Foundation of Shanxi Province; Project(2013021016-2) supported by the Natural Science Foundation for Young Scientists of Shanxi Province; Project(2013-034) supported by the Shanxi Provincial Foundation for Returned Scholars)

張雪英，教授，博士生導(dǎo)師；從事語音信號處理、音頻水印、煤礦安全預(yù)警及信息化研究；E-mail: tyzhangxy@163.com

10.11817/j.issn.1672?7207.2015.01.023

(編輯 楊幼平)