高 英，朱維耀，岳 明，李愛山，張燎原，宋洪慶

（1.北京科技大學(xué) 土木與環(huán)境工程學(xué)院，北京 100083； 2.中石化勝利油田分公司 采油工藝研究院，山東 東營(yíng)257000）

0 引言

世界石油工業(yè)正向非常規(guī)油氣跨越，最早認(rèn)知的非常規(guī)油氣為致密砂巖氣、深盆氣、煤層氣、頁(yè)巖氣等致密儲(chǔ)層天然氣.隨著頁(yè)巖氣理論研究的深入及勘探開發(fā)的迅速發(fā)展，頁(yè)巖油也成為油氣開發(fā)的另一新熱點(diǎn)，成為油氣供給的重要來(lái)源［1-6］.頁(yè)巖油不以浮力作用為聚集動(dòng)力，具有源儲(chǔ)一體、納米級(jí)孔喉、儲(chǔ)集物性致密、裂縫系統(tǒng)發(fā)育、儲(chǔ)集層脆性指數(shù)較高等典型非常規(guī)油氣特點(diǎn).頁(yè)巖油儲(chǔ)層屬于超低滲透致密儲(chǔ)層，一般無(wú)自然產(chǎn)能或低產(chǎn)，鄒才能等［7］認(rèn)為需要通過(guò)“人造滲透率”，即體積壓裂、重復(fù)壓裂技術(shù)手段改造儲(chǔ)層，實(shí)現(xiàn)頁(yè)巖油有效開發(fā).

由于受頁(yè)巖油儲(chǔ)層的脆性特征及天然裂縫發(fā)育等影響，水力壓裂裂縫不再是傳統(tǒng)的雙翼對(duì)稱裂縫容易形成錯(cuò)綜復(fù)雜的裂縫網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)［8］.人們對(duì)低滲透油藏、頁(yè)巖氣體積壓裂已有研究［9-15］，但對(duì)頁(yè)巖油體積壓裂井的滲流理論和數(shù)學(xué)模型研究尚處于起步階段，多數(shù)是采用數(shù)值模擬軟件研究低滲透油藏體積壓裂井產(chǎn)能［16-17］，并不能很好體現(xiàn)頁(yè)巖油儲(chǔ)層的滲流特性.筆者結(jié)合質(zhì)量和動(dòng)量守恒方程，根據(jù)頁(yè)巖油在井周圍流體的不同流動(dòng)特征［18-19］，將裂縫周圍的流體流動(dòng)劃分為2個(gè)區(qū)域，建立體積壓裂成縫網(wǎng)的頁(yè)巖油儲(chǔ)層直井二區(qū)耦合滲流數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)解析解，得到頁(yè)巖油體積壓裂直井產(chǎn)能方程，能夠直觀評(píng)價(jià)體積壓裂縫網(wǎng)效果和預(yù)測(cè)直井產(chǎn)能.

1 納微米孔喉滲流特征

頁(yè)巖油儲(chǔ)集層中廣泛發(fā)育納米級(jí)孔喉［5，7］，孔徑主要為50～300nm，孔隙度一般小于10%，滲透率小于0.01×10-3μm2.儲(chǔ)層巖石的微觀孔喉結(jié)構(gòu)直接影響儲(chǔ)層的儲(chǔ)集滲流能力，并最終決定油氣藏產(chǎn)能分布的差異.利用巖心流動(dòng)實(shí)驗(yàn)，分別測(cè)定流體在不同流量條件下通過(guò)巖心時(shí)的壓力梯度（見圖1），并繪制啟動(dòng)壓力梯度與滲透率關(guān)系曲線（見圖2）.

由圖1可知，頁(yè)巖油開發(fā)過(guò)程中，直線段的延伸與壓力梯度軸的交點(diǎn)不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線具有明顯的非線性特征，流體滲流不再遵循達(dá)西定律，出現(xiàn)低速非達(dá)西滲流，具有擬啟動(dòng)壓力梯度.低滲巖心的啟動(dòng)壓力梯度隨流量的增加而增加，巖心的滲透率越小，啟動(dòng)壓力梯度越大.

由圖2可知，流體在頁(yè)巖油儲(chǔ)層中流動(dòng)時(shí)，啟動(dòng)壓力梯度與地層的滲透率密切相關(guān)，隨著滲透率的降低，地層流體的啟動(dòng)壓力梯度急劇增加，啟動(dòng)壓力梯度與滲透率之間呈冪函數(shù)關(guān)系，即

式中：G為啟動(dòng)壓力梯度；K為滲透率.

頁(yè)巖油儲(chǔ)層滲透率小于0.01×10-3μm2，啟動(dòng)壓力梯度達(dá)到5MPa／m，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于低滲透油藏的0.02 MPa／m的啟動(dòng)壓力梯度［20］，存在明顯的強(qiáng)非線性滲流特征.因此，頁(yè)巖油儲(chǔ)層納微米孔喉的滲流運(yùn)動(dòng)方程可用廣義公式表示為

式中：v為滲流速度；μ為黏度；▽p為壓力梯度.

2 表征模型

2.1 裂縫形態(tài)

頁(yè)巖油儲(chǔ)層中發(fā)育微裂縫，主要有2種類型：一是發(fā)育在顆粒內(nèi)部；二是發(fā)育在碎屑顆粒邊緣.顆粒內(nèi)部的微裂縫一般比較平直，曲折度較小，少有膠結(jié)物充填.顆粒間的微裂縫呈鋸齒狀彎曲.微裂縫長(zhǎng)度為5.5～12.0μm，裂縫間距可達(dá)50nm以上，但延伸很短.存在微裂縫的區(qū)域，巖石脆性指數(shù)較高，易形成微裂縫網(wǎng)絡(luò)，從而成為頁(yè)巖中微觀尺度上油氣滲流的主要通道.

體積壓裂過(guò)程中，存在剪切、錯(cuò)斷和滑移等復(fù)雜的力學(xué)行為，在張性主裂縫存在的同時(shí)還存在大量的次生裂縫，并與微裂縫形成錯(cuò)綜復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（見圖3），增大改造體積，溝通流場(chǎng).斷裂和裂縫的分布和幾何形體具有明顯的分形結(jié)構(gòu)，斷裂系統(tǒng)可以使用分維度、統(tǒng)計(jì)自相似性和冪函數(shù)等研究，以分維數(shù)度量［21-23］.因此，采用分形理論描述體積壓裂改造后裂縫的分布特征，并表征體積壓裂“人造滲透率”.

2.2 “人造滲透率”

為了研究滲流速度，建立理想模型：地層厚度為h、半徑為r、井徑為rw、井底流壓為pw、流量為Q的圓柱型徑向滲流區(qū)，見圖4.取dr的微元，設(shè)通過(guò)單位橫截面A0的裂縫總數(shù)為Mc，裂縫的最大寬度和最小寬度分別為λa和λi，裂縫寬度?大于λ的裂縫數(shù)量Mc滿足

式中：D為裂縫寬度分形維數(shù)，量綱為一；-d Mc＞0為單位截面A0中所通過(guò)的寬度在λ與λ＋dλ之間裂縫折合數(shù).

考慮實(shí)際地層中裂縫的彎曲特性，實(shí)際長(zhǎng)度Le應(yīng)遵循分形的基本公式，即

式中：δ為迂曲分維，量綱為一；L為裂縫外觀長(zhǎng)度.

根據(jù)裂縫面密度定義（觀測(cè)面積內(nèi)全部裂縫長(zhǎng)度的總和與觀測(cè)面積之比），裂縫寬度為λ的單條裂縫長(zhǎng)度為dLe，圖4中圓管面積為2πrh／A0，圓筒區(qū)域的裂縫面密度Df為

由流量定義可得到通過(guò)單位橫截面流量為單條裂縫流量Q1（λ）與裂縫條數(shù)的乘積，即

式中：η0為裂縫深度；V為單位橫截面的流量；p為壓力；dp／dLe為壓力梯度.

將式（4）代入式（6）中，整理可得

根據(jù)一般徑向流達(dá)西公式，得

對(duì)式（7-8）從（rw，pw）到（re，pe）積分，可以得到裂縫的有效滲透率 Kn為

式中：re為供給半徑；pe為供給壓力.

裂縫體積系數(shù)fn為圓管區(qū)域的裂縫體積Vf與圓管總體積Vr之比，即

則“人造滲透率”，即體積壓裂改造區(qū)的等效滲透率Ke為

式中：Km為基質(zhì)滲透率.

3 產(chǎn)能數(shù)學(xué)模型

假設(shè)壓裂改造體積為沿主裂縫對(duì)稱的2×xf×b的橢圓柱體［9，13］，根據(jù)頁(yè)巖油儲(chǔ)層體積壓裂改造后的流動(dòng)特點(diǎn)，儲(chǔ)層流體滲流分為2個(gè)區(qū)域（見圖5）：一是體積壓裂主裂縫內(nèi)的線性達(dá)西流動(dòng)；二是體積壓裂改造形成的橢圓縫網(wǎng)區(qū)域的低速非達(dá)西流動(dòng).

3.1 基本假設(shè)

主要根據(jù)頁(yè)巖油儲(chǔ)層體積壓裂井生產(chǎn)時(shí)流體的流動(dòng)特征，考慮頁(yè)巖油儲(chǔ)層非線性滲流特征，建立頁(yè)巖油體積壓裂改造儲(chǔ)層直井產(chǎn)能預(yù)測(cè)模型.假設(shè)：（1）頁(yè)巖油儲(chǔ)層為上下封閉且無(wú)限大地層；（2）對(duì)直井進(jìn)行體積壓裂，儲(chǔ)層體積壓裂改造后形成橢圓形的縫網(wǎng)，橢圓形體積改造區(qū)域短半軸長(zhǎng)為b，焦距為主裂縫半長(zhǎng)，見圖5；（3）油藏和裂縫內(nèi)流體為單相流體，不可壓縮，滲流為等溫穩(wěn)定滲流，不考慮重力影響；（4）滲流過(guò)程中考慮啟動(dòng)壓力梯度的影響.

3.2 主裂縫的線性流動(dòng)

主干縫內(nèi)流體的流動(dòng)服從達(dá)西定律，屬于線性流動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為

其穩(wěn)態(tài)流動(dòng)表達(dá)式為

式中：Kf為主干縫滲透率.

對(duì)式（13）進(jìn)行分離變量，并從（xf，pxf）到（rw，pw）積分，可以得到裂縫內(nèi)流體的流量和壓差之間的關(guān)系表達(dá)式，即

式中：pxf為主裂縫兩端的壓力；wf為主裂縫寬度；xf為主裂縫半長(zhǎng).

3.3 改造區(qū)的橢圓滲流

改造后儲(chǔ)層橢圓滲流區(qū)直角坐標(biāo)系（x，y）和橢圓坐標(biāo)系（η，ξ）的關(guān)系為

式中：a、b分別為橢圓的長(zhǎng)軸和短軸.

對(duì)于改造后的頁(yè)巖油儲(chǔ)層，其等效滲透率Ke即“人造滲透率”依然不高，該區(qū)域流動(dòng)為非線性滲流，存在啟動(dòng)壓力梯度，因此橢圓區(qū)穩(wěn)態(tài)滲流的流量表達(dá)式為

式中：B為體積壓縮因子.

結(jié)合式（17），對(duì)式（16）從（ξw，pxf）到（ξi，pe）進(jìn)行積分，可以得到橢圓滲流區(qū)的流量與壓差公式為

式中：ξw為井筒附近橢圓坐標(biāo)；ξi為泄油區(qū)橢圓坐標(biāo).

3.4 二區(qū)耦合后產(chǎn)能解析式

根據(jù)兩區(qū)交界處壓力相等，對(duì)式（14）和式（18）聯(lián)立，可以得出頁(yè)巖油儲(chǔ)層體積壓裂改造后直井的產(chǎn)能解析解表達(dá)式，即

4 單井產(chǎn)能影響因素分析

以勝利油田某實(shí)驗(yàn)區(qū)塊一口頁(yè)巖油儲(chǔ)層體積壓裂直井為例，儲(chǔ)層厚度為61m，原始地層壓力為45.75 MPa，生產(chǎn)壓差為20MPa，原油黏度為6.82mPa·s，原油密度為816.1kg·m-3，基質(zhì)滲透率為0.001×10-3μm2，孔隙度為0.024，壓裂裂縫半長(zhǎng)為200m，縫寬為4mm，主裂縫滲透率為10μm2.初始分形參數(shù)：縫寬分形維數(shù)為1.1，迂曲分維為1.1.啟動(dòng)壓力梯度由式（1）求得.將地質(zhì)參數(shù)代入模型進(jìn)行計(jì)算并分析參數(shù)影響因素.模型計(jì)算生產(chǎn)井初期產(chǎn)能為4.0t·d-1，而實(shí)際產(chǎn)量為3.7t·d-1，誤差較小，說(shuō)明本模型可靠性強(qiáng).

4.1 體積壓裂與常規(guī)壓裂

體積壓裂和常規(guī)壓裂的直井產(chǎn)能見圖6.由圖6可知，由于頁(yè)巖油儲(chǔ)層具有致密性，常規(guī)壓裂后基本沒有產(chǎn)能，只能通過(guò)體積壓裂改造儲(chǔ)層溝通天然裂縫，形成縫網(wǎng)才能獲得較高產(chǎn)能.

4.2 縫寬分形維數(shù)與裂縫面密度、基質(zhì)—裂縫等效滲透率

不同迂曲分維時(shí)縫寬分形維數(shù)與裂縫面密度和基質(zhì)—裂縫等效滲透率的關(guān)系見圖7.由圖7（a）可知，裂縫的縫寬分維和迂曲分維對(duì)裂縫面密度有很大影響，相同迂曲分維下，裂縫的面密度越大，裂縫分形維數(shù)越大，當(dāng)迂曲分維為1.1，分形維數(shù)從1.0到1.8變化時(shí)，裂縫面密度從3m-1增長(zhǎng)到20m-1；迂曲分維的增加即裂縫彎曲程度的增加，變相增加裂縫長(zhǎng)度，也增加裂縫面密度.

由圖7（b）可知，裂縫的分形維數(shù)和迂曲分維對(duì)等效后的基質(zhì)—裂縫等效滲透率有很大影響，相同迂曲分維下，裂縫分形維數(shù)越大，裂縫條數(shù)越多，等效滲透率越大；迂曲分維的增加相當(dāng)于延長(zhǎng)流體流動(dòng)的距離，盡管裂縫面密度增加，但等效滲透率減小.

4.3 產(chǎn)能影響

4.3.1 裂縫面密度、體積壓裂寬度

不同裂縫面密度時(shí)體積壓裂改造寬度與直井產(chǎn)能的關(guān)系見圖8.由圖8可知，在相同的裂縫面密度條件下，體積壓裂改造儲(chǔ)層越寬，產(chǎn)能越高；當(dāng)裂縫面密度較小時(shí)，儲(chǔ)層改造寬度的增加對(duì)提升單井產(chǎn)能影響較??；當(dāng)裂縫面密度較大時(shí)，儲(chǔ)層改造寬度的增加對(duì)提升單井產(chǎn)能影響巨大.

4.3.2 裂縫導(dǎo)流能力

不同次生縫導(dǎo)流能力時(shí)裂縫導(dǎo)流能力對(duì)產(chǎn)能的影響見圖9.由圖9可知，在相同次生縫導(dǎo)流能力條件下，主干縫導(dǎo)流能力越強(qiáng)，產(chǎn)能越高.在次生縫導(dǎo)流能力較低的情況下，主干縫導(dǎo)流能力的增加對(duì)產(chǎn)能提升較?。辉诖紊p導(dǎo)流能力很強(qiáng)的情況下，主干縫導(dǎo)流能力的增加對(duì)產(chǎn)能影響很大.

5 結(jié)論

（1）頁(yè)巖油儲(chǔ)層流體滲流存在啟動(dòng)壓力梯度，具有強(qiáng)非線性特征，啟動(dòng)壓力梯度大小與滲透率之間呈冪函數(shù)關(guān)系.

（2）采用分形理論，推導(dǎo)出裂縫儲(chǔ)層等效滲透率、裂縫體積系數(shù)和裂縫面密度參數(shù)表達(dá)式，分形維數(shù)越大，裂縫面密度越大，等效滲透率越大.

（3）當(dāng)裂縫面密度較大時(shí)，增加儲(chǔ)層改造寬度對(duì)提升產(chǎn)能效果顯著，當(dāng)裂縫面密度較小時(shí)，增加儲(chǔ)層改造寬度對(duì)產(chǎn)能提升效果很??；當(dāng)次生縫導(dǎo)流能力較高時(shí)，增加主干縫導(dǎo)流能力對(duì)產(chǎn)能提升效果較強(qiáng).因此現(xiàn)場(chǎng)應(yīng)盡可能增加裂縫面密度和次生縫的導(dǎo)流能力提高產(chǎn)能.

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