杜繼渠

“老師，請別再抱怨！”這是懇請？是勸解？是慰藉？是無奈？其中的苦辣酸甜，教師理當(dāng)明白.從感情上講，教師不厭其煩地把最好的方法、最能得分的手段無私“奉獻(xiàn)”給學(xué)生，考不好怎能不抱怨？講了就該懂，懂了就該會(huì)，會(huì)了就該對，為什么還老出錯(cuò)？可轉(zhuǎn)念一想，學(xué)生何嘗不想做對？他們本來就已自責(zé)，抱怨只會(huì)使其更加郁悶，解決不了實(shí)際問題.既然抱怨無助于問題解決，那就不再抱怨，向前看，找對策，反省“是不是要求過于嚴(yán)苛？”反思“講了，為什么不懂？懂了，為什么不會(huì)？會(huì)了，為什么不對？”

一、“講”與“懂”

從邏輯上講，“懂”是“會(huì)”的必要條件，“會(huì)”是“對”的必要條件，那么，“講”是“懂”的什么條件？是充分條件，還是必要條件？在沒有回答這個(gè)問題之前，請先看一個(gè)教學(xué)案例.在向量習(xí)題課，備課組編制了這樣一道題.

問題1：“設(shè)點(diǎn)O是△ABC的三邊中垂線的交點(diǎn)（如圖1），且AC2-2AC+AB2=0，則·的取值范圍是 .”要求將課堂還給學(xué)生，自主探究.下面就“同題異構(gòu)”的不同處理加以分析.

1.教師甲執(zhí)行“把課堂還給學(xué)生”.于是找學(xué)生A到辦公室培訓(xùn)，A哪里能瞬間反應(yīng)過來，一時(shí)間不知所措，于是教師就把自己的做法講給學(xué)生，然后讓學(xué)生A到課堂上講：

因?yàn)镺H⊥BC，所以·=0，于是·=（+）=·，又因=-，=（+），所以·=（-）*.由AC2-2AC+AB2=0得，AB2=2AC-AC2，代入*式，得·=AC2-AC，因AB2>0，解得AC∈（0，2），從而解得·∈[-，2）.

點(diǎn)評：這樣的“講”是“懂”的什么條件？能有幾位聽得懂？不要說其他同學(xué)云里霧里，就說學(xué)生A，也只是個(gè)教師的“傳話筒”，自己都沒搞明白，何以說服別人？效果可想而知，更經(jīng)不起“是怎么想到的？”的質(zhì)問.

2.教師乙改善了處理方式.他在講解之前提出4個(gè)問題：①與在上的投影相同嗎？②因?yàn)镺是外心，H為BC中點(diǎn)，所以O(shè)H與BC是什么關(guān)系？③為什么選擇，為基底？④怎么想到求AC取值范圍的？學(xué)生思考后，教師講解順利，懂的人數(shù)明顯增多.

點(diǎn)評：和教師甲比較，教師乙的意圖很明顯，就是奔著“懂”字設(shè)計(jì)的.通過問題①引導(dǎo)學(xué)生將·轉(zhuǎn)化為·；通過問題②引導(dǎo)學(xué)生將與分解；通過問題③引導(dǎo)學(xué)生獲得基底，的表達(dá)式；通過問題④引導(dǎo)學(xué)生從條件AC2-2AC+AB2=0獲得AC的取值范圍，可謂一步一個(gè)腳印.遺憾的是，這些問題都是教師提出的，學(xué)生被教師牽著鼻子走，沒有理解“為什么要設(shè)計(jì)這4個(gè)問題”.

3.教師丙是基于解題信息原理設(shè)計(jì)的.他要學(xué)生從題目條件中挖掘信息資源，討論后，小組提供的信息是：①因?yàn)辄c(diǎn)O是外心，連結(jié)O與BC中點(diǎn)H，OH⊥BC，有·=0；②因?yàn)?=，所以·=·；③因?yàn)镠是BC中點(diǎn)，所以=；④基于AC2-2AC+AB2=0的結(jié)構(gòu)，想到用，表示，；⑤再由AB2>0確定AC的取值范圍，最后求出·的取值范圍.

點(diǎn)評：信息挖掘的過程，既是尋找解題突破口的過程，也是梳理解題算法的過程.新課標(biāo)將“信息收集，數(shù)據(jù)處理”列為數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，顯然，教師丙關(guān)注了這一目標(biāo)，并將課堂話語權(quán)交給了學(xué)生，這無疑激發(fā)了學(xué)生探索的熱情.至此，即便教師不講，學(xué)生也能通過合作解決這一問題.你說“講”是“懂”的什么條件？

4.教師丁又有自己的做法.他讓學(xué)生揣摩命題者心理.學(xué)生經(jīng)過獨(dú)立思考，小組討論，提出問題：①在外心上做文章，目的何在呢？外心和中點(diǎn)有緊密聯(lián)系，難道想在中線上找事？②中線向量與對應(yīng)邊的向量之積其實(shí)就是對角線向量之積，難道想用AB，AC兩邊對應(yīng)的向量表示？③給出AC2-2AC+AB2=0有什么價(jià)值呢？經(jīng)歷這樣一連串發(fā)問，學(xué)生逐漸意識(shí)到命題意圖，當(dāng)回過頭審視的時(shí)候，感覺命題者的出發(fā)點(diǎn)就在于此.

下面是兩位同學(xué)對命題心理的大膽揣測：

第一位同學(xué)：“我想設(shè)計(jì)一個(gè)求-類問題，一來想在轉(zhuǎn)化上做文章.給一個(gè)條件AC2-2AC+AB2=0有兩方面作用：明線——化二元AC，AB為一元AC，暗線——利用AB2>0求AC的取值范圍；二來想在結(jié)構(gòu)（+）（-）上做文章.因=，且與在上的投影相同，將求·變?yōu)榍蟆?這樣，一道向量題就新鮮出爐了.”

第二位同學(xué)：“本想在重心上做文章，‘設(shè)點(diǎn)G是△ABC的重心，且AC2-2AC+AB2=0，則·的取值范圍是 .發(fā)現(xiàn)目標(biāo)太顯然，所以增加點(diǎn)隱蔽性，就改為‘外心吧.”

點(diǎn)評：如果說懂得解法是“懂題”，那么，揣測命題心理就是“懂你”，能夠與命題者對話，并產(chǎn)生心理共鳴，對于把握問題本質(zhì)是非常關(guān)鍵的，無論學(xué)生揣測得對與不對，至少學(xué)生有他自己的認(rèn)知思考，這種習(xí)慣養(yǎng)成對于促進(jìn)元認(rèn)知能力發(fā)展，非常關(guān)鍵.

反思：同一問題，教師不同，處理方式不同，說明了他們對“講”與“懂”的關(guān)系理解程度不同.教師甲讓學(xué)生A做“傳話筒”，完全忽視了學(xué)生的感受，這樣的課堂不還給學(xué)生也罷，抱怨學(xué)生沒有理由；教師乙通過提問讓學(xué)生順著自己的思路前行，雖然比教師甲有所進(jìn)步，但還是牽著學(xué)生的鼻子走，沒有大膽放手，即使學(xué)生不懂，也不該抱怨什么，因?yàn)槟繕?biāo)在“懂”而未能真懂；教師丙比教師乙放得開，顯示了教師丙對學(xué)生的充分信任，取得的效果顯然優(yōu)于前者，學(xué)生既已達(dá)到預(yù)定目標(biāo)，教師這時(shí)只有贊賞的份，哪還有抱怨；更可貴的是，教師丁讓學(xué)生揣摩命題者意圖，這是解題教學(xué)的更高境界，是在玩味數(shù)學(xué)，欣賞數(shù)學(xué)，與命題者進(jìn)行心靈對話是一種享受，也許學(xué)生想的比命題者想的還多，那便有利于優(yōu)化的思維，正應(yīng)了鄭毓信教授在《數(shù)學(xué)教育改革十五誡》中闡明的觀點(diǎn)“數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)只是提‘算法多樣化，但卻完全不提‘必要的優(yōu)化”.思維從收斂轉(zhuǎn)向發(fā)散，發(fā)散后再優(yōu)化，就能融會(huì)貫通.endprint

至此，你認(rèn)為“講”是“懂”的什么條件？基于以上案例分析，筆者認(rèn)為，是既不充分也不必要條件.“講”，要考慮“when， where， who， how”，將課堂還給學(xué)生，不能忽視教師的主導(dǎo)作用，該教師講的，理直氣壯地講，不過，教師的“講”，要有啟發(fā)性，示范性，針對性，聯(lián)系性，適切性.不僅是方法、思想，還有問題結(jié)構(gòu)，命題智慧，等等.通過示范，要讓學(xué)生感受到，我們不光是一個(gè)解題者，還是鑒賞者，開發(fā)者，研究者，思想者.鑒于此，筆者坦言，一個(gè)解題教學(xué)優(yōu)秀的教師，在其他課型的教學(xué)上，也是優(yōu)秀的，因?yàn)樗偸悄敲搓P(guān)注主體，那么適切！

二、“懂”與“會(huì)”

《現(xiàn)代漢語詞典》中的“懂”是知道，了解；“會(huì)”是什么意思？理解，領(lǐng)悟.那么，“懂”是“會(huì)”的什么條件？筆者認(rèn)為，“懂”是“會(huì)”的必要條件，“懂”是“會(huì)”的一種可能性，學(xué)生聽懂了，那說明他可以接受，但仍然會(huì)“游離”在門外，跨不進(jìn)“會(huì)”的門檻.這好比跳水，光看人家動(dòng)作嫻熟，輕靈一跳，順利完成，若攤到自己，真的是那回事嗎？當(dāng)有“必須成功”的壓力存在，難道就不自亂方寸？依筆者見，“懂”與“會(huì)”之間遠(yuǎn)隔“萬水千山”，就像玄奘“夢想取經(jīng)”和“取經(jīng)歸來”，中間經(jīng)歷重重磨難，認(rèn)為唾手可得而異想天開的“穿越”，是逃避現(xiàn)實(shí).要將“可能性”變?yōu)椤艾F(xiàn)實(shí)性”，處理好“懂”與“會(huì)”的關(guān)系，師生都要下一番苦功夫.

從集合論觀點(diǎn)分析（如圖2），“會(huì)”是“懂”的一個(gè)子集，“會(huì)”關(guān)于“懂”的補(bǔ)集就是“懂而不會(huì)”，補(bǔ)集的成分越大，“會(huì)”的成色越差，也是我們教師最為擔(dān)憂的，研究“懂而不會(huì)”現(xiàn)象，一線教師有優(yōu)勢，也有責(zé)任.

問題2：在△OAB中，OA=3，OB=4，AB=5， P是OA中點(diǎn)，M，N分別是AB，OB上的動(dòng)點(diǎn)，求△PMN周長的最小值.在初中，學(xué)生曾見過類似的問題.

問題3：如圖3，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，Q，R分別是OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，求△PQR周長的最小值.

對于這一問題，只要作出點(diǎn)P關(guān)于直線OA，OB兩個(gè)對稱點(diǎn)P1，P2，線段P1P2長就是△PQR周長的最小值.要想求P1P2長不難，因?yàn)椤螾1OP2=90°，利用勾股定理求得周長的最小值為10.

而對于問題2，不知∠OBA具體值怎么辦呢？有效的辦法就是將三角形置入直角坐標(biāo)系中，先代數(shù)化；或利用二倍角公式及余弦定理.這樣的一道題放在高二，應(yīng)該不難求解，然而，錯(cuò)誤率竟過半.鑒于此，教師進(jìn)行訪談.

先訪談犯錯(cuò)同學(xué).

師：初中曾見過類似的問題嗎？

生1：想不起來.

師：是否見過問題4？如圖4，在定直線l上求作一點(diǎn)P，使P到兩定點(diǎn)M，N距離之和最?。?/p>

生2：見過，在初中處理過這樣的問題.

后訪談答對同學(xué).

師：曾見過類似問題嗎？

生3：見過，在初中.

看來，初中基礎(chǔ)對于高中階段學(xué)習(xí)影響很大.真正擁有初中解題經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生，馬上會(huì)意識(shí)到“對稱”，于是通過作圖找到兩個(gè)對稱點(diǎn)，求出兩點(diǎn)間距離即為周長的最小值.

訪談之后筆者思考，即便對問題3沒有印象，但對于問題4不會(huì)沒有印象吧，這可是具有物理背景的“鏡面反射”問題，人人皆知，為什么學(xué)生不能借助問題4的方法處理問題2呢？進(jìn)一步交流發(fā)現(xiàn)，學(xué)生雖懂得問題4，但沒有真正領(lǐng)會(huì)“化曲為直”的思想，也就是在求多邊形周長最值的時(shí)候，想不到將封閉“圖形”打開.

在初中，教師如能系統(tǒng)理解這一類問題及其一以貫之的思想方法，就會(huì)高度關(guān)注問題4的教學(xué).借助幾何畫板，拖動(dòng)圖5中點(diǎn)P，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)，雖然點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)，M，N兩點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)不變，利用這一性質(zhì)，我們就能將PM轉(zhuǎn)移到PM′，隨著動(dòng)點(diǎn)P的移動(dòng)，學(xué)生會(huì)直觀地發(fā)現(xiàn)折線M′PN不斷變化，最小值出現(xiàn)在三點(diǎn)一線之時(shí).

在變化中尋找不變性，是科學(xué)研究的一般方法.我們經(jīng)常提問學(xué)生：“懂了嗎？”“懂了！”“會(huì)了？”“會(huì)了！”甚至有學(xué)生認(rèn)為，后面一問多余，在他們看來“‘懂就等于‘會(huì)”，這其實(shí)還是教師觀念造成的.

點(diǎn)評：教師引領(lǐng)，不是拖著學(xué)生向前走，要善于駐足，等待“后面梯隊(duì)”，“駐足”不是沉默，無聲無息地等待，而是啟發(fā)“先頭部隊(duì)”做有意義的事，比如一對一幫扶，進(jìn)一步思考，變式拓展，對比辨析等.下面對問題4和問題2作以辨析.

問題4中已知“兩個(gè)定點(diǎn)，一個(gè)定直線”，要解決的問題“線段和最小”，實(shí)質(zhì)可轉(zhuǎn)化為“三角形周長最小值”問題（因?yàn)閮蓚€(gè)定點(diǎn)距離是確定的）.問題2中已知“一個(gè)定點(diǎn)，兩條定直線”，要解決的問題也是“三角形周長最小值”問題.這里，不變因素是“對稱點(diǎn)”，思想方法是“化曲為直”，遵循原理是“兩點(diǎn)之間線段最短”.通過對比辨析，我們獲得了解決這一類問題的基本方法，這種看似技巧而不是技巧的原理是解決問題的“經(jīng)驗(yàn)?zāi)K”.

三、“會(huì)”與“對”

“懂”偏向于“方法、技能”，“會(huì)”偏向于“思想、意識(shí)”；“懂”起步于“了解”，“會(huì)”趨向于“貫通”；“懂” 意味著 “有望”，“會(huì)”飽含著“希望”.但要把希望變成成功的現(xiàn)實(shí)，還要關(guān)注“會(huì)”與“對”.“會(huì)”又是“對”的必要條件.

我們經(jīng)常問學(xué)生：“這樣的題你會(huì)做嗎？”“會(huì)！”可做出來的結(jié)果卻不盡如人意，或丟掉點(diǎn)什么，或數(shù)據(jù)處理不當(dāng).面對這樣的問題，我們自問：“會(huì)了為什么做不對？”這種非常普遍的“會(huì)而不對”現(xiàn)象時(shí)常困擾著一線教師.

目前，高考命題更多關(guān)注基礎(chǔ)（基礎(chǔ)題過半），甚至出現(xiàn)相當(dāng)數(shù)量的送分題，只要學(xué)生做到“會(huì)且對”，拿一百多分不算難事.然而閱卷發(fā)現(xiàn)，前6題就開始出錯(cuò)，“心算失誤”.如求“1+2+3+…+（n-1）”，有人就把最前面的1搬到最后，與n-1合并為n，變?yōu)榍蟆?+3+…+n”，根據(jù)求和公式解得Sn=.出現(xiàn)這種現(xiàn)象，難道是因?yàn)椴粫?huì)？不是，會(huì)了，卻心算失誤，這是應(yīng)試心理問題.endprint

為了趕時(shí)間，緊張答題演變?yōu)榛艔埓痤}，覺得稍微簡單就口算，忙中出錯(cuò).若稍加留意，你會(huì)發(fā)現(xiàn)調(diào)整后的數(shù)列已不再是等差數(shù)列，因?yàn)樵瓟?shù)列變成“2，3，4，…，n-3，n-2，n”，再當(dāng)成等差數(shù)列處理，豈有不錯(cuò)之理？像這樣心算失誤并不孤立.

再看數(shù)學(xué)卷7～12題，相比前6題，錯(cuò)誤率明顯攀升，是不是學(xué)生不會(huì)呢？不全是，很多是忽視細(xì)節(jié)所致.如“已知O為△ABC的外心，若5+12-13=0，則C= .”學(xué)生從“外心”及系數(shù)特征找到了解題突破口，移項(xiàng)（移-13到右邊）再平方，得到了·=0，于是由圓心角∠AOB=90°，得∠C=45°.問題出在哪里？學(xué)生作圖（如圖6）誤導(dǎo)，以為外心在三角形內(nèi)部，根據(jù)“同弧所對圓周角度數(shù)是圓心角度數(shù)的一半”得∠C=45°，其實(shí)學(xué)生忽視了13=5+12，原來∠C=135°.

點(diǎn)評：把會(huì)做的題做對，說來容易，做起來難，要想學(xué)生少出錯(cuò)，務(wù)必要培養(yǎng)學(xué)生解題反思的習(xí)慣，把“思維策略”和“注意事項(xiàng)”結(jié)合起來，關(guān)注細(xì)節(jié)，關(guān)注易錯(cuò)點(diǎn)，避開“陷阱”，才能實(shí)現(xiàn)“會(huì)而且對”.再看數(shù)學(xué)卷15～17題，考查雙基、重點(diǎn)，命題出發(fā)點(diǎn)是讓學(xué)生在這里得到基礎(chǔ)分，但事與愿違，往往錯(cuò)誤率比想象的高，“會(huì)而不對”形勢嚴(yán)峻.鑒于此，筆者認(rèn)為，抓住數(shù)學(xué)試卷的15～17題，開展“會(huì)而不對”的研究.

感言：教室是學(xué)生犯錯(cuò)的地方，學(xué)生作為學(xué)習(xí)主體，必須經(jīng)歷該有的經(jīng)歷，品嘗從失敗走向成功的酸甜苦辣，品味學(xué)習(xí)的痛苦與快樂，歷練心智.沒有誰可以剝奪學(xué)生這種必要的體驗(yàn)，教師更沒有必要抱怨學(xué)生.事出都有因，認(rèn)真查找出事的原因，變錯(cuò)誤為資源，以此促進(jìn)學(xué)生深刻反思，這不僅不是件壞事，反而是教師積極影響學(xué)生的好機(jī)會(huì)，是拉近師生情感距離的契機(jī)，因“犯錯(cuò)”獲得的教育素材，比“預(yù)防”更有針對性，更有價(jià)值.

任何知識(shí)的領(lǐng)會(huì)都難免摻有“雜質(zhì)”或“垃圾”，這不要緊. 自然界沒有“純氧”，而當(dāng)我們需要氧氣的時(shí)候，我們只能面對現(xiàn)實(shí)，吸入二氧化碳和有害氣體. 知識(shí)的汲取同樣如此，任何概念，都是在紛繁復(fù)雜的自然現(xiàn)象中剝離出來的理想化模型，看似出淤泥而不染，其實(shí)經(jīng)歷千錘百煉，逐步提純、萃取、調(diào)整、重構(gòu)，才一天天成熟起來. 科學(xué)家尚且如此，十多歲的孩子，怎么就一定是順順當(dāng)當(dāng)？

要知道，學(xué)習(xí)是學(xué)生自己的事，教師的抱怨，有時(shí)不僅不能促進(jìn)學(xué)生正確的意識(shí)，反而產(chǎn)生對立情緒，一旦形成這種局面，抱怨將危害雙方，阻礙正常對話.最好的方式就是坐下來，心平氣和地同學(xué)生一起分析犯錯(cuò)的原因，甚至要為學(xué)生辯護(hù)，談自己學(xué)生時(shí)代的犯錯(cuò)故事，筆者曾在《中學(xué)數(shù)學(xué)》發(fā)表文章“為學(xué)生尋找做不出的理由”，就是基于這樣的認(rèn)識(shí)而產(chǎn)生的靈感，這樣的姿態(tài)不僅不會(huì)削弱教師在學(xué)生心目中的地位，相反，會(huì)贏得學(xué)生的愛戴！

事實(shí)上，當(dāng)你以朋友的姿態(tài)坐在孩子面前，研究錯(cuò)因，尋找對策的時(shí)候，是學(xué)生無比幸福的時(shí)光，他從你的精彩評論中得到啟迪、激勵(lì)和安慰，在你幫助他樹立自信心的過程中，產(chǎn)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信念.endprint