孟穎，宋建林，夏鵬飛，馬良，劉徹

（長春理工大學(xué)　光電工程學(xué)院，長春　130022）

波導(dǎo)諧振腔Fano共振特性研究

孟穎，宋建林，夏鵬飛，馬良，劉徹

（長春理工大學(xué)光電工程學(xué)院，長春130022）

利用耦合模理論，建立了波導(dǎo)-諧振腔-波導(dǎo)諧振腔耦合的數(shù)學(xué)模型，并給出了此系統(tǒng)的光學(xué)透過率和相移特性的解析表達式，分析了此系統(tǒng)的Fano共振物理機制，即由波導(dǎo)諧振腔駐波模式的共振與諧振腔模式之間的共振耦合引起的，另外還給出了Fano共振模式所需要滿足的位相匹配條件，同時分析了各個性能參數(shù)對此系統(tǒng)的透過率特性和位相特性影響。

Fano共振；諧振腔；波導(dǎo)；耦合模理論

波導(dǎo)諧振腔耦合系統(tǒng)由于其具有非常突出的共振特性，可以用來設(shè)計多種光子學(xué)器件，如光分束器［1，2］，交叉連接器［3，4］和分插復(fù)用濾波器［5-7］等。諧振腔與波導(dǎo)之間的正耦合和側(cè)耦合具有互補的透過率特性和相同的位相變化特性，諧振腔與諧振腔的級聯(lián)形成耦合共振波導(dǎo)（CROW）［8］，基于諧振腔模式耦合的光子學(xué)器件與特性近些年來已經(jīng)成為光子學(xué)領(lǐng)域的研究熱點。

有限長波導(dǎo)可以形成類似于F-P諧振腔，在其中形成駐波模式，通過改變波導(dǎo)的長度，可以很方便的調(diào)節(jié)模式的共振頻率，其與諧振腔之間的耦合也非常簡便，只要控制其與諧振腔之間的距離就可以實現(xiàn)，然而，波導(dǎo)諧振腔的耦合特性目前研究的比較少［9］，主要是由于傳統(tǒng)的波導(dǎo)諧振腔的泄露損耗比較大，端面的反射率比較低。隨著加工技術(shù)的發(fā)展，光子晶體波導(dǎo)和諧振腔已近成為集成光學(xué)中的研究熱點，光子晶體波導(dǎo)諧振腔可以克服傳統(tǒng)波導(dǎo)諧振腔的常見缺陷，研究其光學(xué)特性對于光子學(xué)器件的設(shè)計和發(fā)展具有潛在的指導(dǎo)價值。

本文利用耦合模理論，建立了諧振腔波導(dǎo)耦合系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，給出了透過率和位相變化的數(shù)學(xué)表達式，分析了Fano共振的物理機制和Fano共振的位相匹配條件，同時還分析了不同參數(shù)對這些特性的影響。

1　理論分析

為了分析波導(dǎo)諧振腔-諧振腔-主波導(dǎo)互耦合光學(xué)特性，建立的光學(xué)系統(tǒng)模型如圖1所示，其中波導(dǎo)諧振腔的長度為L，模式傳輸常數(shù)為β；S+ij和S-ij（j=1，2）分別為諧振腔波導(dǎo)、主波導(dǎo)的入射和出射的歸一化幅度?？紤]光波僅從波導(dǎo)輸入端入射（S+22=0），且為時諧波時，即具有ejωt的形式，采用時域耦合模理論［10］，此系統(tǒng)的光學(xué)特性可以表示為：其中a為諧振腔的歸一化諧振幅度，ω0為諧振腔的諧振頻率，分別為諧振腔向波導(dǎo)諧振腔和主波導(dǎo)的衰減速率。

圖1　波導(dǎo)諧振腔-諧振腔-主波導(dǎo)互耦合模型

波導(dǎo)諧振腔中，從諧振腔波導(dǎo)耦合端耦合到諧振腔中的入射波s+11是從諧振腔中耦合出來的光波經(jīng)另一端發(fā)射回來的，所具有位相關(guān)系為：

聯(lián)立方程（1）-（3），并結(jié)合方程（4），主波導(dǎo)的透過系數(shù)可表示為：

其中φ=β（ω）L為光在波導(dǎo)諧振腔中的相移。

2　透過率特性分析

由式（5）可以給出圖1所示的光學(xué)耦合系統(tǒng)的透過率特性，即：

從式（6）可知，而當(dāng)φ→mπ時，透過率恒為1，這是由于波導(dǎo)諧振腔中進入的與返回的行波疊加形成駐波模式，此模式與諧振腔模式相互耦合，引起諧振腔模式的分裂，在此波長上引起Fano共振；另外，從式中還可以看出，當(dāng)入射波的頻率滿足關(guān)系式時，透過率變?yōu)榱悖械娜肷涔馊勘环瓷?，如果此波長在φ=mπ附近，可以從透過譜中看到兩個全反谷。

為了進一步研究透過率與頻率之間的關(guān)系，假設(shè)諧振腔波導(dǎo)滿足線性色散關(guān)系，在頻率變化范圍不大的情況下，采用自由空間近似，表示為：

圖2　波導(dǎo)諧振腔耦合系統(tǒng)透過率的理論曲線

圖2給出了不同參數(shù)情況下此系統(tǒng)的透過率隨頻率的變化關(guān)系，本文采用歸一化頻率2πc/L為單位，其中實線表示耦合系統(tǒng)的透過率，虛線表示沒有波導(dǎo)諧振腔的情況。從圖2（a）-（d）可以看出，透過率曲線具有兩個明顯的特征：第一個特征是無論參數(shù)怎么變化，在頻率ω0=0.50（2πc/L）處透過率始終為1，這是因為在該處，由式（7），諧振腔波導(dǎo)的相移始終為φ=mπ，諧振腔波導(dǎo)正好形成共振駐波模式，產(chǎn)生了Fano共振；第二個特征是單個諧振腔形成了透過率曲線的包絡(luò)，而波導(dǎo)諧振腔以駐波共振為界，引起模式的分裂，兩個反射峰位于駐波共振頻率的兩側(cè)。

比較圖2（a）和（b），當(dāng)諧振腔共振頻率改變時，由此諧振腔確定的包絡(luò)曲線將隨之移動，另外，由式（7）知道，兩個反射峰的位置也隨之改變，改變幅度與諧振腔的共振頻率的改變量相同，兩個反射峰之間的頻率間隔保持不變。

諧振腔向諧振腔波導(dǎo)耦合時，衰減系數(shù)對反射峰的位置具有決定性的影響，如圖2（c）所示，兩個反射峰之間的間距會變大，從式（7）也能看出此特點，τ1變小，反射峰的位置遠離包絡(luò)中心ω0，兩反射峰之間的間距與諧振腔的衰減速率1 /τ1成正比，當(dāng)然，由于諧振腔波導(dǎo)的相移包含頻率項，也對反射峰的位置有一定的影響。

諧振腔向主波導(dǎo)的衰減系數(shù)決定了透過率曲線的包絡(luò)，當(dāng)衰減速率1 /τ2變小時，包絡(luò)會變窄，由式（7）知，反射峰的位置與此衰減速率無關(guān)，所以反射峰的位置不隨此衰減的變化而變化，由圖2（a）和（d）知，反射峰之間的間隔不變。

通過上面的分析我們知道，波導(dǎo)諧振腔的Fano共振是由于波導(dǎo)諧振腔的駐波模式的激發(fā)引起諧振腔共振模式的分裂，而駐波模式的位相關(guān)系固定，所以Fano共振的位置不變。

3　位相特性分析

此波導(dǎo)諧振腔耦合系統(tǒng)的位相關(guān)系也可以由式（9）給出：

圖3給出了不同參數(shù)情況下相移隨頻率的變化關(guān)系。還是采用歸一化頻率2πc/L為單位，實線表示耦合系統(tǒng)的透過率，虛線部分給出了只有諧振腔，沒有波導(dǎo)諧振腔的情況。從圖中可以看出，在Fano共振處，位相有一個2π的突變，這是由于數(shù)學(xué)上反函數(shù)引起的，所以我們可以看出，有Fano共振情況下，相移的改變量為4π，與只有單個諧振腔的2π不同，所以此波導(dǎo)諧振腔的相移空間比單個諧振腔大一倍。

由式（5）知道，在透射谷的位置，位相的變化率最快，即單位頻率改變情況下，位相的變化量更大。在每一個反射峰的位置，位相的該變量為2π，即在反射峰的上升沿和下降沿變化都是π。反射峰越窄，位相的變化率越快，如圖5（a）和（d）右邊的反射峰所示；當(dāng)反射曲線的包絡(luò)越寬，位相的變化率越慢，這是由于總的位相變化率量一定，反射峰間距越大，位相的變化率越慢，如圖5（c）所示。當(dāng)波導(dǎo)諧振腔中駐波模式的共振頻率與諧振腔的共振頻率一致時，反射峰兩側(cè)的位相變化速率一致，這是由于此時的反射譜是對稱的，如圖3（b）所示。

圖3　波導(dǎo)諧振腔耦合系統(tǒng)位相變化的理論曲線

通過上面的分析我們知道，波導(dǎo)諧振腔的Fano共振相移是單個諧振腔的兩倍，模式分裂，即Fano共振位置的兩側(cè)分別為2π。

4　結(jié)論

利用耦合模理論，建立了主波導(dǎo)-諧振腔-波導(dǎo)諧振腔耦合系統(tǒng)的光學(xué)特性模型，給出了Fano共振的物理機制和位相匹配條件，同時分析了此耦合系統(tǒng)透過率特性和位相特性與各個性能參數(shù)的關(guān)系，研究結(jié)果表明，F(xiàn)ano共振的頻率完全由位相匹配條件確定，其它參數(shù)只能改變Fano共振特性曲線的形狀，而不能改變Fano共振的頻率位置。

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Transfer Matrix Method for Cascaded Cavity-waveguide Coupling System

MENG Ying，SONG Jianlin，XIA Pengfei，MA Liang，LIU Che
（School of Optoelectronic Engineering，Changchun University of Science and Technology，Changchun 130022）

The optical properties of waveguide-cavity coupling system were investigated by using coupled-mode theory，where the mechanism of Fano resonance is originated from the coupling between the cavity mode and the standing wave mode in the waveguide resonator.The phase-match conditions for Fano resonance are obtained and the dependence of the transmissions and phase shifts on the functional parameters are also analyzed.

Fano resoance；cavity；waveguide；coupled-mode theory

O436

A

1672-9870（2015）06-0064-03

2015-10-22

孟穎（1980-），女，碩士，實驗師，E-mail：quiet_brook@aliyun.com