湯傳揚(yáng)，朱旭生，艾利娜

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一維帶阻尼項(xiàng)歐拉方程組的初邊值問(wèn)題

*湯傳揚(yáng)，朱旭生，艾利娜

(華東交通大學(xué)理學(xué)院, 江西, 南昌 330013)

在有界區(qū)間上帶阻尼項(xiàng)的等熵可壓縮歐拉方程組的初邊值問(wèn)題，利用方程組和邊界條件得到關(guān)于解的高階導(dǎo)數(shù)的邊界條件。當(dāng)初始數(shù)據(jù)在常狀態(tài)平衡解附近的小擾動(dòng)且滿足邊界的匹配條件時(shí)，運(yùn)用能量估計(jì)的方法，證明該初值問(wèn)題的經(jīng)典解整體存在且唯一。

歐拉方程組；有界區(qū)間；初邊值問(wèn)題；整體解

1 引言和主要結(jié)論

的初邊值條件：

(2)

所以，可以得到初始數(shù)據(jù)的匹配條件為：

(4)

對(duì)于帶阻尼項(xiàng)的歐拉方程組的研究已有很多結(jié)果，一維時(shí)可以研究帶阻尼項(xiàng)的-系統(tǒng)的初值問(wèn)題和初邊值問(wèn)題[1-4]，當(dāng)初值是在一個(gè)擴(kuò)散波附件的小擾動(dòng)時(shí)，得到經(jīng)典解的整體存在性以及解收斂到該擴(kuò)散波的收斂率；Wang W.研究了帶阻尼項(xiàng)的多維歐拉方程組的點(diǎn)估計(jì)[5]；朱旭生研究了帶非線性阻尼項(xiàng)的等熵歐拉方程組的初值問(wèn)題和帶線性阻尼項(xiàng)的等熵歐拉方程組的初邊值問(wèn)題[6]，他們都在初值是常狀態(tài)附近的小擾動(dòng)時(shí)，證明了經(jīng)典解的整體存在性[7]。在本文中將利用能量估計(jì)的方法研究等熵歐拉方程組在有界區(qū)域下的初邊值問(wèn)題的整體經(jīng)典解的存在性。

(5)

2 定理的證明及能量估計(jì)

與三維情形類(lèi)似文獻(xiàn)[8-9]，對(duì)初邊值問(wèn)題(1)、(2)，若初始條件滿足匹配條件(4)，則初邊值問(wèn)題(1)、(2)一定存在局部解

這里只需要做能量估計(jì)就可以得到方程組解的整體存在性，在此之前，先做解的先驗(yàn)估計(jì)。

, (7)

(9)

將(6)式代入到(9)式中

整理得：

(11)

為了方便，這里記

則(11)式可以寫(xiě)成：

(13)

在做能量估計(jì)之前，先做先驗(yàn)假設(shè)：

(15)

由(7)式可以得到

(17)

. (19)

接下來(lái)所做的能量估計(jì)是由以下的若干引理構(gòu)成:

這里：

(22)

.

根據(jù)不等式(18)和(19)有：

(24)

由(6)式得：

通過(guò)上式和不等式(18)和(19)可以得到：

(27)

(29)

將(29)式的等式左邊利用分部積分法得：

(30)

由(6)式得：

. (33)

(35)

(37)

將(25)式代入到上式并且由不等式可以得到：

, (38)

綜合引理1-引理3可以得到估計(jì)式:

(40)

利用(16)式，得到一階估計(jì)引理4。

下面要做的是高階估計(jì)，高階估計(jì)與估計(jì)1和估計(jì)3類(lèi)似。

將(25)式代入上式中，有

(42)

(43)

綜合估計(jì)式(42)、(43)，利用(16)式和引理4可以得到二階估計(jì)引理5。

估計(jì)式(30)隱含有定理中的(5)式，那么綜合一階估計(jì)到高階估計(jì)，就可以得到當(dāng)整數(shù),，且滿足匹配條件(4),如果充分小，則初邊值問(wèn)題(1)、(2)的經(jīng)典解存在且唯一，并且滿足:

證明完畢。

參考文獻(xiàn)：

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[5] Wang W,Yang T. The pointwise estimates of solutions for Euler equation with damping in multidimensions[J]. Journal of Differential Equations, 2001,173(2):410-450.

[6] 朱旭生,熊顯萍,涂愛(ài)華.帶非線性阻尼項(xiàng)的等熵歐拉方程組的整體解[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2011,57(2): 93-99.

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THE INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEM OF EULER EQUATIONS WITH DAMPING

*TANG Chuan-yang, ZHU Xu-sheng, AI Li-na

(College of Science, East China Jiaotong University, Nanchang, Jiangxi 330013)

We study the initial-boundary value problem for the isentropic Euler equations with damping in a bounded interval. If the initial data is a small perturbation around a constant equilibrium solution and satisfies the compatible condition, we prove that the classical solution of this problem exists uniquely and globally by the method of energy estimation.

Euler equations; bounded interval; initial-boundary value problem; global solution

1674-8085(2015)06-0001-07

O175.4

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2015.06.001

2015-01-17；修改日期：2015-05-28

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11161021,61262031,11326139)

*湯傳揚(yáng)(1989-)，男，河南信陽(yáng)人，碩士生，主要從事偏微分方程的研究(E-mail:yirenchuanyang@163.com);

朱旭生(1968-)，男，江西高安人，副教授，博士，主要從事偏微分方程的研究(E-mail:zhuxs4402@sina.com);

艾利娜(1989-)，女，河南新鄉(xiāng)人，碩士生，主要從事偏微分方程的研究(E-mail:jichuailina@sina.com).