李紅梅，高英

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶　400047)

一類錐約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的高階對(duì)偶研究

李紅梅，高英

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶400047)

在一類錐約束單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的一階對(duì)偶模型基礎(chǔ)之上，建立了錐約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的二階和高階對(duì)偶模型.在廣義凸性假設(shè)下，給出了弱對(duì)偶定理，在Kuhn-Tucker約束品性下，得到了強(qiáng)對(duì)偶定理.最后，在弱對(duì)偶定理的基礎(chǔ)上，利用Fritz-John型必要條件建立了逆對(duì)偶定理.

錐約束多目標(biāo)優(yōu)化；廣義凸；對(duì)偶定理

1　引言

對(duì)偶理論是多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的主要研究?jī)?nèi)容.1961年，Wolfe[1]首次利用Kuhn-Tucker最優(yōu)性條件，在凸性假設(shè)下建立了一階對(duì)偶模型并證明了弱對(duì)偶定理.隨后，為了減弱凸性假設(shè)條件，Mond和Weir[2]提出了另一種一階對(duì)偶模型，并在偽不變凸和擬不變凸假設(shè)下給出了弱對(duì)偶定理.1975年，Mangasarian[3]在一階Wolfe型對(duì)偶的基礎(chǔ)上通過(guò)引進(jìn)二次可微函數(shù)，建立了二階和高階對(duì)偶模型.Mond和Weir[2]考慮了另一種二階對(duì)偶模型(Mond-Weir型對(duì)偶模型).隨后，許多學(xué)者開始研究各種二階和高階對(duì)偶模型[4-9].

1996年，Nanda和Das[10]考慮了如下錐約束問(wèn)題(NP)：

其中f：S→R，g：S→Rm，f，g分別是二次可微函數(shù).S∈Rn是閉集且C1，C2是Rn和Rm內(nèi)的非空凸錐.C?2為C2的負(fù)極錐.

Nanda和Das[10]建立了問(wèn)題(NP)的四種對(duì)偶模型，在偽不變凸和擬不變凸的假設(shè)之下給出了弱對(duì)偶定理.隨后，Chandra和Abha[11]對(duì)四種模型進(jìn)行了修正，并在廣義凸性假設(shè)下證明了四種對(duì)偶模型的弱對(duì)偶和強(qiáng)對(duì)偶定理，但并沒(méi)有給出其逆對(duì)偶定理.因此，文獻(xiàn)[12]中利用Fritz-John型必要條件給出了四種對(duì)偶模型的逆對(duì)偶定理.

本文是在文獻(xiàn)[12]的基礎(chǔ)之上，考慮了多目標(biāo)錐約束優(yōu)化問(wèn)題的二階和高階對(duì)偶模型，給出并證明了相應(yīng)的弱對(duì)偶，強(qiáng)對(duì)偶和逆對(duì)偶定理.本文結(jié)構(gòu)如下：第1節(jié)，給出了一些基本知識(shí)以及錐約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題高階對(duì)偶模型.第2節(jié)，討論了錐約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題高階對(duì)偶模型的弱對(duì)偶，強(qiáng)對(duì)偶和逆對(duì)偶定理.第3節(jié)，給出了錐約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的二階對(duì)偶模型并討論了其弱對(duì)偶，強(qiáng)對(duì)偶和逆對(duì)偶定理.

2　預(yù)備知識(shí)

設(shè)Rn是n維歐氏空間，Rn+是非負(fù)象限.對(duì)x，y∈Rn給出以下符號(hào)：

定義2.1[13]設(shè)S?Rn是閉集，函數(shù)f：S→R在S上關(guān)于η是高階偽不變凸的，如果對(duì)任意x，u，p∈S，有

定義2.2[13]設(shè)S?Rn是閉集，函數(shù)f：S→R在S上關(guān)于η是高階擬不變凸的，如果對(duì)任意x，u，p∈S，有

其中函數(shù)η：S×S→Rn，函數(shù)h：S×Rn→R且h關(guān)于p可微.

定義2.3[14](i)可行解稱為問(wèn)題(MOP)的弱有效解，若不存在x∈S使得

對(duì)于(MOP)，在文獻(xiàn)[11]中錐約束單目標(biāo)對(duì)偶模型(D)2的基礎(chǔ)之上，建立如下高階對(duì)偶模型(HD)：

其中，h：Rn×Rn→Rl和k：Rn×Rn→Rm是二階連續(xù)可微函數(shù).

3　高階對(duì)偶定理

下面將討論弱對(duì)偶定理，強(qiáng)對(duì)偶定理和逆對(duì)偶定理.

4　二階對(duì)偶定理

下面討論問(wèn)題(MOP)的高階對(duì)偶模型(HD)的特殊情況.令

則高階對(duì)偶(HD)退化為(MOP)的二階對(duì)偶模型(SD)：

注4.1當(dāng)h(u，p)=pT?f(u)，k(u，q)=qT?g(u)，l=1時(shí)，多目標(biāo)高階對(duì)偶模型(HD)退化為文獻(xiàn)[6]中的單目標(biāo)一階對(duì)偶模型(ND)2.

高階對(duì)偶模型(HD)的弱對(duì)偶定理3.1和強(qiáng)對(duì)偶定理3.2可分別退化為二階對(duì)偶模型(SD)的弱對(duì)偶和強(qiáng)對(duì)偶定理.

下面給出例子說(shuō)明逆對(duì)偶定理的合理性.

正定且?yg(0，0)=0.因此定理4.3中的假設(shè)條件都滿足，故(0，0)是(MOP)的可行解.又因(λ，u，y，p=0，q=0)滿足定理4.1中的廣義凸性假設(shè)條件，因此(0，0)是(MOP)的有效解.

事實(shí)上，原問(wèn)題只有(0，0)一個(gè)可行解，因此(0，0)確實(shí)是原問(wèn)題(MOP)的有效解.

[1]Wolfe P.A duality theorem for nonlinear programming[J].Quart.Appl.Math.，1961，19：239-244.

[2]Mond B，Weir T.Generalized Concavity and Duality，in：S.Schaible，W.T.Ziemba(Eds)，Generalized Concavity in Optimization and Economics[M].New York：Academic Press，1981.

[3]Mangasarian O L.Second and higher-order duality in nonlinear programming[J].J.Math.Anal.Appl.，1975，51：607-620.

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[5]Yang X M，Yang X Q，Teo K L.Higher-order generalized convexity and duality in nondifferentiable multiobjective mathematical programming[J].J.Math.Anal.Appl.，2004，297：48-55.

[6]Yang X M，Yang X Q，Teo K L.Huard type second-order converse duality for nonlinear programming[J]. Appl.Math.Lett.，2005，18：205-208.

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[9]高英.非可微多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的高階逆對(duì)偶定理[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2014，30(2)：136-142.

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[12]Yang X M，Yang X Q，Teo K L.Converse duality in nonlinear programming with cone constraints[J]. European Journal of Operational Research，2006，170：350-354.

[13]Mond B，Zang J.Higher order invexity and duality in mathematical programming[J].European Journal of Operational Research，1998，163：357-372.

[14]Sawaragi，Yoshikazu Date.Theory of Multiobjective Optimization[M].Japan：Department of Applied Matheatics Konan Uinversity，1985.

Higher-order duality in multiobjective programming problems with cone constraints

Li Hongmei，Gao Ying

(Department of Mathematics，Chongqing Normal University，Chongqing400047，China)

In this paper，basing on the first-order dual models for single objective problems with cone constraints，we construct second-order and higher-order dual models for nonlinear multiobjective programming problems with cone constraints.And then we establish weak and strong duality theorems under generalized convexity assumptions.By using Fritz-John type necessary condition，converse duality theorems are established.

multiobjective programming problems with cone constraints，generalized convexity，duality theorems

O221.6

A

1008-5513(2015)01-0073-12

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.01.009

2014-07-18.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11201511)；重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室專項(xiàng)項(xiàng)目(CSTC，2011KLORSE03).

李紅梅(1988-)，碩士生，研究方向：多目標(biāo)規(guī)劃.

2010 MSC:90C32，90C46，90C47