X射線脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)選星方法研究

梁 昊 詹亞鋒 尹海亮

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X射線脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)選星方法研究

梁 昊*①詹亞鋒①尹海亮②

①(清華大學(xué)宇航技術(shù)研究中心 北京 100084)②(清華大學(xué)電子工程系 北京 100084)

針對(duì)X射線脈沖星導(dǎo)航(XPNAV)系統(tǒng)的選星問題，該文研究了脈沖星可見性、品質(zhì)因子及空間分布對(duì)脈沖星優(yōu)選的影響。分別建立了第三體陰影遮擋，X射線干擾源影響以及X射線探測(cè)器視場(chǎng)角限制造成脈沖星不可見的約束方程；分析了基于克拉美羅界的脈沖星品質(zhì)因子評(píng)價(jià)公式；提出了脈沖星組合加權(quán)幾何精度因子(WDOP)的計(jì)算方法，并證明了加權(quán)幾何精度因子值隨著脈沖星觀測(cè)數(shù)量的增加而減小。最后設(shè)計(jì)了一種基于查表法的脈沖星選星方法。仿真結(jié)果表明，設(shè)計(jì)的脈沖星選星方法可以有效地從適合導(dǎo)航的脈沖星中優(yōu)選出最佳脈沖星組合。

X射線脈沖星導(dǎo)航；可見性；品質(zhì)因子；加權(quán)幾何精度；選星方法

1 引言

X射線脈沖星導(dǎo)航(X-ray Pulsar NAVigation, XPNAV)系統(tǒng)是一種利用脈沖星輻射的X射線信號(hào)對(duì)航天器進(jìn)行定位、定姿、授時(shí)、測(cè)速的自主天文導(dǎo)航系統(tǒng)，具有導(dǎo)航精度高、覆蓋范圍廣、安全保密性強(qiáng)、可自主運(yùn)行等特點(diǎn)，是目前發(fā)展航天器自主導(dǎo)航系統(tǒng)的研究熱點(diǎn)之一。選擇合適的脈沖星是開展脈沖星導(dǎo)航的首要步驟，它在很大程度上決定了導(dǎo)航系統(tǒng)的導(dǎo)航速度、導(dǎo)航精度及導(dǎo)航穩(wěn)定性。在對(duì)脈沖星進(jìn)行選擇時(shí)，通常需要考慮以下幾個(gè)因素：

(1)脈沖星可見性因素[1,4]，即選擇探測(cè)器可以探測(cè)到的脈沖星；

(2)脈沖星品質(zhì)因素[1,5]，即選擇到達(dá)時(shí)間測(cè)量精度高的脈沖星；

目前，對(duì)脈沖星進(jìn)行優(yōu)選的研究成果較少，且大都僅僅針對(duì)于上述幾個(gè)因素中的某一個(gè)方面進(jìn)行討論[1,6,7]。文獻(xiàn)[1]建立了X射線脈沖星數(shù)據(jù)庫(kù)，并提出了脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)的粗略選星標(biāo)準(zhǔn)，但是沒有明確給出在脈沖星數(shù)據(jù)庫(kù)中進(jìn)一步優(yōu)選脈沖星的方法；文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]分別通過計(jì)算幾何精度因子值對(duì)脈沖星進(jìn)行優(yōu)選，但是沒有考慮脈沖星可見性因素對(duì)脈沖星優(yōu)選的影響。

本文在綜合研究了脈沖星可見性、脈沖星品質(zhì)因子以及脈沖星空間分布對(duì)定位精度影響的基礎(chǔ)上，針對(duì)脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)的特點(diǎn)，提出了一種新的脈沖星選星方法。仿真結(jié)果表明，該選星方法可以有效地優(yōu)選出最佳脈沖星組合。本文的結(jié)構(gòu)安排如下：第2節(jié)介紹了脈沖星導(dǎo)航的基本原理；第3節(jié)分析了脈沖星優(yōu)選的3個(gè)主要約束因素；第4節(jié)提出了一種脈沖星優(yōu)選方法；最后給出了相關(guān)計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果。

2 脈沖星導(dǎo)航原理

脈沖星導(dǎo)航原理如圖1所示。由于脈沖星距離地球非常遙遠(yuǎn)，可以認(rèn)為脈沖星相對(duì)地球和太陽(yáng)系質(zhì)心(Solar System Barycenter, SSB)的方向矢量相同。在地球質(zhì)心坐標(biāo)時(shí)(Geocentric Coordinate Time, TCG)下測(cè)量X射線脈沖星信號(hào)到達(dá)航天器的時(shí)間，將其轉(zhuǎn)換為太陽(yáng)系質(zhì)心坐標(biāo)時(shí)(Barycentric Coordinate Time, TCB)[1,8]，并與脈沖星信號(hào)到達(dá)SSB的時(shí)間做差，將時(shí)間差乘以光速，可以得到航天器相對(duì)于SSB的位置矢量在脈沖星方向上的投影。當(dāng)同時(shí)觀測(cè)3顆以上脈沖星時(shí)，通過求解線性方程組，即可得到航天器的位置坐標(biāo)。

基于上述原理，可得到如式(1)的測(cè)量方程[5]：

通過式(2)即可得到航天器的位置。

3 脈沖星優(yōu)選約束因素分析

脈沖星優(yōu)選的約束因素主要包括脈沖星可見性因素、脈沖星品質(zhì)因素和脈沖星空間分布因素3部分，其中脈沖星可見性因素是限選條件，即只有可見的脈沖星才可能被導(dǎo)航系統(tǒng)使用；脈沖星品質(zhì)因素與脈沖星空間分布因素是優(yōu)選條件，即從滿足限選條件約束下的脈沖星集合中，選擇出最優(yōu)的脈沖星組合。

圖1 脈沖星導(dǎo)航原理示意圖

3.1脈沖星可見性因素

影響脈沖星可見性的因素可以分為第三體陰影遮擋、X射線干擾源影響以及探測(cè)器視場(chǎng)角限制3種。

(1)第三體陰影遮擋：當(dāng)航天器飛行到脈沖星在天體的陰影部分時(shí)，脈沖星是不可見的[1]，如圖2(a)所示。對(duì)于圍繞地球飛行的航天器，其對(duì)第顆脈沖星不可見區(qū)域可以表示為

(2)X射線干擾源影響：對(duì)于脈沖星輻射的X射線信號(hào)，任何在其輻射方向上的X射線源都會(huì)對(duì)脈沖星的可見性產(chǎn)生影響。在太陽(yáng)系中，最主要的干擾源來自太陽(yáng)，如圖2(b)所示[4]。當(dāng)脈沖星的方向矢量與航天器和太陽(yáng)連線的單位方向矢量之間的夾角小于門限值時(shí)，航天器對(duì)X射線脈沖星信號(hào)的接收將受到極大的干擾，則認(rèn)為此時(shí)脈沖星是不可見的，即

(3)探測(cè)器視場(chǎng)角的限制：航天器通過X射線探測(cè)器接收X射線脈沖星信號(hào)，然而對(duì)于每一個(gè)X射線探測(cè)器，其都有一定的視場(chǎng)角范圍限制。通過伺服系統(tǒng)的控制，可以使探測(cè)器的探測(cè)角范圍增大，等效為其視場(chǎng)角增大。當(dāng)脈沖星位于探測(cè)器等效視場(chǎng)范圍之外時(shí)，X射線探測(cè)器將不能夠接收到X射線脈沖星信號(hào)，此時(shí)的脈沖星是不可見的，如圖2(c)所示[4]。

圖2 脈沖星可見性因素

對(duì)于某一特定脈沖星，其在地心慣性坐標(biāo)系下(i系)方向矢量可以認(rèn)為是不變的，通過地心慣性坐標(biāo)系到航天器質(zhì)心軌道坐標(biāo)系(o系)的轉(zhuǎn)換矩陣，可以將轉(zhuǎn)換到o系下，即

其中

3.2脈沖星品質(zhì)因子

利用脈沖星進(jìn)行導(dǎo)航定位時(shí)，需要精確測(cè)量脈沖星的到達(dá)時(shí)間(TOA)。由于不同脈沖星信號(hào)的流量密度、信號(hào)周期等特征各不相同，因此，需要研究脈沖星的品質(zhì)因子，以反映使用不同脈沖星所得到的TOA測(cè)量誤差。目前脈沖星品質(zhì)因子的確定主要是通過計(jì)算脈沖星信號(hào)的信噪比，再對(duì)信噪比進(jìn)行不同形式的變形得到[1,5]，然而其存在如下問題：

(1)僅考慮了脈沖輪廓尖峰信號(hào)強(qiáng)度半極大值處的脈沖寬度，并假設(shè)了脈沖形狀近似于高斯分布形狀，而忽略了不同脈沖星的脈沖形狀不同對(duì)測(cè)量時(shí)間精度的影響；

(2)沒有考慮在單一周期內(nèi)存在多個(gè)脈沖峰值對(duì)定位精度帶來的增益；

(3)沒有考慮脈沖信號(hào)頻率對(duì)脈沖星定位帶來的影響；

(4)沒有考慮不同脈沖星背景輻射流量的不同。

克拉美羅界(Cramer-Rao Low Bound, CRLB)是確定性參數(shù)在無(wú)偏估計(jì)條件下能取得的最好性能下界。脈沖星TOA估計(jì)的CRLB表征了其無(wú)偏估計(jì)精度的理論極限值[9,10]。本文綜合考慮上述因素，通過使用脈沖星TOA估計(jì)的CRLB計(jì)算公式，得到了基于CRLB的脈沖星品質(zhì)因子確定方法。

Crab Pulsar (PSR J0534+2200)是目前偽距測(cè)量誤差最小的脈沖星，因此，可在一定觀測(cè)時(shí)間的條件下，求Crab Pulsar的偽距測(cè)量誤差與其它特定脈沖星的最小定位誤差的比值，得到該脈沖星的品質(zhì)因子。

由式(9)可知，脈沖星信號(hào)頻率越高，光子的輻射能量越大，背景輻射能量越小，周期輪廓中的脈沖寬度越窄，脈沖數(shù)量越多，該脈沖星的品質(zhì)因子越大，利用該脈沖星進(jìn)行定位的精度越高。

本文對(duì)8顆脈沖星的品質(zhì)因子進(jìn)行了估計(jì)，建立了如表1所示的品質(zhì)因子表[1,11]。在估計(jì)過程中，假設(shè)探測(cè)器面積為10000 cm2，觀測(cè)時(shí)長(zhǎng)為600 s。

3.3 脈沖星空間分布因素

目前，對(duì)脈沖星空間分布的研究主要是參考GPS系統(tǒng)幾何精度因子(Geometric Dilution Of Precision, GDOP)的計(jì)算[5,6]，反映了在最小二乘條件下，脈沖星的位置分布對(duì)導(dǎo)航精度的影響。然而，與GPS系統(tǒng)不同的是不同脈沖星的TOA測(cè)量誤差不相同，因此最小二乘解不是理論上的最優(yōu)解，而應(yīng)采用加權(quán)最小二乘(Weighted Least Square, WLS)的方法[12,13]。對(duì)于誤差較小的測(cè)量量，其具有更大的置信度，需要分配較大的權(quán)系數(shù)；對(duì)于誤差較大的測(cè)量量，需要分配較小的權(quán)系數(shù)使得其對(duì)最終結(jié)果的誤差影響較小。

表1脈沖星品質(zhì)因子表

ID名稱赤經(jīng)(J2000)(hh:mm:ss)赤緯(J2000)(dd:mm:ss)輻射流量(phtons/(cm2·s))周期(s)(m)品質(zhì)因子 1J0534+220005:34:31.973+22:00:52.061.54e000.03341.151e21 2J0540-691905:40:11.040-69:19:55.105.15e-30.05047.063e30.0163 3J0833-451008:35:20.670-45:10:35.701.59e-30.08939.533e30.0121 4J1513-590815:13:55.610-59:08:08.001.62e-20.15021.760e40.0065 5J1824-245218:24:32.010-24:52:10.741.93e-40.00319.308e20.1237 6J1939+213419:39:38.600+21:34:59.144.99e-50.00169.247e20.1245 7J1057-522610:57:58.840-52:26:56.201.64e-60.19713.409e73.38e-6 8J0437-471504:37:15.710-47:15:08.006.65e-50.00572.266e40.0051

由于正交變換不改變矩陣的跡，所以

根據(jù)Sherman-Morrison-Woodbury公式

所以

因此，當(dāng)觀察脈沖星更多時(shí)，加權(quán)幾何精度因子(WDOP)會(huì)減小，整個(gè)脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)定位精度更高。

4 脈沖星選星方法

與GPS選星相比，脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)的選星條件有兩點(diǎn)不同：

(1)不同星源測(cè)量誤差不同，使得WDOP取代GDOP成為選星的評(píng)價(jià)函數(shù)；

(2)星源位置固定，使得WDOP值不隨時(shí)間變化。

由于WDOP值相對(duì)固定，因此脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)不需要實(shí)時(shí)計(jì)算WDOP值，這樣可以建立基于WDOP值的脈沖星導(dǎo)航優(yōu)選表，通過查表，即可快速有效地選擇出最優(yōu)脈沖星組合。在實(shí)際工程應(yīng)用中，由于不同航天器，可以攜帶的探測(cè)器數(shù)目不同，可以分別建立同時(shí)觀察不同脈沖星數(shù)目的脈沖星導(dǎo)航優(yōu)選表以供使用?；诒?中的脈沖星，本文利用式(12)，建立了3顆星的脈沖星導(dǎo)航優(yōu)選表，如表2所示。在航天器的在軌導(dǎo)航應(yīng)用中，優(yōu)選表可以提前存儲(chǔ)在專用存儲(chǔ)芯片中，如Flash, RAM等。

表2 3顆星的脈沖星導(dǎo)航優(yōu)選表

基于脈沖星導(dǎo)航優(yōu)選表，本文設(shè)計(jì)了如下的脈沖星選星算法：

(1)在星源數(shù)據(jù)庫(kù)中選取可供導(dǎo)航使用的脈沖星；

(2)根據(jù)脈沖星可見性約束條件式(3)和式(4)，確定可以使用的脈沖星集合；

(3)查詢脈沖星導(dǎo)航優(yōu)選表，在可以使用的脈沖星集合中選取排名最高(WDOP值最小)的脈沖星組合，讀取WDOP值；

(4)判斷WDOP值是否小于門限值。如果WDOP值小于門限值，則選星正常結(jié)束，該脈沖星組合即為最優(yōu)選星結(jié)果；如果WDOP值大于門限值，則需要增加一顆待觀測(cè)的脈沖星，此時(shí)如果需要的探測(cè)器數(shù)量大于載荷所能承擔(dān)的最大數(shù)量，則告警退出，否則，重新查詢?cè)黾右活w脈沖星之后的脈沖星導(dǎo)航優(yōu)選表，回到第(3)步。具體的選星流程圖如圖3所示。

5 計(jì)算機(jī)仿真

本文基于同時(shí)觀測(cè)3顆X射線脈沖星的條件，對(duì)2015年1月26日至2015年2月5日的GPS_BIIA-11衛(wèi)星進(jìn)行了定位仿真，仿真過程中假定探測(cè)器的等效視場(chǎng)角為180°，且衛(wèi)星的姿態(tài)已經(jīng)穩(wěn)定。GPS_BIIA-11的軌道根數(shù)如表3所示。

圖3 脈沖星優(yōu)選流程圖

表3 GPS_BIIA-11衛(wèi)星軌道6根數(shù)

首先，結(jié)合表1中8顆脈沖星的位置和式(3)，式(4)得到在一個(gè)軌道周期內(nèi)脈沖星可見數(shù)量如圖4所示?？梢娫谡麄€(gè)衛(wèi)星周期內(nèi)，有兩個(gè)時(shí)間段有脈沖星被遮擋，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，其ID號(hào)分別為6和8。其次，查詢表2，可以得到最優(yōu)的脈沖星組合ID號(hào)為1, 5和6，由于在某個(gè)時(shí)間段，6號(hào)脈沖星會(huì)被遮擋，此時(shí)最佳的脈沖星組合ID號(hào)為1, 2和5。通過上述分析可知，需要建立分時(shí)觀測(cè)模型[15]，當(dāng)6號(hào)脈沖星被遮擋，則需觀測(cè)1, 2和5號(hào)脈沖星；否則，觀測(cè)1, 5和6號(hào)脈沖星。

仿真使用的1, 2, 5和6號(hào)脈沖星在航天器本體坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)軌跡結(jié)果如圖5所示。

圖4 脈沖星可見性仿真

圖5 脈沖星在航天器本體坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)軌跡

本文使用擴(kuò)展卡爾曼濾波(Extend Kalman Filter, EKF)[15,16]對(duì)上述模型進(jìn)行仿真，仿真總時(shí)長(zhǎng)為10 d，濾波器更新時(shí)間為600 s。設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)，其中為衛(wèi)星的位置矢量，為衛(wèi)星的速度矢量。系統(tǒng)的狀態(tài)模型采用二體模型，狀態(tài)轉(zhuǎn)移計(jì)算采用四階龍格庫(kù)塔積分法，系統(tǒng)測(cè)量方程可以表示為

本文分別對(duì)脈沖星組合ID號(hào)為1, 5和6，脈沖星組合ID號(hào)為1, 2和5以及分時(shí)觀測(cè)脈沖星組合ID號(hào)為1, 2, 5, 6進(jìn)行了仿真，得到的定位誤差曲線如圖6所示。

圖6 目標(biāo)定位誤差仿真圖

經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，脈沖星組合為1，5和6的定位誤差均值為1.0193 km；脈沖星組合為1, 2和5的定位誤差均值為1.9579 km；分時(shí)觀測(cè)脈沖星組合為1, 2, 5和6的定位誤差均值為1.1738 km。脈沖星組合1, 5, 6的定位誤差小于1, 2和5的定位誤差，驗(yàn)證了選星方法的有效性；分時(shí)觀測(cè)脈沖星組合為1, 2, 5和6的定位誤差小于只觀測(cè)1, 2和5的定位誤差，但略大于只觀測(cè)1, 5和6的定位誤差，這說明分時(shí)觀測(cè)優(yōu)選脈沖星的方案比只觀測(cè)全程可見脈沖星的方法具有更高的定位精度。

6 結(jié)束語(yǔ)

脈沖星導(dǎo)航是航天器自主導(dǎo)航的研究熱點(diǎn)，脈沖星優(yōu)選是指在脈沖星數(shù)據(jù)庫(kù)中選擇出最適合脈沖星導(dǎo)航使用的脈沖星組合。本文分別研究了脈沖星可見性、脈沖星品質(zhì)因子及脈沖星空間分布對(duì)脈沖星優(yōu)選的影響，提出了一種基于查詢脈沖星導(dǎo)航優(yōu)選表的脈沖星優(yōu)選方法。通過本文的分析可以得到如下結(jié)論：(1)第三體陰影遮擋，X射線干擾源影響以及X射線探測(cè)器視場(chǎng)角限制都會(huì)減少可用脈沖星的數(shù)量，對(duì)脈沖星選星過程產(chǎn)生影響；(2)可以通過增加觀測(cè)脈沖星數(shù)量的方式減小定位誤差；(3)分時(shí)觀測(cè)優(yōu)選脈沖星的方案比只觀測(cè)全程可見脈沖星的方法具有更高的定位精度；(4)基于查表的選星方法可以有效地為導(dǎo)航系統(tǒng)優(yōu)選出最優(yōu)脈沖星組合。

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Research on Pulsars Selection for X-ray Pulsar Navigation System

Liang Hao①Zhan Ya-feng①Yin Hai-liang②

①(,,100084,)②(,,100084,)

In order to select the optimal pulsars combination for X-ray Pulsar NAVigation (XPNAV), the influence factors of visibility, quality and space distribution of pulsars are studied. Besides, constraint equations for visibility based on the restrictions of celestial body’s shadow, X-ray disturbance source and detector’s angle of view are built respectively; an evaluation equation for quality factor based on Cramer-Rao low bound is analyzed; the method for calculating Weighted Dilution Of Precision (WDOP), which decreases as the number of observable pulsars increases, is researched. Finally, a method for selecting pulsars based on looking up table is proposed, and its validity is proved by computer simulations.

X-ray Pulsar NAVigation (XPNAV); Visibility; Quality; Weighted Dilution Of Precision (WDOP); Select pulsars

TN967.1

A

1009-5896(2015)10-2356-07

10.11999/JEIT150328

2015-03-20；改回日期：2015-06-18；

2015-07-27

梁昊 liang-h14@mails.tsinghua.edu.cn

國(guó)家自然科學(xué)基金(61271265, 61132002)和清華大學(xué)自主科研項(xiàng)目(2013089244)

The National Natural Science Foudation of China (61271265, 61132002); The Tsinghua University Initiative Scientific Research Program (2013089244)

梁 昊： 男，1989年生，博士生，研究方向?yàn)槊}沖星導(dǎo)航、測(cè)控通信技術(shù).

詹亞鋒： 男，1976年生，副研究員，主要研究方向?yàn)樯羁仗綔y(cè)、弱信號(hào)接收.

尹海亮： 男，1983年生，碩士生，研究方向?yàn)槊}沖星導(dǎo)航.