大學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的意義

周江霖　黃文蝶

摘 要：文章對微積分進(jìn)行了概述，重點是讓大學(xué)生意識到微積分強(qiáng)大的功能和微積分在日常生活中的重要地位，從而培養(yǎng)大學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的興趣。

關(guān)鍵詞：微積分；基礎(chǔ)；學(xué)習(xí)意義

中圖分類號：O172-4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-8882（2015）04-068-01

微積分理論實用性非常強(qiáng)大，它是研究各種科學(xué)的工具，是學(xué)生終身學(xué)習(xí)最重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。通過微積分可以描述運(yùn)動的事物，描述一種變化的過程，可以說，微積分的創(chuàng)立極大地推動了生活的進(jìn)步。大學(xué)生應(yīng)當(dāng)努力學(xué)好微積分，從而樹立科學(xué)的世界觀，用變化的觀點觀察世界。

一、微積分概述

微分學(xué)的誕生具有劃時代的意義，是數(shù)學(xué)史上的分水嶺和轉(zhuǎn)折點。十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國大科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，盡管二人在研究背景、方法和形式上存在差異、各有特色，但二者的功績是相當(dāng)?shù)腫1]。牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動學(xué)來考慮，萊布尼茨則是從幾何學(xué)來考慮。微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過去許多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題，運(yùn)用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分的非凡威力。

微積分是研究極限、微分學(xué)、積分學(xué)和無窮級數(shù)的一個數(shù)學(xué)分支，并成為了現(xiàn)代大學(xué)教育的重要組成部分。歷史上，微積分曾經(jīng)指無窮小的計算。更本質(zhì)的講，微積分學(xué)是一門研究變化的科學(xué)，如幾何學(xué)是研究空間的科學(xué)一樣[2]。

二、大學(xué)生為什么要學(xué)微積分

或許你對微積分不是那么有興趣，或許你來這里，是想學(xué)一些跟微積分無直接相關(guān)的知識，關(guān)于學(xué)習(xí)微積分，你的心中一定有很多疑惑。但是，問“為什么要學(xué)微積分”，其實就好像問“為什么要學(xué)數(shù)學(xué)”是一樣的意思。怎么說呢？因為微積分是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展起點，主修科學(xué)相關(guān)領(lǐng)域的學(xué)生就必須打好這個數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，用下面兩個主要的理由來說明。

數(shù)學(xué)是科學(xué)的語言！想想看，如果你到了一個陌生的國家卻不會說當(dāng)?shù)氐恼Z言。當(dāng)然，你可以完全不學(xué)或只學(xué)會需要用到的幾個字就能舒服地在那兒生活好幾年。可是，這樣會限制你的生活，限制你對所處環(huán)境的了解，當(dāng)然也會限制你的自我發(fā)展。在你不用心去學(xué)習(xí)當(dāng)?shù)卣Z言前，你將永遠(yuǎn)無法一窺這個環(huán)境的全貌，許多應(yīng)該屬于你的機(jī)會可能在你渾然不知的狀況下悄悄溜走?；蛟S你只學(xué)習(xí)一小部分的數(shù)學(xué)，就能滿足獲得某個領(lǐng)域知識的需是求；但沒有好好學(xué)數(shù)學(xué)，你所獲得部分還是有所局限的，因為你將無法了解更廣更深的部份。書到用時方恨少，數(shù)學(xué)亦然！

數(shù)學(xué)訓(xùn)練邏輯思考！這點十分重要，邏輯思考的能力不管它是不是與生俱來的，但很確定的一點是，它是可以被訓(xùn)練的，方法之一就是透過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)解題會教你如何接近問題、學(xué)到如何抽絲剝繭地看出問題的關(guān)鍵、從不同的角度來思考問題等等。

三、學(xué)習(xí)微積分的意義

（一）進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)課程

在大學(xué)學(xué)習(xí)中，微積分是進(jìn)一步學(xué)習(xí)其它學(xué)科的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)本身就是其它學(xué)科發(fā)展的理論基礎(chǔ)，尤其是天文學(xué)、力學(xué)、光學(xué)、電學(xué)、熱學(xué)等自然學(xué)科。微積分成了物理學(xué)的基本語言，而且，許多物理學(xué)問題要依靠微積分來尋求解答。微積分還對天文學(xué)和天體力學(xué)的發(fā)展起到了奠定基礎(chǔ)的作用，牛頓應(yīng)用微積分學(xué)及微分方程從萬有引力定律導(dǎo)出了開普勒行星運(yùn)動三大定律。其它學(xué)科諸如化學(xué)、生物學(xué)、地理學(xué)、現(xiàn)代信息技術(shù)等這些學(xué)科同樣離不開微積分的使用，可以說這些學(xué)科的發(fā)展很大程度上是由于微積分的運(yùn)用，這些學(xué)科運(yùn)用微積分的方法推導(dǎo)演繹出各種新的公式、定理等，因此學(xué)習(xí)微積分是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)課程。

（二）實用性

在現(xiàn)實生活中，微積分本身就存在于生活的各項事物中，只有不斷深入挖掘，才能透過現(xiàn)象見本質(zhì)，將抽象的數(shù)學(xué)付諸于具體事物中[3]。

1.排隊等待中的極限夾逼定理

在數(shù)列極限的夾逼定理中，畫出3條與軸線垂直的直線，分別代表3個垂直于平面的平面，從左到右將其標(biāo)記為Yn，a，Zn，并將a假設(shè)為固定形式，Yn，Zn都向a無限接近，而此時在Yn與Zn之間隨意放入平面Xn，此值都是無限向a趨近，這就是夾逼定理的形象描述。根據(jù)此描述，聯(lián)系我們生活中的實例，例如平時在排隊買票的過程中，很多人排成一列長隊，且后面的人越來越多，那么夾在其中的人就不必考慮多長時間能排到自己，就會被后面的人“挾持”到購票窗口，也就是夾逼定理的直觀感受[3]。

2.微積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

微積分在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用也十分廣泛，例如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際問題，是指每一個自變量的變動導(dǎo)致因變量變動多少的問題，所以邊際函數(shù)就是對一個經(jīng)濟(jì)函數(shù) 的因變量求導(dǎo)，得出 ，其中在某一點的導(dǎo)數(shù)值就是該點的邊際值[4]。

例1：已知某工廠某種產(chǎn)品的收益 （元）與銷售量 （噸）的函數(shù)關(guān)系是 ，求銷售60噸該產(chǎn)品時的邊際收益，并說明其經(jīng)濟(jì)含義。

解：根據(jù)題意得，銷售這種產(chǎn)品 噸的邊際函數(shù)為 ，因而，銷售60噸該產(chǎn)品的邊際收益是 ，其經(jīng)濟(jì)學(xué)含義是：當(dāng)該產(chǎn)品的銷售量為60噸時，銷售量再增加一噸所增加的總收益為188元。這個問題看起來簡單，但在實際生活中的應(yīng)用意義很大。

從以上的例題解決的實際問題中，我們可以看到：微積分在我們現(xiàn)實生活中具有重要意義，利用好微積分能幫助我們得到問題的最優(yōu)化解決。我們應(yīng)當(dāng)好好學(xué)習(xí)微積分這一有用的數(shù)學(xué)工具，并把它用于實際當(dāng)中。

（三）提升大學(xué)生學(xué)習(xí)思維

學(xué)生也可應(yīng)用微積分原理來迅速掌握其精華知識，要點要素，事半而功倍。比如文學(xué)，無論中國文學(xué)還是世界文學(xué)，古典文學(xué)還是現(xiàn)代文學(xué)。你都可以按時段、流派、區(qū)域、風(fēng)格、題材進(jìn)行微分。當(dāng)你用一張紙或幾張紙將它們微分完畢，并標(biāo)以各自說明短語后，你對這一門學(xué)科就大體把握了。再比如學(xué)習(xí)歷史，歷史這門課最好的學(xué)習(xí)方法就是畫一條橫線表示時間的起點和終點。然后在這時間橫線上用小豎線進(jìn)行微分。把各時期的標(biāo)志事件、重大變革、著名集團(tuán)、領(lǐng)軍人物一一標(biāo)明。再把每個部分的一主題、二分法、三因素、四要點總結(jié)一遍。濃縮成兩張紙，這門歷史課內(nèi)容就基本熟悉了。掌握這種學(xué)習(xí)方法，雖然不能永遠(yuǎn)牢牢記住這些知識，但能讓你遇到任何學(xué)習(xí)上的困難時，都能用此法迅速拿下它。

總而言之，每位學(xué)生都應(yīng)該而且可以為微積分找到學(xué)習(xí)動機(jī)和學(xué)習(xí)的意義。你不必認(rèn)同微積分是人類最偉大的成就之一，但至少把微積分看作是掌握學(xué)科的重要工具，而且是教你學(xué)習(xí)如何有系統(tǒng)地解決問題的重要理論。