線性切換系統(tǒng)的ε—集合實用穩(wěn)定性

張圩 王野平 顏偉霞 黃劉軍 趙瑋英

摘 要：本文研究了線性切換系統(tǒng)ε-集合實用穩(wěn)定性，其中切換系統(tǒng)沒有共同平衡點，并且每個子系統(tǒng)都是指數(shù)穩(wěn)定的。本文通過找到一個固定的切換序列，依照這個切換序列選定一個固定集合，在給定的切換法則和集合下，證明了線性切換系統(tǒng)的ε-集合實用穩(wěn)定性；最后給出了仿真結(jié)果，說明結(jié)論的正確性。

關鍵詞：ε-集合實用穩(wěn)定；切換法則；全局指數(shù)漸進穩(wěn)定

1 概述

隨著人類對各類控制系統(tǒng)精度需求的不斷提高，對切換系統(tǒng)的研究也越來越受到更多科學家的關注。事實上，過去人們更多的關注有共同平衡點的切換系統(tǒng)，其中大部分都使用的是Lyapunov函數(shù)方法，可是找出Lyapunov函數(shù)并不容易。近些年，人們研究發(fā)現(xiàn)盡管這類子系統(tǒng)沒有共同的平衡點，但是在給定合理的切換法則條件下，系統(tǒng)的軌線仍然能夠表現(xiàn)出以前傳統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)類似的有趣的軌線行為，他們把這種行為定義為實用穩(wěn)定性，同時也依賴能量函數(shù)在特定條件下給出了實用穩(wěn)定性的一些充分條件。X. Xu給出了在給定切換法則條件下系統(tǒng)關于原點的ε-實用穩(wěn)定性的定義。本文給出了在給定的切換法則條件下系統(tǒng)關于給定集合的ε-集合實用穩(wěn)定性的定義，并給出了線性切換系統(tǒng)在特定條件下的ε-集合實用穩(wěn)定性的一些充分條件。

2 實用穩(wěn)定性和概念（Practical stability and some notions）

考慮線性切換系統(tǒng)

=Aix+bi，i∈I=1，2，···，m， （2.1）

這里Ai∈Rn×n是一個非奇異的矩陣，bi∈Rn，x∈Rn，m∈N是子系統(tǒng)的個數(shù)。令xi是第i子系統(tǒng)的平衡點。在本文中，我們總是假設：

（H1） 切換法則S是固定的，即切換序列是固定的；

（H2） 若Г[∩]Rn，x∈Rn，那么x與集合Г的距離被定義為ρ（x，Г）：

ρ（x，Г）=‖z-x‖，這里‖x‖代表向量x的范數(shù)

（H3） 存在α>0，M≥1， 使得對所有的i∈I，

‖e‖≤Me-αt，t≥0 （2.2）

定義2.1 （ε-集合實用穩(wěn)定性）：假設對系統(tǒng)（2.1）給定切換法則S*和集合Г。給定ε>0，系統(tǒng) （2.1）是在切換法則S*下關于Г集合是ε-集合實用穩(wěn)定的，若對任意的t0≥0，這里都存在δ=δ（t0，ε）>0，使得當ρ（x（t0），Г）<δ時，對所有的t≥t0，都能得到ρ（x，Г）≤ε成立；

本文中，我們將研究系統(tǒng)（2.1）關于集合Г的ε-實用穩(wěn)定性。

=Aix+bi，

x（t0）=x0 （2.3）

它很容易得到：對任意固定的i∈I，系統(tǒng)（2.3）的初值問題的解，

x（t）=e（x（t0）-xi）+xi （2.4）

這里xi是ith系統(tǒng)的平衡點。

令t時刻剛好切入i子系統(tǒng)，即當t∈[t，t）時，i子系統(tǒng)是被激活的子系統(tǒng)，對給定的ε>0，任意t∈[t，t]，定義切換法則如下：t滿足

S1：t≥t，T≤t-t<+∞，k=1，2，···，m=1，2，··· （2.5）

且 Tl=max

-

ln

，，l=1，2，···。那么對任意的t∈[tk，tk+1]，k∈N，可得x（t）=e（x（t）-x）+x，t∈[t，tk+1），

由曲線 x（t）和y（t）的性質(zhì)可得

ρ（x（t），Γ）=inf‖x（t）-e（x-x）-x）‖=‖x（t）-y（t）‖

令Γ1=

y（t） t∈

[t，tk+1）

y（t） t∈[tk+m，tk+m+1），m=1，2，...， （2.6）

其中y（t）=e （ x-x）+x ，y（t）=e（x-x）+x 。

引理2.1 對給定ε>0和切換法則S1，[∨] t， δ（ε）>0，使ρ（x（t），Γ）<δ時滿足

‖x（tk+m）-x ‖<，k=0，1，2，···，m=1，2，··· （2.7）

證明：對給定的ε>0，令δ=，由于ρ（x（t），Γ）<δ，可得

‖x（t）-y（t）‖<δ。

當m=1時，可得

‖x（tk+1）-x‖=‖e（x（t）-x）‖=‖e（x（t）-y（t）+y（t）-x）‖≤Me‖x（t）-y（t）‖+Me‖x-x‖<。

當m=n時，假設式（2.7） 成立，即‖x（tk+n）-x‖<，k=0，1，2，···。

那么，當m=n+1時，我們有‖x（tk+n+1）-x‖=‖e（x（t）-x）‖≤Me‖x（tk+n）-x‖+Me‖x-x‖<+=。

注2.1 從系統(tǒng)（2.2）全局指數(shù)漸進穩(wěn)定性的性質(zhì)和t ≥tk+m以及引理2.1中可得：對給定的ε>0， δ（ε）>0，使得當ρ（x（t），Γ）<δ時，滿足

‖x（ t）-x‖<，k=0，1，2，··· （2.8）

3 主要結(jié)論（Main Results）

定理 3.1 對給定的ε>0和集合Γ1，切換系統(tǒng)（2.1） 在切換法則S1下關于集合Γ1是ε-集合實用穩(wěn)定的。

證明： 當t∈[t，t），m=0，1，2，···，時， i（k∈N）子系統(tǒng)被激活，于是切換系統(tǒng)（2.1）在切換法則S1下的解為

x（t）=e

（x（

t）-

x）

+x， t∈[

t，

t），

e

（x（

t）-

x）+

x， t∈[

t，

t ） （3.1）

a 當t∈[t，t）時，由于t≥tk+1，我們可以分兩個區(qū)間來研究。

當t∈[t，t）時，可得

ρ（x，Γ）=inf ‖x（t）-y（t）‖≤‖e（x（t）-x）-e（y（t）-x）‖≤Me‖x（t）-y（t）‖<ε。

當t∈[t，t ）時，可得

ρ（x，Γ）≤inf‖x（t）-y（z）‖≤‖x（t）-x‖≤‖e（x（tk+1）-x）‖≤Me‖x（tk+1）-x‖<ε。

b當t∈[t，t）時，由于t-t≥tk+m+1-tk+m，那么我們也同樣分成兩個區(qū)間研究，這里m=1，2，...。

當t∈[t ，t+ tk+m+1-tk+m ）時，可得

ρ（x（t），Γ）≤inf ‖e（x（t）-x）-e（x-x）‖

通過自治系統(tǒng)的平移性，軌線沿t軸向左平移t-tk+m單位，可得

ρ（x（t），Γ）≤inf‖e（x（t）-x）- e（x-x）‖≤

inf‖e（x（t）-x）- e（x-x）‖≤‖e（x（t）-x）‖≤Me‖x（t）-x‖<ε。

當t∈[ t+tk+m+1-tk+m，t）時，

ρ（x（t），Γ）=inf z∈[0，+∞）‖x（t）-y（z）‖≤inf‖e（x（t）-x）+x-y（z）‖≤Me ‖（x（t）-x）‖+ Me‖x-x‖<≤ε。

綜合a和b，定理得證。

4 仿真結(jié)果（Simulation）

例 考慮下面這個切換系統(tǒng)

=Aix+bi，i=1，2，3， （4.1）

其中 A1=-1 1

0 -2 ，A2=-3 0

-2 -1 ，A3=-2 1

1 -2 ，b1=（-5，3）T，b2=（2，-4）T，b3=（3，1）T。

定義x1，x2，x3為子系統(tǒng)1，子系統(tǒng)2，子系統(tǒng)3的平衡點。易得 x1=（-1.1429，3.7143）T，x2=（-1.2857，-2.4286）T，x3=（1.1538，-1.2308）T。

令M=2，α=1.6，ε=0.1，k=1，則δ=0.0125，假設初始時t0=0，初始狀態(tài)為x（t0）=（-1.1，3.7）T，并且初始子系統(tǒng)為子系統(tǒng)1。這里我們?nèi) =2∈[t1，t2）， 則x（t）=（-0.353，-2.11）T，根據(jù)定理3.1，算出切換時間序列并且選取集合Γ。為方便，選取

t1=1，t2=5.5，t3=9，t4=12.5，t5=15.5，t6=19.5，···；

t=2，t=6，t=11，t=15，t=19，t=24，···。

參考文獻：

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