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      一類三次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的相圖

      2015-10-19 07:17:24高靜劉娟
      關(guān)鍵詞:鞍點(diǎn)奇點(diǎn)原點(diǎn)

      高靜,劉娟

      (1.廣東白云學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部,廣州 510450,2.廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣州 510320)

      1 引言及主要結(jié)果

      文獻(xiàn)[1]中將系統(tǒng)

      分為20類,其中一類為

      其中b>0,研究系統(tǒng)(1)的原點(diǎn)O(0,0)是中心還是焦點(diǎn)的判別,并給出了中心的條件;還研究了當(dāng)原點(diǎn)O(0,0)是中心,b=1時(shí),系統(tǒng)的相圖.

      主要結(jié)果為以下定理:

      定理1系統(tǒng)(1)有奇點(diǎn)O(0,0)且有以下結(jié)論:

      1)當(dāng)α+bγ>0時(shí),O(0,0)為一階不穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn);當(dāng)α+bγ<0時(shí),O(0,0)為一階穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn).

      2)當(dāng)α+bγ=0但(α,γ)≠(0,0)時(shí),若γ>0,則O(0,0)為二階不穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn);若γ<0時(shí),O(0,0)為二階穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn).

      3)當(dāng)且僅當(dāng)α=γ=0時(shí),O(0,0)為中心.

      定理2當(dāng)原點(diǎn)O(0,0)是中心時(shí),若b=1,系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

      則系統(tǒng)(2)的相圖有3種,如圖1.

      圖1 系統(tǒng)(2)的相圖

      2 定理1的證明

      經(jīng)非退化線性變換:

      系統(tǒng)(1)化為

      由文獻(xiàn)[2]中給出的公式,奇點(diǎn)O(0,0)的前2階焦點(diǎn)量為:

      所以可以得到以下幾種情況:

      3)若V3=0且V5=0,即α=γ=0.所以當(dāng)且僅當(dāng)α=γ=0時(shí),O(0,0)為中心.

      3 定理2的證明

      為了計(jì)算系統(tǒng)(2)的有限奇點(diǎn)[3-4],須求解方程組

      所以易算出系統(tǒng)有奇點(diǎn)O(0,0),A1(0,1),A2(0,-1).

      當(dāng)β2≠1+9μ2且1+9μ2-β2>0,β+3μ+1<0,β-3μ+1>0或1+9μ2-β2<0,β+3μ+1>0,β-3μ+1<0時(shí)還有奇點(diǎn)

      O(0,0)在任何情況下都是中心,后面的討論中不再說明.

      對(duì)于系統(tǒng)(2)有矩陣

      所以奇點(diǎn)A1(0,1),A2(0,-1)對(duì)應(yīng)矩陣均為其對(duì)應(yīng)的特征方程為λ2=2(1+β+3μ),故當(dāng)β+3μ>-1時(shí),奇點(diǎn)A1(0,1),A2(0,-1)均為鞍點(diǎn).

      當(dāng)β+3μ<-1時(shí),奇點(diǎn)A1(0,1),A2(0,-1)一次近似為中心;當(dāng)β+3μ=-1時(shí),奇點(diǎn)A1(0,1),A2(0,-1)為高階奇點(diǎn).

      當(dāng)β+3μ=-1時(shí),奇點(diǎn)A1(0,1),A2(0,-1)為高階奇點(diǎn),它們都屬于相應(yīng)的線性方程組的兩個(gè)特征根都是零,但線性項(xiàng)系數(shù)不全為零.

      對(duì)于奇點(diǎn)A1(0,1),令x1=x,y1=y-1,將原點(diǎn)移至A1(0,1),又注意到β=-3μ-1,并令2dt=dτ,則系統(tǒng)(2)化為

      由y+P2(x,y)=0,解得隱函數(shù)

      并有

      同理可得,A2(0,-1)與A1(0,1)有相同的類型.

      奇點(diǎn)A3,A6對(duì)應(yīng)矩陣均為

      若ak=-3μ>0即μ<0,則A1(0,1)為鞍點(diǎn).

      若ak=-3μ<0即μ>0;n=1,bn=-2(3μ+1)<0.

      奇點(diǎn)A4,A5對(duì)應(yīng)矩陣均為

      通過計(jì)算它們的行列式均小于零,容易判斷出A3,A4,A5,A6都為鞍點(diǎn).

      為了研究系統(tǒng)(2)無窮遠(yuǎn)處奇點(diǎn)的性態(tài),要作Poincaré變換.

      系統(tǒng)(4)在u軸(z=0)上有兩個(gè)無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)

      因此得到如下結(jié)論:

      作變換(u,z)→(z,u),并除以4β3μ-β,上述系統(tǒng)化為

      由z+Q2(u,z)=0,解得隱函數(shù)

      并有

      注意到4β3μ-β<0,此時(shí)奇點(diǎn)的穩(wěn)定性恰好與系統(tǒng)(3)中的結(jié)論相反.于是有:

      i)當(dāng)β+3μ+1>0時(shí)是穩(wěn)定結(jié)點(diǎn).

      iii)當(dāng)β+3μ+1=0時(shí),am=0,這種情況在后面的討論并沒有遇到,所以這里不在繼續(xù)討論.

      同 理 可得:當(dāng)β+3μ+1>0 時(shí)是 不 穩(wěn) 定 結(jié) 點(diǎn) ;當(dāng)β+3μ+1<0 時(shí) ,是鞍點(diǎn);另外它的4條分界線分別沿方向和進(jìn)入

      系統(tǒng)(5)在v-z平面的原點(diǎn)不是無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn).

      注意到Z=0是系統(tǒng)(5)的解,故赤道由奇點(diǎn)和軌線連成.又因所以在Poincare圓盤上,在與B對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)的軌線走向一致,在與C對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)C′,C″的軌線走向一致.又因?yàn)閷?duì)系統(tǒng)(2)有

      所以系統(tǒng)(2)關(guān)于x軸或y軸都對(duì)稱,因而只要討論第一象限的情況就可以了.

      分兩種情況討論:

      這時(shí)β=-1,μ=0,此時(shí)系統(tǒng)(2)變成

      右端函數(shù)有公因子,故有無窮多個(gè)奇點(diǎn)在曲線y2-x2=1上,并且還有3個(gè)奇點(diǎn)O(0,0),A1(0,1),A2(0,-1).對(duì)于無窮遠(yuǎn)處,它在u軸上有兩個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)B(1,0),C(-1,0).這時(shí)A1(0,1),A2(0,-1),B(1,0),C(-1,0)都為高階奇點(diǎn).系統(tǒng)(2)有首次積分x2+y2=r2,r∈R.

      根據(jù)以上分析,系統(tǒng)(2)的相圖拓?fù)涞葍r(jià)于圖1(a).

      這時(shí)系統(tǒng)(2)有首次積分:

      積分因子

      由文獻(xiàn)[5]知,系統(tǒng)(2)在平面上不存在極限環(huán),焦點(diǎn)和結(jié)點(diǎn),它有3個(gè)奇點(diǎn):O(0,0),A1(0,1),A2(0,-1).

      分兩種情況:

      1)當(dāng)β+3μ>-1時(shí),奇點(diǎn)A1(0,1),A2(0,-1)均為鞍點(diǎn);

      2)當(dāng)β+3μ<-1時(shí),奇點(diǎn)A1(0,1),A2(0,-1)一次近似為中心,所以奇點(diǎn)A1(0,1),A2(0,-1)就是系統(tǒng)(2)的中心.

      對(duì)于無窮遠(yuǎn)處,在u軸上有兩個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)

      分兩種情況:

      B(為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn).

      2)β=-9μ2+1.

      當(dāng)β+3μ>-1時(shí)為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn).

      當(dāng)β+3μ<-1時(shí)為鞍點(diǎn),另外它的4條分界線分別沿方向和進(jìn)入為鞍點(diǎn),另外它的4條分界線分別沿方向和進(jìn)入

      綜合以上分析,有兩種情況:

      1)當(dāng)β+3μ>-1且時(shí),都有A1(0,1),A2(0,-1)為鞍點(diǎn)為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn).系統(tǒng)(2)的相圖拓?fù)涞葍r(jià)于圖1(b).

      2)當(dāng)β+3μ<-1且時(shí),這時(shí)所以這種情況是不成立的;

      當(dāng)β+3μ<-1且時(shí),這時(shí)A1(0,1),A2(0,-1)為中心為鞍點(diǎn).系統(tǒng)(2)的相圖拓?fù)涞葍r(jià)于圖1(c).

      系統(tǒng)(2)的奇點(diǎn)還有第三種情況

      但較復(fù)雜,本文中沒有涉及,這是努力的方向.

      [1]Yang Xinan ,Zhang Jianfeng.Algebraic classification of polynomial systems in the plane[J].Ann of Diff Eqs,1990,6(4):463-480.

      [2]劉一戎.一類平面三次系統(tǒng)的焦點(diǎn)量公式、中心條件與中心積分[J].科學(xué)通報(bào),1986(2):85-87.

      [3]張芷芬,丁同仁,黃文灶,等.微分方程定性理論[M].北京:科學(xué)出版社,2003.

      [4]張錦炎,馮貝葉.常微分方程幾何理論與分支問題[M].北京:北京大學(xué)出版社,2002.

      [5]葉彥謙.極限環(huán)論[M].上海:上海科技出版社,1984.

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