《初等數(shù)學研究》課程教學的實踐與探索

和玉梅　陳映明　趙建紅　楊麗星

《初等數(shù)學研究》是麗江師專數(shù)學教育專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎課程，通過本課程的學習，使學生學會用現(xiàn)代數(shù)學來考察傳統(tǒng)的初等數(shù)學并對初等數(shù)學系統(tǒng)歸納深化、思想方法分類總結，對初等數(shù)學的一些主要專題進行深入研究；理解“中學數(shù)學”的理論基礎；靈活運用數(shù)學思想方法；探討與延伸一些初等數(shù)學問題，使學習者能“居高臨下”，而且能形成較穩(wěn)固的數(shù)學觀念、掌握數(shù)學方法，提高自身解決問題的能力。更重要的是使學生掌握中小學數(shù)學教學所需的初等數(shù)學的基礎理論、基本知識和基本技能；了解中小學數(shù)學的內(nèi)容和知識結構；在數(shù)學思想上得到啟發(fā)，在數(shù)學方法上得到初步培訓，為教好中小學數(shù)學打下較堅實的基礎。多年來我從事《初等數(shù)學研究》課程的教學，通過不斷的實踐與探索，積累了一些經(jīng)驗，現(xiàn)與大家共享。

1 通過一題多解，培養(yǎng)學生的解題能力

一題多解是從不同的角度，不同的方位審視分析同一題中的數(shù)量關系，用多種方法解答同一道數(shù)學題.教學中適當?shù)囊活}多解，用不僅能更牢固地掌握和運用所學知識，而且，通過一題多解，分析比較，尋找解題的最佳途徑和方法，可以激發(fā)學生去發(fā)現(xiàn)和去創(chuàng)造的強烈欲望，加深學生對所學知識的深刻理解，訓練學生對數(shù)學思想和數(shù)學方法的嫻熟運用，鍛煉學生思維的廣闊性和深刻性、靈活性和獨創(chuàng)性，從而培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)，發(fā)展學生的創(chuàng)造性思維.多做一些一題多解的練習題，對鞏固知識，增強解題能力，提高學習成績大有益處。

由（1）（2）知，命題成立。

2 滲透數(shù)學思想和方法

數(shù)學思想是指人們對數(shù)學理論和內(nèi)容的本質(zhì)的認識，數(shù)學方法是數(shù)學思想的具體化形式，實際上兩者的本質(zhì)是相同的，差別只是站在不同的角度看問題。通常混稱為“數(shù)學思想方法”。常見的數(shù)學四大思想為：函數(shù)與方程、轉化與化歸、分類討論、數(shù)形結合。而基本的數(shù)學方法有：代人法、配方法、換元法、消元法、待定系數(shù)法、面積法、反證法、同一法、分析法、綜合法、歸納法、演繹法、類比法、拆項法、割補法、面積法、截長補短法、特殊化、一般化、數(shù)學模型等。下面通過舉例介紹幾種數(shù)學思想方法

2.1 數(shù)形結合思想

所謂數(shù)形結合是指抽象的數(shù)學語言與形象直觀的圖形結合起來，從而實現(xiàn)由抽象向具體轉化的一種思維方式 數(shù)形結合的思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。

2.2 轉換思想

所謂轉化思想是指一種研究對象在一定條件下轉化為另一為另一種研究對象的思維方式。轉化思想是數(shù)學思想方法的核心，其它數(shù)學思想方法都是轉化的手段或策略把新問題轉化為原來研究過的問題，如有理數(shù)減法轉化為加法，除法轉化為乘法等（2）把復雜的問題轉化為簡單的問題，新問題用已有的方法等。

2.3 公理化思想

所謂數(shù)學公理化方法，就是從盡可能少的無定義的原始概念（基本概念）和一組不證自明的命題（基本公理）出發(fā)，利用純邏輯推理法則，把一數(shù)學建立成為演繹系統(tǒng)的一種方法。

例如：學習研究數(shù)系的時候，通過皮亞諾自然數(shù)的公理化定義，體會公理化的思想方法，通過構建平面幾何知識的完整體系，來了解歐幾里得《幾何原本》的公理化思想，進一步理會公理化思想方法在數(shù)學中的應用以及在人類科學中的應用。

所有數(shù)學思想方法的滲透不是一朝一夕的就能實現(xiàn)的而要貫穿整個教學過程中，因此我們做了下面的嘗試：

（1）在知識的形成過程中滲透數(shù)學思想方法。數(shù)學知識的發(fā)生過程實際上也是數(shù)學思想方法的發(fā)生過程，任何一個概念，都經(jīng)歷著由感性到理性的抽象概括過程；任何一個規(guī)律，都經(jīng)歷著由特殊到一般的歸納過程，如果我們把這些認識過程返璞歸真，在教師的引導下，讓學生以探索者的姿態(tài)出現(xiàn)，去參與概念的形成和規(guī)律的揭示過程，學生獲得的就不僅是數(shù)學概念、定理、法則，更重要的是發(fā)展了抽象概括的思維和歸納的思維，還可以養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)。因此，概念的形成過程、結論的推導過程、規(guī)律的被揭示過程都是滲透數(shù)學思想方法的極好機會和途徑。

（2）在問題的解決過程中滲透數(shù)學思想方法。問題是數(shù)學的心臟，數(shù)學問題的解決過程，實質(zhì)是命題的不斷變換和數(shù)學思方法的反復運用過程。數(shù)學思想方法是數(shù)學問題的解決觀念性成果，它存在于數(shù)學問題的解決之中，數(shù)學問題的步步轉化，無不遵循數(shù)學思想方法指示的方向。因此，通過問題解決，以培養(yǎng)數(shù)學意識，構造數(shù)學模型，提供數(shù)學想象；伴以實際操作，可以誘發(fā)創(chuàng)造動機，可以把數(shù)學嵌入活的思維活動之，并不斷在學數(shù)學、用數(shù)學的過程中，引導學生學習知識、掌握方法、形成思想，促進思維能力的發(fā)展。數(shù)學問題的解決過程是用“不變”的數(shù)學思想和方法去解決不斷“變換”的數(shù)學命題，在數(shù)學問題的解決過程中滲透數(shù)學思想和方法，不僅可以加快和優(yōu)化問題解決的過程，而且還可以達到會一題而明一路，通一類的效果。

（3）在復習與小結中提煉、概括數(shù)學思想方法。小結與復習是數(shù)學教學的一個重要環(huán)節(jié)，揭示知識之間的內(nèi)在聯(lián)系以及歸納、提煉知識中蘊含的數(shù)學思想方法是小結與復習的功能之一。數(shù)學的小結與復習，不能僅停留在把已學的知識溫記憶一遍的要求上，而要去努力思考新知識是怎樣產(chǎn)生、展開和證明的，其實質(zhì)是什么？怎樣應用它等。小結與復習是對知識進行深化、精煉和概括的過程，它需要通過手和腦積極主動地開展活動才能達到。因此，在這個過程中，提供了發(fā)展和提高能力的極好機會，也是滲透數(shù)學思想方法的極好機會與途徑。學生學完一個單元的內(nèi)容，應該在整體上對該單元的內(nèi)容有一個清晰、全面的認識。因此，在小結與復習時應該提煉、概括這一單元知識所涉及的數(shù)學思想方法；并從知識發(fā)展的過程來綜觀數(shù)學思想方法所起的作用，以新的更為全面的觀點分析所學過的知識；從數(shù)學思想方法的角度進行提高與精練。由于同一內(nèi)容可以體現(xiàn)不同的數(shù)學思想方法，而同一數(shù)學思想方法又常常蘊含在許多不同的知識點里，因此在小結與復習時，還應該從縱橫兩方面整理出數(shù)學思想方法及其系統(tǒng)。

3 以點帶面，構建初等數(shù)學研究的知識結構形成體系

一般來說，數(shù)學專業(yè)的學生中學數(shù)學知識掌握較好，教學中沒有必要把中學數(shù)學知識從頭到尾、面面俱到地講解。關鍵是將相關知識梳理形成體系，相互融合。另一方面，時間也不允許。例如，在學習尺規(guī)作圖的時候，先復習基本的尺規(guī)作圖方法：然后邊作圖邊復習作圖時用到的幾何知識，如兩點確定一條直線，全等三角形的判斷與性質(zhì)，平行線截線段成比例定理、射影定理、角平分線定理、線段的垂直平分線定理，弦切角定理，比例線段、最后再來初等幾何變換：平移變換、軸對稱變換、旋轉變換、位似變換及其作圖。比如：畫三角形的內(nèi)切圓和旁切圓的時候，先讓學生回憶角平分線的概念及其性質(zhì)；作兩線段的比例中項，先讓學生回憶比例線段的概念，相似三角的判斷與性質(zhì)以及射影定理。這樣教學，不僅掌握了作圖方法、還將平面幾何的知識梳理形成體系。

4 精心選擇例題

例題要主題明確，集中反映所要傳授的知識的核心部分。例題盡量要求方法上具有開放性，能夠從多角度、用多種方法予以解決，能夠舉一反三，培養(yǎng)學生思維的開闊性和靈活性。例題要有一定的難度，可以選用數(shù)學競賽題、高考題、中考題等。當然也不能太難讓學生無從下手。例題盡量要求內(nèi)容上具有綜合性，能夠匯聚多個知識點，溝通數(shù)學內(nèi)部的聯(lián)系。

總之，我校《初等數(shù)學研究》課程教學通過我們的努力取得了一些成績比如有些畢業(yè)生教師上崗和特崗考試取得好的數(shù)學成績，然而《初等數(shù)學研究》研究還在實踐和探索中，已有的探索還有些不成熟，課程內(nèi)容變動也比較大，也還形不成體系，但起步總是可貴的，相信通過我們的努力，認真學習和借鑒其他高師院校的先進經(jīng)驗深人中小學數(shù)學教學調(diào)查研究，并結合我校的具體情況和學生的實際水平，我們的教學會進展并取得實效。

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[責任編輯：湯靜]