徐明會 李媛媛

摘要：本文通過研究烤箱中烤盤的傳熱原理，建立二維穩(wěn)態(tài)熱傳導方程，利用MATLAB計算仿真得到不同形狀的烤盤外邊緣熱量的分布情況。

關鍵詞：熱量分布；熱傳導

烤盤在烘烤蛋糕時經歷了一個相當復雜的過程。我們大致可將其分為三個階段：首先，烤箱的電熱阻絲做功放熱通過熱交換加熱烤箱內的空氣；然后，待烤箱內空氣溫度達到一定后，烤箱內的溫度保持不變，烤盤內的食物由于內外溫度不同進行熱傳遞；最后，食物上的每一處都達到烤箱內的恒定溫度后，食物將吸收熱量用于產生化學反應烘焙食物。

一.模型假設

1.烤箱各向均勻同質，受熱均勻，且烤箱內部溫度穩(wěn)定。

2.烤盤可以為介于矩形和圓形之間的形狀，厚度忽略不計。這一假設將烤盤看作薄片，對于熱傳導方程的推導由三維熱傳導方程降為二維熱傳導方程，如下推導所示。

二.模型的建立與求解

整個烤制過程中的熱傳導是從食物外表面向內部傳遞的，由于在同一水平截面上，即位于同一烤盤相同高度截面外邊緣上的每一點溫度相等，所以我們可以將下述的三維熱傳導方程降維，成為二維熱傳導方程，建立模型進行求解。

根據熱傳學原理[1]，對于給定的物體 ，設其上的點在時刻 的溫度為 ，由傅里葉熱傳導定律[2]可得

式中 代表熱傳導系數，設為 。 代表熱流量， 代表 范圍內的每一閉合區(qū)域， 代表時刻。再由熱量守恒定律得 ，式中 代表比熱容， 代表質量。結合上述的兩大物理定律，可以推得穩(wěn)態(tài)二維齊次熱傳導方程：

其中，由于烤盤各向均勻同性，所以 均為常數，所以令 。求解上述二維熱穩(wěn)態(tài)齊次方程，這里還需要確定初始條件和邊界條件，首先給出初始條件：

這里給的 是表示點 處的初始溫度值。根據諾埃曼邊界使用條件，可以得出

式中，當 時，表示物體絕熱。 表示 沿邊界 上的單位外法線方向 的方向導數。由此可以求得烤盤中食物的任意一個點 在任何時刻所對應的溫度狀態(tài)，繼而得到整個烤盤邊緣的溫度分布狀態(tài)。以下利用MATLAB中的PDE工具箱繪制出矩形，圓形以及六邊形三種烤盤相同條件下的溫度分布情況圖。

圖1 矩形烤盤中食物的三維熱量分布圖

圖中為加熱指定時間后矩形烤盤中食物同一水平截面上的三維熱分布情況圖。圖中的顏色深淺程度代表了不同的溫度值。由上圖可以看出，在相同的加熱時間下，矩形烤盤四個角落溫度最高?？梢缘贸觯瑴囟仁怯赏獗砻嫦騼缺砻嬖趥鞯?，在傳遞的這段時間內，四角上的食物由于高溫持續(xù)時間過長可能出現烤焦的情況。下圖中的圓形烤盤熱量分布均勻，烤制時不存在邊緣被烤焦而中間未熟的情況。

圖1 圓形烤盤中食物的三維熱量分布圖

圖1 正六邊形烤盤中食物的三維熱量分布圖

三、結論

本文就烤箱中不同形狀的烤盤研究食物加熱與熱傳導過程，通過建立的二維穩(wěn)態(tài)熱傳導方程，通過MATLAB仿真即得到食物的三維熱量分布圖。

參考文獻：

[1]朱長江，鄧引斌，偏微分方程教程[M].北京：科學出版社，2007.

[2]楊世銘，陶文銓，傳熱學[M]，北京高等教育出版社，2010.

[3]李燦，高彥棟，黃素逸，熱傳導問題MATLAB數值計算[J].華中科技大學學報，2002，30（9）：90-93.

作者簡介：徐明會（1993-），女，貴州遵義人，重慶交通大學本科生，專業(yè)：工程造價。