劉曉凌（西安愛生技術(shù)集團(tuán)公司陜西西安710065）

一種基于平均值模型的小型航空活塞發(fā)動(dòng)機(jī)噴油MAP的快速標(biāo)定及優(yōu)化方法

劉曉凌
（西安愛生技術(shù)集團(tuán)公司陜西西安710065）

利用平均值模型給某小型航空發(fā)動(dòng)機(jī)建立了發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)氣模型，并用貝葉斯決策論的方法對該模型數(shù)據(jù)進(jìn)行了修正，得到了在貝葉斯決策論下的最優(yōu)估計(jì)，簡單快速地得到了發(fā)動(dòng)機(jī)的噴油MAP。試驗(yàn)證明該方法簡單有效，大大縮短了電子燃油噴射系統(tǒng)設(shè)計(jì)開發(fā)周期。

平均值模型貝葉斯決策論標(biāo)定活塞發(fā)動(dòng)機(jī)

引言

活塞發(fā)動(dòng)機(jī)具有體積小，重量輕，升功率高及結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點(diǎn)，在我國現(xiàn)役的無人機(jī)裝備得到了大量的應(yīng)用［1］。目前使用的活塞發(fā)動(dòng)機(jī)中大都采用的是化油器的供油方式。化油器的供油方式技術(shù)成熟，使用方便，但隨著發(fā)動(dòng)機(jī)使用高度的增加，化油器的高空特性變差，發(fā)動(dòng)機(jī)的空燃比嚴(yán)重偏離發(fā)動(dòng)機(jī)的設(shè)計(jì)點(diǎn)，使得發(fā)動(dòng)機(jī)動(dòng)力性、經(jīng)濟(jì)性和環(huán)境適應(yīng)性變差，影響無人機(jī)的使用性能。而發(fā)動(dòng)機(jī)電子燃油噴射系統(tǒng)不依賴感應(yīng)外界氣壓的方式工作，只要提供足夠精確的MAP圖，就可對發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行精確控制，提高發(fā)動(dòng)機(jī)的使用性能。

然而在MAP圖標(biāo)定時(shí)，由于影響MAP圖標(biāo)定的影響因素多，使得采樣的數(shù)據(jù)具有一定的隨機(jī)性。要得到精確的MAP圖，需要對試驗(yàn)發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行大量的標(biāo)定工作，使得電噴系統(tǒng)的設(shè)計(jì)周期較長，開發(fā)成本較大。

本文通過對發(fā)動(dòng)機(jī)采用基于平均值模型的方法快速得到試驗(yàn)發(fā)動(dòng)機(jī)的MAP模型，然后通過貝葉斯決策論的方法對發(fā)動(dòng)機(jī)的MAP進(jìn)行修正，得到在貝葉斯決策下的后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小的MAP模型。通過試驗(yàn)驗(yàn)證該方法簡單可行，可快速獲得較高精度的發(fā)動(dòng)機(jī)MAP圖。

1　活塞發(fā)動(dòng)機(jī)平均值模型

活塞發(fā)動(dòng)機(jī)的平均值模型最早是由Rasmussen在其博士論文中提出，經(jīng)過多年的發(fā)展，最后由丹麥技術(shù)大學(xué)的Hendricks進(jìn)行了系統(tǒng)的總結(jié)與整理，給出了完整的模型和通用表達(dá)式。發(fā)動(dòng)機(jī)的平均值模型忽略了不同曲軸轉(zhuǎn)角所對應(yīng)發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)部的缸內(nèi)變化的細(xì)節(jié)，對各缸的工作狀態(tài)進(jìn)行了平均化處理，是一種基于時(shí)間平均值的控制模型。由于該模型具有較少的參數(shù)和較低的階次，且具有較高的整體精度，并能夠?qū)Πl(fā)動(dòng)機(jī)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行模擬，因此在實(shí)際中得到了廣泛的應(yīng)用。

本文采用的試驗(yàn)發(fā)動(dòng)機(jī)為總排量為0.99 L的四缸水平對置風(fēng)冷二沖程汽油發(fā)動(dòng)機(jī)。原發(fā)動(dòng)機(jī)采用的是化油器式的供油方式，考慮到改造簡單方便，該發(fā)動(dòng)機(jī)采用了進(jìn)氣道噴射的方法進(jìn)行改造。發(fā)動(dòng)機(jī)的噴油量是根據(jù)進(jìn)氣量和最佳空燃比計(jì)算出來的，而采用節(jié)風(fēng)門角度和轉(zhuǎn)速可間接地計(jì)算發(fā)動(dòng)機(jī)的進(jìn)氣量，可以通過平均值模型的建立得到以節(jié)風(fēng)門角度和轉(zhuǎn)速為自變量，噴油量為函數(shù)值的MAP圖。

發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)氣管中的氣體服從氣體理想狀態(tài)方程：

p1為進(jìn)氣管中空氣的壓力，V1為進(jìn)氣管中空氣的體積，m1為進(jìn)氣管中空氣的質(zhì)量，R為氣體常數(shù)，T1為進(jìn)氣管中空氣的溫度。進(jìn)氣管的體積V1和溫度T1可視為常量，對公式（1）求導(dǎo)可得：

根據(jù)質(zhì)量守恒定律，進(jìn)氣管中空氣的質(zhì)量流量為節(jié)風(fēng)門處的空氣流量和離開進(jìn)氣管進(jìn)入燃燒室處的空氣流量之差，因此有：

m˙at為節(jié)風(fēng)門處的質(zhì)量流量，m˙ap為進(jìn)氣管出口處的質(zhì)量流量。

根據(jù)發(fā)動(dòng)機(jī)平均值模型［2-3］

式中：p1為進(jìn)氣管內(nèi)的壓力，Vd為發(fā)動(dòng)機(jī)排量，ξ為沖程數(shù)，ev為充氣系數(shù)，n為發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速，θ為節(jié)風(fēng)門角度，mat0為和發(fā)動(dòng)機(jī)相關(guān)的常數(shù)，p0和T0為標(biāo)準(zhǔn)狀況下的氣壓和溫度，β1（θ）和β2（pr）為節(jié)風(fēng)門角度θ和節(jié)風(fēng)門后進(jìn)氣管壓力p1和節(jié)風(fēng)門前的大氣壓力p0的壓比pr的函數(shù)。其中β1（θ）和β2（pr）分別為：

其中a1，a2，a3，a4為發(fā)動(dòng)機(jī)相關(guān)的常數(shù)。

把（3）～（7）式帶入（2）式，得到一個(gè)關(guān)于p1的一階導(dǎo)函數(shù)。當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)在某一工況穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，進(jìn)氣管的壓力p1變化率為零，因此就可得到一個(gè)關(guān)于進(jìn)氣管壓力p1、轉(zhuǎn)速n和節(jié)風(fēng)門角度θ的三元的非線性方程式

通過（8）式可得到發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)氣管氣壓、轉(zhuǎn)速和節(jié)風(fēng)門角度的三維MAP圖。根據(jù)進(jìn)氣管氣壓值可得到實(shí)際循環(huán)的進(jìn)氣流量為：

然后根據(jù)空氣流量和理想空燃比的關(guān)系算得燃油流量，如（10）式所示：

其中m˙f為每循環(huán)燃油流量，λ空燃比。然后根據(jù)噴油器流量特性可得到發(fā)動(dòng)機(jī)的噴油MAP圖。

把試驗(yàn)發(fā)動(dòng)機(jī)的常數(shù)帶入以上式子中得到的發(fā)動(dòng)機(jī)的燃油流量、轉(zhuǎn)速和節(jié)風(fēng)門角度三維MAP圖如圖1所示。

圖1　發(fā)動(dòng)機(jī)平均值法噴油MAP圖

從計(jì)算數(shù)據(jù)以及圖1可以看出當(dāng)節(jié)風(fēng)門一定時(shí)，隨著發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速的增大，發(fā)動(dòng)機(jī)噴油脈寬減小。當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速一定時(shí)，隨著節(jié)風(fēng)門角度增大發(fā)動(dòng)機(jī)噴油脈寬增大。

2　貝葉斯修正

從平均值模型得到的數(shù)據(jù)誤差還較大，還不能直接用于發(fā)動(dòng)機(jī)的控制，如實(shí)際使用還需要進(jìn)一步的優(yōu)化修正才能完全符合發(fā)動(dòng)機(jī)的特性。MAP參數(shù)的優(yōu)化有很多方法，本研究通過貝葉斯決策論的方法對通過平均值模型獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行進(jìn)一步的修正。貝葉斯統(tǒng)計(jì)是基于總體信息、樣本信息和先驗(yàn)信息進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)推斷，它與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要區(qū)別在與是否利用先驗(yàn)信息。其中先驗(yàn)信息的分布是反映人們在抽樣前對該總體分布的先期認(rèn)識(shí)，通過對先驗(yàn)信息的利用可以大大提高統(tǒng)計(jì)推斷的質(zhì)量［4］。

本研究把通過平均值模型獲得的數(shù)據(jù)看成噴油脈寬的先驗(yàn)分布π（T），T∈Θ，Θ為參數(shù)狀態(tài)空間。把噴油脈寬T視為服從π（T）分布的隨機(jī)變量。把通過抽樣得到的樣本X（t′1…t′n）看成是從總體分布p（t/T）中抽樣的樣本，則樣本X的聯(lián)合密度函數(shù)為：

該聯(lián)合密度函數(shù)是綜合了總體和樣本的信息，是樣本的似然函數(shù)。

由貝葉斯公式可得樣本的后驗(yàn)密度函數(shù)為：

其中m（X）為邊緣密度函數(shù)

后驗(yàn)分布是反映在抽樣后，新的樣本對先驗(yàn)分布的修正，后驗(yàn)分布可以看作是用總體信息和樣本信息對先驗(yàn)分布調(diào)整的結(jié)果。后驗(yàn)分布綜合了總體信息，樣本信息和先驗(yàn)信息，一切有關(guān)統(tǒng)計(jì)推斷的參數(shù)信息都綜合在后驗(yàn)分布中。要對推斷參數(shù)做決策就從后驗(yàn)分布中提取。

在貝葉斯決策論中認(rèn)為，每采取一種決策α對參數(shù)進(jìn)行推斷都是有損失的，該損失可用一個(gè)函數(shù)表達(dá)，該函數(shù)稱為損失函數(shù)。在本研究中用L（T，α）表示損失函數(shù)，它表示當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)的實(shí)際噴油脈寬為T時(shí)，采取決策α的損失，一般在統(tǒng)計(jì)中的決策α為一個(gè)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量估計(jì)。

把損失函數(shù)L（T，α）對后驗(yàn)分布π（T/X）求數(shù)學(xué)期望稱為該參數(shù)采取決策α的后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)，既：

其中x為樣本空間，Θ為參數(shù)狀態(tài)空間。

從式（14）可以看出后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)就是用后驗(yàn)分布計(jì)算的平均損失，它是樣本X和決策α的函數(shù)，隨著樣本行動(dòng)的不同后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)也跟隨著變化。

特別地當(dāng)R（α′/X）=minR（α（x）/X）時(shí)，稱α′為后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則下的最優(yōu)決策函數(shù)，稱為貝葉斯決策函數(shù)。因此通過讓后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最小的噴油脈寬參數(shù)T的估計(jì)是在貝葉斯決策論下的最優(yōu)噴油脈寬，也即貝葉斯下的最優(yōu)MAP。

特別當(dāng)損失函數(shù)為平方損失函數(shù)L（T，α）=（T-α）2時(shí)，任一個(gè)決策函數(shù)α=α（x）的后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)為

要使該式達(dá)到最小，當(dāng)且僅當(dāng)且αB（x）=E（α/x）時(shí)決策函數(shù)的后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最小，因此在平方損失下對噴油脈寬的最優(yōu)貝葉斯決策估計(jì)也就是T的貝葉斯后驗(yàn)均值。本文既采用該平方損失函數(shù)進(jìn)行了后面的參數(shù)優(yōu)化修正。

3　試驗(yàn)驗(yàn)證

通過上述平均值模型方法和試驗(yàn)采樣得到在發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速4 600、5 000和5 400 r/min時(shí)，不同節(jié)風(fēng)門處噴油脈寬曲線如圖2、圖3和圖4所示。

圖2　4600 r/min時(shí)模型計(jì)算實(shí)測采樣噴油脈寬

圖3　5000 r/min時(shí)模型計(jì)算實(shí)測采樣噴油脈寬

圖4　5600 r/min時(shí)模型計(jì)算實(shí)測采樣噴油脈寬

首先，從模型計(jì)算和實(shí)際采樣數(shù)據(jù)圖可以看出，通過平均值模型得到的數(shù)據(jù)在某些工況下和實(shí)測值比較接近，在某些工況下相差較遠(yuǎn)，但總體上理論模型計(jì)算值和實(shí)測值具有一致性，說明在設(shè)計(jì)電子燃油噴射系統(tǒng)的初期可以通過平均值模型的方法簡單迅速的得到發(fā)動(dòng)機(jī)噴油MAP，但必須通過其他方法對該MAP進(jìn)行優(yōu)化修正。其次由于影響發(fā)動(dòng)機(jī)狀態(tài)的因素有很多，且互相耦合，因此實(shí)測數(shù)據(jù)也具有一定的隨機(jī)性，需要通過統(tǒng)計(jì)的方法校正偶然因素。

通過對上述兩組數(shù)據(jù)采用貝葉斯決策論的方法進(jìn)行數(shù)據(jù)優(yōu)化修正。通過大量發(fā)動(dòng)機(jī)噴油脈寬采樣經(jīng)驗(yàn)，本文采用了先驗(yàn)分布和總體分布都為正態(tài)分布分別為N（T1，τ2）和N（t，σ2），其中T1為先期標(biāo)定MAP圖中的噴油時(shí)間的數(shù)學(xué)期望，τ2和σ2為采樣樣本的方差。T1、τ2和σ2用噴油時(shí)間的矩估計(jì)獲得，損失函數(shù)取為平方損失函數(shù)，則可得修正曲線如圖5、圖6和圖7所示。

從修正曲線可以看出，貝葉斯決策論修正數(shù)據(jù)的方法對平均值模型計(jì)算的數(shù)據(jù)和實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行修正是一種“平均”的修正，且該修正的后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小，是貝葉斯決策論下的最優(yōu)決策。通過在試驗(yàn)發(fā)動(dòng)機(jī)上驗(yàn)證，該方法非?？焖俚氐玫搅吮辉嚢l(fā)動(dòng)機(jī)的噴油MAP，且精度較高，能夠滿足發(fā)動(dòng)機(jī)的控制要求，大大節(jié)約了燃油電子噴射系統(tǒng)的開發(fā)時(shí)間。

圖5　4600 r/min時(shí)模型計(jì)算實(shí)測采樣噴油脈寬

圖6　5000 r/min時(shí)模型計(jì)算實(shí)測采樣噴油脈寬

圖7　5600 r/min時(shí)模型計(jì)算實(shí)測采樣噴油脈寬

4　結(jié)論

本文通過采用平均值模型的方法簡單快速地得到了被試發(fā)動(dòng)機(jī)的基本噴油MAP圖，然后又對該MAP采用貝葉斯決策論的方法進(jìn)行了優(yōu)化修正，通過該方法得到的MAP圖在貝葉斯決策論下是最優(yōu)的。通過該方法得到的MAP能較好的滿足發(fā)動(dòng)機(jī)電噴改造的需要，在實(shí)際試驗(yàn)中也得到了驗(yàn)證，大大縮短了電噴系統(tǒng)的改造周期，具有重要的理論和應(yīng)用價(jià)值。

1李玉珍，馬震，張學(xué)平.HS-700型發(fā)動(dòng)機(jī)活塞的優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.西安理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，21（1）：86-90

2Santavicca Domenic A，Liou Deruh，North Gary L.A fractal model of turbulent flame growth［C］.SAE Paper 900024

3Hendricks Elbert，Chevalier Alain，Jensen Michael.Modeling of the intake manifold filling dynamics［C］.SAE Paper 960037

4師義民，許勇，周丙常.近代統(tǒng)計(jì)方法［M］.北京：高等教育出版社，2011

A Fast Calibration and Optimization Method of Small Aviation Piston Engine's Fuel MAP Based on Mean Value Engine Model

Liu Xiaoling
Xi'an ASN Technology Group Co.，Ltd.（Xi'an，Shaanxi，710065，China）

Based on mean value model，an intake model of the engine is established for a small aviation model.Also its data model has been modified by using Bayesian decision theory and optimally estimated with the theory，which result in a simple and fast way to get the fuel injection MAP of the engine.The experiment proves that the method is simple and effective and shortens the development periods of the design for electronic fuel injection system.

Mean value model，Bayesian decision theory，Engine calibration，Piston engine

TK411+.27

A

2095-8234（2015）04-0075-04

2015-05-19）

劉曉凌（1977-），男，工程師，主要研究方向?yàn)樾⌒蛢?nèi)燃機(jī)設(shè)計(jì)。