畢文杰,孫穎慧,田柳青

(中南大學商學院,湖南長沙410083)

參考價格符合峰終定律的多產品動態(tài)定價模型

畢文杰,孫穎慧,田柳青

(中南大學商學院,湖南長沙410083)

針對客戶存在參照效應,且參考價格更新符合峰終定律的情況,建立了多產品動態(tài)定價模型.通過構建價值函數(shù)的合理上界,解決了動態(tài)規(guī)劃模型非光滑的問題,給出了動態(tài)定價模型穩(wěn)態(tài)價格的解析解,并利用效用函數(shù)的超模性證明了最優(yōu)價格隨時間單調遞增.通過數(shù)值計算,將該模型分別與只考慮單個產品價格的定價模型和短視定價模型進行了比較.結果表明,非核心產品的價格要高于核心產品的價格,且考慮參照效應的長期定價策略的各期價格高于相應短期定價策略的價格.

峰終定律;參照依賴;損失厭惡;動態(tài)定價

1 引 言

對于大多數(shù)企業(yè)來說,最關心的問題是如何提高企業(yè)的利潤.研究表明,盡管通過提高庫存和物流管理水平可以很好地降低供應鏈成本,但通過制定科學而靈活的動態(tài)價格策略,是企業(yè)提高利潤的最快和最有效的方法:定價提高1%,企業(yè)的運營效益往往就能提高7%–15%[1].鑒于動態(tài)定價的重要性,學者們對其進行了大量的研究,提出了不同的理論體系和模型.早期的經典動態(tài)定價模型如Gallego和Van Ryzin[2]提出的GVR模型,大都假設客戶是短視的,不考慮廠商后期的價格策略對客戶購買行為的影響.隨著動態(tài)定價模式的普及和信息技術的發(fā)展,越來越多的客戶的購買行為體現(xiàn)出策略性.所以,考慮客戶策略行為的動態(tài)定價問題迅速成為學者們研究的熱點,并產生了豐富的研究成果.例如畢功兵等[3]針對消費者策略行為,在單個廠商銷售兩種可替代產品情況下,建立了兩周期動態(tài)定價模型.但考慮客戶策略行為的動態(tài)定價研究又走向了另一個極端,絕大多文獻將客戶假設為完全理性的.然而,來自心理學實驗和行為博弈領域的大量研究表明[4]決策者會系統(tǒng)地偏離完全理性假設,表現(xiàn)出如偏好不一致,記憶力,推理能力有限,隨機最優(yōu)反應,參照依賴等一系列有限理性的行為.而這些行為對市場需求和企業(yè)利潤都將產生重要影響.考慮客戶有限理性行為的動態(tài)定價問題也成了學術界新的研究熱點,也已有學者對此作出研究[5].

最近的實證表明客戶在購買商品時存在參考效應[6].大量文獻研究了參考價格的錨定機制,詳見蘇凇和黃勁松[7]的綜述.其中,Rajendran和Tellis[8]對過去購買價格進行幾何平均得到參照價格.Mazumdar和Papatla[9]將所有歷史價格進行指數(shù)平滑得到參照價格.Armstrong和Chen[10]對市場壟斷價格進行平均得到參照價格.Biresch等[11]比較了當時流行的幾種參照價格模型,認為“指數(shù)平滑模型”與實驗數(shù)據(jù)的匹配度最高.隨著研究的深入,學者們也越來越多的在動態(tài)定價中引入參考價格.Sorger[12]研究了參考效應下動態(tài)定價和廣告策略的結合.Popescu和Wu[13]在假設參照價格服從指數(shù)平滑的基礎上,構建了動態(tài)定價模型,并證明了最優(yōu)價格路徑的單調性與收斂性.Huh等[14]將此模型擴展到兩階段多周期的定價問題中,得到類似結果.程巖[15]還根據(jù)客戶的參考價格對客戶進行細分,并基于此研究了季節(jié)性,時尚類產品的動態(tài)定價問題.然而,一些關于參照價格的研究對指數(shù)平滑模型產生了質疑.Dickson等[16]發(fā)現(xiàn)消費者對價格的記憶是有限的,只有47.1%的人能夠在購買后能說出其購買產品的價格.Fredrickon和Kahneman[17]提出了“峰終定律”,認為人們對體驗的記憶由兩個因素“峰值”和“終值”決定,所謂“峰值”是指最大值(最小值),“終值”是指最近的值.在定價問題中,“價格峰值”指過去的最高(最低)價格,“價格終值”指最近一期的價格. Nasiry和Popescu[18]在Fredrickon和Kahneman研究的基礎上提出了消費者基于峰終定律錨定參考價格的單產品動態(tài)定價模型,他們注意到如果更多的顧客錨定在最低價格上,那么相應的價格范圍也就越寬,擴展了前面研究的結論.

關于多產品的參考價格形成機制,本文借鑒了Calicchio和Krell[19]對拉丁美洲零售商價格策略的調查研究.Calicchio和Krell發(fā)現(xiàn),少數(shù)商品的價格(又稱為核心商品)決定了客戶對該零售商店的整個價格預期.因此,核心商品的定價對零售商利潤非常重要.例如,零售商可以通過給核心商品制定較低的價格來吸引客戶訪問他們的商店,而通過非核心商品的銷售獲取額外的收益.本文正是基于這種現(xiàn)象,假設客戶的參考價格有兩種機制,一種是Product-level,即參考價格只受該產品本身價格的影響;另一種是Store-level,參考價格受多個核心產品的價格共同影響.而本文重點分析參考價格符合第二種機制下的動態(tài)定價問題.

本文在假設參考價格受多個核心產品的價格共同影響,且參考價格的更新符合峰終定律的基礎上,構建了多產品動態(tài)定價模型,并對其進行分析求解.

2 多產品動態(tài)定價模型

2.1 模型假設與主要符號說明

首先考慮一個壟斷廠商銷售多種產品的利潤最大化問題.在該市場中,消費者的購買決策受當期的價格及過去的價格的影響,即參照效應影響需求.

假設1 假設各個產品的需求相互獨立,消費者在價格方面的參照效用影響產品的需求,且參照效用為線性的.產品需求函數(shù)為

其中p=(p1,p2,...,pn)T為多個產品的價格向量,r為參考價格,aj>0,bj>0,基礎需求函數(shù)dj(pj)= aj?bjpj是價格的線性減函數(shù).λ為非負向量,表示各產品在消費者心中的權重,有1Tλ=1,λTp是該廠商產品價格的加權平均,代表了當前該廠商的綜合價格水平.式(1)中,cL表示消費者對損失的敏感程度,cG表示消費者對贏得的敏感程度,0cL1,0cG1.如果cG=cL,消費者為損失中性的,則需求函數(shù)是光滑的(連續(xù)可微).如果cGcL,消費者為損失追求者.

此外,假設消費者的參照價格是store-level的,即消費者對整個廠商的價格有總體上的感受,稱為廠商綜合價格水平,即λTp,其得失為綜合價格水平與參考價格比較而來.由于不同的產品在消費者心中的權重不同,故某個產品需求的參照效應為綜合價格水平產生的參照效應乘以其權重.從式(1)可知,當參考價格rλTp時,Dj(p,r)=aj?bjpj?cGλj(λTp?r);當參考價格r< λTp時, Dj(p,r)=aj?bjpj?cLλj(λTp?r).

假設2 消費者的參照價格受所有商品過去價格的影響,其形成和更新機制服從峰終定律,即為過去價格的最小值或最大值(本文考慮的是最小值)與上期價格的加權值,即

其中mt?1=min(mt?2,λTpt?1)為過去綜合價格水平的最小值,0α<1為消費者的記憶因子,代表最小價格對消費者影響的比重.

2.2 多產品動態(tài)定價模型

在前面的假設下,廠商的動態(tài)定價問題就是使得產品所有時期銷售收入總價值最大化,即

其中γ為折扣因子,D(pt,rt)為銷售量向量.

參照價格的演化方程為

此問題的貝爾曼方程為

式(5)的約束條件為式(4).

因價值函數(shù)J(mt?1,pt?1)非光滑,將按以下步驟求解穩(wěn)態(tài)價格.首先,找到價值函數(shù)J(mt?1,pt?1)的一個光滑上界,即

然后,根據(jù)引理1和引理2得出模型(5)的穩(wěn)態(tài)價格.

引理1 J(mt?1,pt?1)(pt?1),?mλTp.(證明見附錄)

引理2 模型(6)的穩(wěn)態(tài)價格同時為模型(5)的穩(wěn)態(tài)價格.(證明見附錄)

定理1 模型(5)多產品動態(tài)定價存在一個穩(wěn)態(tài)價格p??,滿足下式

其中kii=2bi+(1?θ)λiλicL[2?(1?α)(1+γ)]+θcGλiλi(1?γ),kij=(1?θ)λiλjcL[2?(1?α)(1+ γ)]+θcGλiλj(1?γ),.

具體可分如下幾種情況:

1)當r0

kii=2bi+λiλicL[2?(1?α)(1+γ)],kij=λiλjcL[2?(1?α)(1+γ)],.

2)當r0∈[q,s]時,?θ(r0)∈[0,1],使得λTp(θ(r0),r0)=r0,穩(wěn)態(tài)價格p??=p(θ(r0),r0)即為θ= θ(r0)時式(7)的解,其中

kii=2bi+(1?θ(r0))λiλicL[2?(1?α)(1+γ)]+θ(r0)cGλiλi(1?γ),kij=(1?θ(r0))λiλjcL[2?(1?α)(1+γ)]+θ(r0)cGλiλj(1?γ),.

3)當r0>s時,穩(wěn)態(tài)價格p??=p(1,sn),即為θ=1時式(7)的解,其中

kii=2bi+cGλiλi(1?γ),kij=cGλiλj(1?γ),.

q和s分別為θ=0和θ=1時r=λTp??的解.(證明見附錄)

定理2 最優(yōu)價格隨時間單調遞增,且如果r0s,則λTpr0.如果r0>s,則mt?1>s,其中q和s的含義同定理1.(證明見附錄)

定理2說明,如果r0s,消費者對產品價格整體的印象(兩個產品價格的線性組合)總是大于其最初的參照價格.即最小的價格并不隨時間變動,各周期的參照價格也都在原來的區(qū)域中.而當r0>s時,最小的價格就會隨時間的變動而變動,但不會小于s,各周期的參照價格也都在原來的區(qū)域中.

定理3 模型(7)中參數(shù)aj,bj,cL,cG及λj與穩(wěn)態(tài)價格pj的影響為:

1)穩(wěn)態(tài)價格pj隨aj增加而遞增,隨bj增加而遞減,且核心產品的穩(wěn)態(tài)價格pj隨aj,bj變化的幅度比非核心產品的小.

2)穩(wěn)態(tài)價格pj隨cL,cG的增加而遞減.

3)核心產品穩(wěn)態(tài)價格pj隨λj的減少而遞增,非核心產品穩(wěn)態(tài)隨λj的減少而遞減.

(證明見附錄)

3 數(shù)值算例

為了更直觀的了解核心產品與非核心產品的穩(wěn)態(tài)價格與各參數(shù)之間的關系.本節(jié)將針對兩產品的情況,在給定參數(shù)的情況下,比較Store-level定價策略與Product-level定價策略的最優(yōu)價格路徑.Product-level定價策略模型假設消費者的參照價格僅僅受其購買產品過去價格的影響,其動態(tài)定價問題如下

假設消費者的初始參照價格相等,兩種產品需求函數(shù)中各系數(shù)也相同,且各參數(shù)取值為r0=4, a1=a2=100,b1=b2=5,cL=20,cG=10,α=0.2,γ=0.95,λ1=0.8,λ2=0.2.圖1展示了兩種定價策略下的最優(yōu)定價路徑.

從圖1可以看出,兩種策略下,非核心產品的價格都高于核心產品.因為兩種策略下消費者對核心產品參照依賴程度大于非核心產品.然而,與Product-level比較,在Store-level下,非核心產品的價格更高,核心產品的價格更低.說明Store-level策略通過較低的核心產品價格降低消費者Store-level的參照價格,以吸引更多的消費者購買產品.而非核心產品的提高對消費者參照價格和需求影響較小,可以獲得較高的利潤來彌補因核心產品價格降低造成的損失.

當廠商在做決策時不考慮價格對利潤的長期影響時,稱之為短視廠商,其定價模型為式(5)中γ=0的情況.可參照定理1求得該模型的穩(wěn)態(tài),圖2比較了短視型廠商的價格策略和最優(yōu)定價策略.

圖1 Store-level和Product-level策略下的最優(yōu)價格路徑Fig.1 Optimal price path for strategy of Store-level and Product-level

圖2 短視型廠商的價格策略與最優(yōu)定價策略比較Fig.2 Optimal price path for optimal strategy versus myopic strategy

從圖2可以看出兩種定價策略下,非核心產品的價格都高于核心產品.最優(yōu)策略的價格高于短視型廠商的價格策略.這個結果與Nasiry和Popescu[18]單產品定價的研究相同.

4 結束語

本文構建了參照價格符合峰終定律的多產品動態(tài)定價模型,得出了穩(wěn)態(tài)價格的解析解,證明了最優(yōu)價格隨時間單調遞增,并通過穩(wěn)態(tài)價格的解析解分析了各參數(shù)變化對穩(wěn)態(tài)價格的影響.通過數(shù)值算例具體描述了最優(yōu)價格路徑,結果表明廠商可以通過減小核心產品的價格來降低消費者的參照價格,從而吸引更多的顧客.本文還通過數(shù)值分析將本文所建模型和短視型廠商定價模型分別進行了比較,結果說明長期定價策略的各期價格高于短視的定價策略.

本文未考慮消費者的策略行為.而面對動態(tài)定價的商品時,消費者更可能會表現(xiàn)出一些策略行為,例如等待合適的價格購買.因此,將本模型應用到針對策略型消費者或是混合型消費者的定價中是個值得進一步研究的問題.

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附錄 引理與定理證明

定理1及引理2證明 首先求解模型(6)的穩(wěn)態(tài)解,即式(6)對求偏導,并使又穩(wěn)態(tài)時故得

求解得

其中kii=2bi+(1?θ)λiλicL[2?(1?α)(1+γ)]+θcGλiλi(1?γ),kij=(1?θ)λiλjcL[2?(1?α)(1+γ)]+θcGλiλj(1?γ),

令r=λTp??(假設3),結合式(9)得

由于式(10)是關于θ的單調減函數(shù),當r∈[q,s]時,存在θ∈[0,1]使得式(10)成立,即r=λTp.則求解得到模型(6)的穩(wěn)態(tài)解即為定理1中的三種情況.

引理2的證明,證明模型(6)的穩(wěn)態(tài)解也是模型(5)的穩(wěn)態(tài)解.

與式(6)相同,即這個策略在模型(5)和模型(6)中有同樣的價值函數(shù),所以p??=p(0,r0)也是式(5)的穩(wěn)態(tài).

3)當mt?1∈(s,],p??=p1,r0時,

定理2證明 1)根據(jù)Smith的定理5[20]可知J(m,p)在(?m,p)具有子模性,因此可得出最優(yōu)價格隨時間單調遞增.當r0s時,有λTpr0,由單調性可知pt單調遞增,所以r0=m0=min(λTp0,λTp1,...,λTp∞).

定理3證明 假設廠商生產兩種產品,其中產品1為核心產品,產品2為非核心產品,廠商的穩(wěn)態(tài)價格為

其中k11=2b1+(1?θ)cL[2?(1?α)(1+γ)]λ12+θcG(1?γ)λ12,k12=k21=(1?θ)cL[2?(1?α)(1+γ)]λ1λ2+ θcG(1?γ)λ1λ2,k22=2b2+(1?θ)cL[2?(1?α)(1+γ)]λ22+θcG(1?γ)λ22.

所以穩(wěn)態(tài)價格是隨cG遞增而遞減的.

由分子

Multi-product dynamic pricing model with reference price submitting to peak-end rule

Bi Wenjie,Sun Yinghui,Tian Liuqing
(Business School of Central South University,Changsha 410083,China)

This paper develops a multi-product dynamic pricing model based on consumers’reference effect and the updating scheme of reference price which meets the peak-end rule.A reasonable upper bound of the value function is built to solve the non-smooth problem of the dynamic programming model.The analytical solution of steady state price is obtained by solving this problem.That the optimal price increases monotonically with time is proved by the super-modularity of the utility function.A numerical example is given to compare this model with the model which only considers one product’s price and the myopic pricing model respectively.The results show that the price of non-core products is higher than that of core products and the price of long-term pricing strategy is higher than that of myopic strategy for each period.

peak-end rule;reference dependence;loss-averse;dynamic pricing

F272.3

A

1000?5781(2015)04?0476?09

10.13383/j.cnki.jse.2015.04.005

2013?12?13;

2014?07?14.

國家自然科學基金資助項目(71371191;71210003;71221061);湖南省社會科學基金資助項目(12YBB272).

畢文杰(1972—),男,湖南常德人,博士,教授,研究方向:行為運籌研究,E-mail:beenjoy@126.com;

孫穎慧(1989—),女,山東濟寧人,碩士,研究方向:動態(tài)定價,E-mail:syhjnr830@163.com;

田柳青(1989—),女,湖北鐘祥人,碩士,研究方向:動態(tài)定價,E-mail:775926546@qq.com.