線性規(guī)化常見題型

代翀

題型一 ?求約束條件的面積

例1 ?若變量[x，y]滿足[x-2y+1≤0，2x-y≥0，x≤1，]則求點[P（2x-y，x+y）]表示的區(qū)域的面積.

分析 ?初看本題有點費解，但經(jīng)過深入分析，點[P（2x-y，x+y）]可以看成[（a，b），]這樣一來就得到[x=a+b3，y=2b-a3，]再代入原不等式組就得到關(guān)于[a，b]的不等式組，這就是點[P]表示的平面區(qū)域.

解 ?聯(lián)立[2x-y=a，x+y=b，]解得[x=a+b3，y=2b-a3.]

代入[x-2y+1≤0，2x-y≥0，x≤1]中得到，

[a-b+1≤0，a≥0，a+b-3≤0.]

不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影所示，其面積為1.

點撥 ?找到點[P（2x-y，x+y）]表示的平面區(qū)域是解題的關(guān)鍵，也是難點. 審題時注意變換角度考慮問題，學(xué)會等價轉(zhuǎn)化，使隱含問題明朗化. 求平面圖形的面積可以借用已知的特殊圖形的面積公式，必要時把不規(guī)則圖形切割成規(guī)則圖形;當(dāng)然也可以利用定積分來求.

題型二 ?求目標(biāo)函數(shù)的最值

例2 ?某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用[A，B]兩種原料. 已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為（ ? ）

[＼&甲＼&乙＼&原料限額＼&A（噸）＼&3＼&2＼&12＼&B（噸）＼&1＼&2＼&8＼&]

A.12萬元 B.16萬元

C.17萬元 ? ? ? ? ? ? D.18萬元

解析 ?設(shè)該企業(yè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為[x，y]噸，則利潤[z=3x+4y].

由題意得，[3x+2y≤12，x+2y≤8，x≥0，y≥0，]其表示如圖陰影部分區(qū)域.

當(dāng)直線[3x+4y-z=0]過點[（2，3）]時，[z]取得最大值，所以[zmax=3×2+4×3=18.]

答案 ?D

點撥 ?這是一個線性規(guī)劃應(yīng)用題. 設(shè)出變量，列出不等式組以及利潤函數(shù)，精準(zhǔn)畫出可行域，找到最優(yōu)解，求出利潤的最大值. 這是解線性規(guī)劃題的常規(guī)流程.

題型三 ?求目標(biāo)函數(shù)或約束條件中的參數(shù)及其范圍

例3 ?設(shè)[z=kx+y，]其中實數(shù)[x，y]滿足[x+y-2≥0，x-2y+4≥0，2x-y-4≤0，]若[z]的最大值為12，則實數(shù)[k=] ? ? .

分析 ?可行域已知，目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)[k]. 由[y=-kx+z]知，直線的縱截距與目標(biāo)函數(shù)[z]一致，此時[k]的正負決定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，故需要討論.

解 ?此不等式表示的平面區(qū)域如下圖所示：[y=-kx+z]，當(dāng)[k>0]時，直線[l0：y=-kx]平移到[A]點時目標(biāo)函數(shù)取最大值，即[4k+4=12，∴k=2.]

當(dāng)[k<0]時，直線[l0：y=-kx]平移到[A或B]點時目標(biāo)函數(shù)取最大值，此時[k]的取值大于零，所以不滿足.

答案 ?2

點撥 ?一般情況下，這類問題都要對參數(shù)進行討論，在不同的情況下，最優(yōu)解不同，“準(zhǔn)縱截距”不同，結(jié)果不同.

題型四 ?線性規(guī)劃在其它數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的綜合問題

例4 ?設(shè)變量[x，y]滿足[x-2+y-2≤1]，則[y-xx+1]的最大值為 ? ? .

分析 ?[x-2+y-2≤1]表示的區(qū)域可以看成是把[x+y≤1]表示的平面區(qū)域經(jīng)過平移得到的，是以（2，2）為中心、邊長為[2]的正方形. 而[y-xx+1]經(jīng)過分離常量成[y-xx+1=y+1x+1-1，][y+1x+1]的幾何意義我們很熟悉.

解 ?如圖，不等式[x-2+y-2≤1]表示的平面區(qū)域為圖中陰影部分，它是由虛線正方形平移得到的.

因為[y-xx+1=y+1x+1-1]，而[y+1x+1]表示可行域內(nèi)的點[（x，y）]與點[A（-1，-1）]連線的斜率.

由圖可以知道，可行域內(nèi)的點[B（1，2）]使[y+1x+1]的值最大，最大值為[32].

所以[y-xx+1]的最大值為[12].

答案 ?[12]

點撥 ?對于線性規(guī)劃與其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的綜合題，一定要認真審題：可行域是怎么構(gòu)成的，畫圖要盡量精準(zhǔn)，目標(biāo)函數(shù)是否具有具體的幾何意義. 如果不清楚，要想辦法等價轉(zhuǎn)化為具有具體的幾何意義的形式.