鐘戰(zhàn)江胡玲君

[摘 要] 分割等腰三角形的問題在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，對(duì)其進(jìn)行研究有利于中考復(fù)習(xí). 本文對(duì)一個(gè)三角形分割成2個(gè)等腰三角形的條件、分法，得出了一些結(jié)論.

[關(guān)鍵詞] 等腰三角形；分割；結(jié)論

引例 浙教版八年級(jí)上P63有這樣一個(gè)探究活動(dòng)：有甲、乙兩個(gè)三角形. 甲三角形的內(nèi)角分別為10°，20°，150°；乙三角形的內(nèi)角分別為80°，25°，75°. 你能把每一個(gè)三角形分成兩個(gè)等腰三角形嗎？畫一畫，并標(biāo)出各角的度數(shù).

類似地，分割等腰三角形的問題在其他省市的中考中也經(jīng)常出現(xiàn)，如2014寧波25題、2008寧波21題等. 對(duì)一個(gè)三角形分割成2個(gè)等腰三角形的條件、分法，我們有以下一些結(jié)論：

引理1 若一個(gè)三角形能被分割成2個(gè)等腰三角形，則分割的必定是三角形的兩個(gè)較大角中的一個(gè)，且分割線過三角形的頂點(diǎn).

引理2 若一個(gè)三角形能被分割成2個(gè)等腰三角形，則這個(gè)三角形必是直角三角形或有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍（稱這個(gè)三角形是2倍角三角形），或有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍（稱這個(gè)三角形是3倍角三角形）.

引理3 分割線形成的一對(duì)鄰補(bǔ)角不能同時(shí)作分割成的2個(gè)等腰三角形的底角.

引理4 若一個(gè)三角形是直角三角形，一般分直角，分割線是斜邊上的中線.

引理5 若一個(gè)三角形是2倍角三角形，且一倍角小于45°，一般分第三個(gè)角. 分割線是它們的公共腰.

引理6 若一個(gè)三角形是3倍角三角形，通常分3倍角. 把3倍角分成1 ∶ 2的兩部分.

特別地，當(dāng)α=22.5°，∠A=90°時(shí)，由引理4，也可分∠A，故22.5°、67.5°、90°的三角形有兩種不同的分法.

除了當(dāng)α=22.5°、∠A=90°時(shí)有兩種不同的分法外，是否還有一些三角形，它可以分割成2個(gè)等腰三角形，并且有2種不同的分法呢（若不同分法中各三角形全等視作同一種分法）？

顯然這樣的三角形必定是直角三角形或2倍角三角形或3倍角三角形.

一、若這個(gè)三角形是直角三角形，由上已知，當(dāng)三個(gè)角分別是22.5°、67.5°、90°時(shí)，有兩種不同的分法.

二、若這個(gè)三角形是2倍角三角形，設(shè)△ABC中∠B=2∠C=2α.

因?yàn)棣?45°，所以第三角為180°-3α>α，由引理1，分割線可以過頂點(diǎn)A或頂點(diǎn)B.

第一種情況：分割線過頂點(diǎn)A，△ADC中底角有2種情況（因?yàn)椤螦DC>∠B>∠C），如圖1、2所示.

如圖1：△ABD中，∠B=∠ADB即為一般分法，此外，

（1）若△ABD中，∠BAD=∠B=2α，則：2α+2α+2α=180°，得α=30°，此時(shí)這個(gè)三角形是30°，60°，90°的三角形，△ABD是等邊三角形，與2倍角三角形一般分法重合，不符合；

（2）若△ABD中，∠BAD=∠ADB=2α，同樣得到30°，60°，90°的三角形，不符合.

如圖2：（3）同理△ABD中，只可∠B=∠BAD，則∠B=∠BAD =2α，得2α+2α=90°-，α=20°，這個(gè)三角形的度數(shù)是20°，40°，120°，符合.

第二種情況：分割線過頂點(diǎn)B，△BDC中底角有3種情況，如圖3、4、5所示.

如圖3：（4）若△ABD中，∠A=∠ABD，則180°-3α=α，得α=45°，由引理4，一倍角小于45°，不符合；

（5）若△ABD中，∠A=∠ADB，則180°-3α=2α，得α=36°，此時(shí)，∠A=∠ABC=72°，△ABC是等腰三角形，過頂點(diǎn)A的分割線與過頂點(diǎn)B的分割線分得的2個(gè)等腰三角形分別全等，不符合；

（6）在△ABD中，∠ABD=∠ADB這種情況顯然不成立.

如圖4：（7）由引理3，∠BDC、∠ADB，不能同時(shí)作為底角，故△ABD中只可∠A=∠ABD，則180°-3α=-90°，得α=°，但α=°>45°，由引理5，不符合.

如圖5：（8）同理，△ABD中只可∠A=∠ABD，則108°-3α=4α-180°，得α=°>45，同樣不符合.

綜上，當(dāng)△ABC是2倍角三角形時(shí)，符合的只有三內(nèi)角為20°，40°，120°的三角形.

三、若這個(gè)三角形是3倍角三角形，設(shè)△ABC中∠ABC=3∠C=3α.

因?yàn)椤螦BC>∠C，由引理1知分割線可以過頂點(diǎn)B. 當(dāng)0°<α≤36°時(shí)，則180°-4α≥α，即△ABC中，∠BAC≥∠C，此時(shí)分割線還可以過頂點(diǎn)A；當(dāng)36°<α<45°時(shí)，則180°-4α<α，即△ABC中，∠A<∠ACB，此時(shí)分割線還可以過頂點(diǎn)C.

第一種情況：分割線過頂點(diǎn)B，此時(shí)△BDC中底角有3種情況，如圖6、7、8所示.

如圖6：△ABD中，∠ABD=∠ADB，即為一般分法，此外，

（1）若△ABD中∠A=∠ABD，則∠A=2α，得2α+2α+2α=180°，得α=30°，此時(shí)△ABC的度數(shù)分別是30°，60°，90°，與3倍角三角形一般分法重合，不符合；

（2）若△ABD中∠A=∠ADB，同樣得30°，60°，90°的三角形，不符合.

如圖7：（3）由引理3，△ABD中只可∠A=∠ABD，則180°-4α=5α-180°，得α=40°，符合，這個(gè)三角形的度數(shù)是40°，120°，20°（但在2倍三角形中已找到）.

如圖8：（4）同理，△ABD中只可∠A=∠ABD，則180°-4α=-90°，得α=36°，此時(shí)△ABC是等腰三角形，過頂點(diǎn)A與過頂點(diǎn)B分得的三角形全等，不符合.

第二種情況：分割線過頂點(diǎn)A（0°<α≤36°），此時(shí)△ADC中底角有2種情況（因?yàn)椤螦DC>∠B>∠C），分別如圖9、10所示.endprint

如圖9：（5）若△ABD中，∠BAD=∠B =3α，則3α+3α+2α=180°，得α=22.5°，則△ABC的度數(shù)為22.5°，67.5°，90°，符合（但在直角三角形中已經(jīng)找到）；

（6）若△ABD中，∠BAD=∠ADB=2α，則3α+2α+2α=180°，得α=°，雖然符合0<α≤36°，但此時(shí)△ABC是等腰三角形，不符合；

（7）在△ABD中，∠ABD=∠ADB這種情況顯然不存在.

如圖10：（8）由引理3，△ABD中只可∠BAD=∠B=3α，則3α+3α=90°-，得α=°，此時(shí)這個(gè)三角形的度數(shù)是：° ，° ，°，符合.

第三種情況：分割線過頂點(diǎn)C（36°<α<45°），此時(shí)△BDC中底角有2種情況（因?yàn)椤螧 >∠ACB>∠DCB），分別如圖11、12所示.

如圖11：（9）由引理3，△ADC中只可∠A=∠ACD，則180°-4α=7α-180°，得α=°<36°，與題設(shè)不符合.

如圖12：（10）同理，△ADC中只可∠A=∠ACD，則180°-4α=-90°，得α=°.

滿足36°<°<45°，此時(shí)這個(gè)三角形的度數(shù)是：°，°，° ，符合（但在（8）中已經(jīng)找到）.

由此，我們找到了符合要求的三角形共有3個(gè)，其內(nèi)角分別是：22.5°，67.5°，90°；20°，40°，120°；°，°，°.

這三種三角形的2 種分法分別如下圖所示：

（1）22.5°，67.5°，90°

（2）20°，40°，120°

（3）°，°，°

那么這些三角形有什么特征呢？

（1） 22.5°，67.5°，90°既是3倍角三角形，又是直角三角形；

（2） 20°，40°，120°既是2倍角三角形，又是3倍角三角形；

（3）°，°，°的角度比1 ∶ 3 ∶ 9，既可以把°看做一倍角，又可以把°看做一倍角.

我們把這些三角形稱為具有雙重性的三角形.通常雙重性三角形有2種不同的分法，但如下雙重性三角形的兩種分法不符合我們的要求：

（1）30°，60°，90°，既是2倍角三角形，也是3倍角三角形，也是直角三角形，但每種分法的分割線重合；

（2）45°，45°，90°，既有2倍角，又是直角三角形，但不滿足2倍三角形中一倍角小于45°；

（3）36°，72°，72°，角度比是1 ∶ 2 ∶ 2，但這是個(gè)等腰三角形，2種分法分得的三角形全等；

（4）36°，36°，108°，角度比是1 ∶ 1 ∶ 3，同樣是等腰三角形；

（5）°，°，°，角度比1 ∶ 3 ∶ 3，同樣是等腰三角形；

（6）°，°，° ，角度比是1 ∶ 2 ∶ 4，但°>45°；

（7）°，°，°，角度比是2 ∶ 3 ∶ 6，但°>45°.

結(jié)論1：如果一個(gè)三角形能分割成2個(gè)等腰三角形而且有2種不同的分法，那么這個(gè)三角形的內(nèi)角度數(shù)必須同時(shí)滿足2倍或3倍或構(gòu)成直角三角形，同時(shí)還要滿足一倍角<45°，而且又不能是等腰三角形.

結(jié)論2：一個(gè)三角形能分割成2個(gè)等腰三角形，且有2種不同分法的只有3種三角形：

22.5°，67.5°，90°；20°，40°，120°；°，°，°，它們具有雙重性.endprint