范衛(wèi)姣　王輔忠　張光璐

（天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院　天津　300387）

濾波器與隨機(jī)共振結(jié)合檢測微弱信號?

范衛(wèi)姣?王輔忠張光璐

（天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院天津300387）

基于雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)及濾波器的不同特性，本文提出了一種將兩者結(jié)合起來檢測微弱周期信號的方法，先用自適應(yīng)前置濾波器對輸入的弱周期信號及噪聲進(jìn)行濾波，再使其通過雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)，進(jìn)而檢測出弱信號。對比只有雙穩(wěn)隨機(jī)共振的系統(tǒng)，仿真結(jié)果表明此時的輸出信號中待測信號頻譜幅度得到了很大的提高，且周圍的干擾信號也得到了明顯的削弱，即兩者的結(jié)合使用可以更好的檢測出微弱信號，這對強(qiáng)噪聲背景下的信號檢測有很強(qiáng)的實用性。

隨機(jī)共振，濾波器，自適應(yīng)，頻譜幅度

1　引言

微弱信號檢測的常規(guī)方法有頻譜分析、相關(guān)檢測、取樣積分、小波分析理論等，這些方法都是通過抑制噪聲來提高信噪比。1981年，意大利學(xué)者Benzi等提出了隨機(jī)共振［1］的概念，之后，隨機(jī)共振在微弱信號檢測方面得到了較大的發(fā)展。與各種抑制噪聲的方法不同，它是充分利用噪聲來增強(qiáng)弱信號能量以提高信噪比，達(dá)到識別弱信號的目的［2］。

雙穩(wěn)系統(tǒng)是研究隨機(jī)共振時常用的一種非線性系統(tǒng)，噪聲通過雙穩(wěn)系統(tǒng)后其能量向低頻區(qū)集中，根據(jù)絕熱近似理論，只有在噪聲能量集中的低頻區(qū)域才能產(chǎn)生隨機(jī)共振主譜峰，高頻區(qū)的噪聲對隨機(jī)共振的發(fā)生貢獻(xiàn)甚微［3］。濾波器能將某些頻率的信號或噪聲濾除，考慮此特點，本文將濾波器與雙穩(wěn)系統(tǒng)結(jié)合起來進(jìn)行弱信號檢測，仿真結(jié)果表明，輸出信號中待測信號頻率處的頻譜幅度有了很大的增長，提高了待測信號的檢測率。

2　隨機(jī)共振檢測的基本原理及模型

隨機(jī)共振是微弱周期信號、噪聲及非線性系統(tǒng)三種基本要素協(xié)同作用下產(chǎn)生的一種非線性動力學(xué)現(xiàn)象，當(dāng)三者達(dá)到某種匹配關(guān)系時，在周期信號頻率處可發(fā)生隨機(jī)共振，從而檢測出微弱信號［4］。朗之萬方程（Langevin）描述的非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)是研究隨機(jī)共振的經(jīng)典模型：

式中，a、b是雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)且a＞ 0，b＞ 0，Asin（2πf0t）是幅度為A、頻率為f0的待測弱周期信號，為高斯白噪聲，D是噪聲強(qiáng)度，且滿足統(tǒng)計平均：

式（1）描述了粒子同時受到弱周期信號和噪聲驅(qū)動時，在雙勢阱中的過阻尼運動［5］。

當(dāng)沒有輸入弱周期信號和噪聲，即A=0，D=0時，非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)可用其勢函數(shù)V（x）=-ax2/2+bx4/4表示，系統(tǒng)有兩個相同的勢阱，阱底位于勢壘高為Δv=a2/4b，最終輸出狀態(tài)將停留在兩個勢阱中的任意一個，取決于系統(tǒng)的初始狀態(tài)；當(dāng)輸入弱周期信號時，雙穩(wěn)系統(tǒng)的平衡被破壞，雙穩(wěn)態(tài)勢曲線發(fā)生周期性傾斜，但只要A處于臨界值A(chǔ)C以下粒子只能在某一側(cè)勢阱內(nèi)以信號頻率進(jìn)行局域的周期運動；然而，當(dāng)系統(tǒng)引入噪聲且噪聲強(qiáng)度為某一合適值時，粒子在兩勢阱間的躍遷速率將與微弱周期信號同步，表現(xiàn)為輸出信號具有良好的周期性，噪聲得到了一定的抑制，輸出信號頻譜在弱周期信號頻率處得到有效的放大。經(jīng)過雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)后，輸出信號頻譜由兩部分組成［5］：

其中S1（f）是由微弱周期信號引起的，與周期信號同頻；S2（f）由噪聲引起，具有洛倫茲分布形式，即頻譜能量向低頻區(qū)域集中［6-7］，因此，能夠產(chǎn)生隨機(jī)共振譜峰的頻帶，將局限在系統(tǒng)輸出的低頻段，所以考慮在經(jīng)過雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)前把一些不必要的高頻噪聲濾除掉。

濾波器的功能是允許一部分頻率的信號順利通過，而另外一部分則受到較大的抑制，因此我們將濾波器加入雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)中，讓前置濾波器先將高頻部分的噪聲過濾，微弱周期信號與噪聲在經(jīng)過雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)時就減少了高頻噪聲的干擾，從輸入端改善信號質(zhì)量，從而進(jìn)一步改善輸出信號，增強(qiáng)系統(tǒng)對微弱信號的檢測能力。

3　濾波器的設(shè)計及參數(shù)選擇

FIR數(shù)字濾波器因具有嚴(yán)格的線性相位、運算穩(wěn)定且速度快［8］，得到了廣泛應(yīng)用，在眾多的設(shè)計方法中，等波紋逼近法為一種最優(yōu)化設(shè)計［9］，其特性如圖1所示：

圖1　等波紋低通濾波器頻譜圖Fig.1　Spectrum diagram of equal-ripple lowpass filter

一個等波紋低通濾波器的參數(shù)包括通帶截止頻率fpass、阻帶截止頻率fstop、通帶最大衰減系數(shù)rp及阻帶最小衰減系數(shù)rs。我們借助Matlab信號處理工具箱，簡單調(diào)用函數(shù)remezord和remez就可以完成線性相位FIR數(shù)字濾波器的等波紋最佳逼近設(shè)計。通帶與阻帶截止頻率的選擇影響著信號的濾波質(zhì)量，所以首先用Matlab程序確定最佳的通帶截止頻率fpass及阻帶截止頻率fstop，流程圖如圖2。

圖2　濾波器最佳參數(shù)選擇流程圖Fig.2　The flow chart of optimal parameter selection

具體步驟如下：

（1）將周期信號與噪聲輸入系統(tǒng)中，根據(jù)待測信號頻率確定濾波器的初始參數(shù)：通帶截止頻率fpass及阻帶截止頻率fstop；

（2）在初始fpass值下以固定步長不斷改變fstop的值，觀察每一組參數(shù)下輸出信號中待測信號頻率處的頻譜幅度，并將最大值及其對應(yīng)的fpass，fstop記錄下來；

（3）以固定步長改變fpass，重復(fù)步驟（2）；

（4）從記錄的一組待測信號頻譜幅度值中找出最大值，此時所對應(yīng)的fpass，fstop就是濾波器的最佳參數(shù)。

4　加濾波器的隨機(jī)共振模型簡介

圖3為添加濾波器后的雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)Simulink模型。Sine Wave產(chǎn)生微弱周期信號，Band-Limited White Noise模塊產(chǎn)生白噪聲，兩者相加后通過Digital Filter Design模塊，它是Matlab信號處理工具箱專用的濾波器設(shè)計分析工具，可以隨時調(diào)整濾波器類型及參數(shù)，濾波結(jié)果實時顯示在圖形區(qū)，有利于濾波器的進(jìn)一步優(yōu)化。將經(jīng)過濾波器以后的信號輸入雙穩(wěn)系統(tǒng)，a、b參數(shù)的值由自適應(yīng)LMS算法算出［10］，輸入到仿真模型中。Math Function產(chǎn)生x的平方項，再經(jīng)過Product模塊，乘以常數(shù)b，形成郎之萬方程中的-bx3項。將-bx3、ax與經(jīng)過濾波器以后的輸入信號經(jīng)過加法器Add1、積分器Integrator，就可得到輸出信號x，在Scope中顯示輸出信號的時域波形，To Workspace模塊把輸出信號的數(shù)據(jù)導(dǎo)出到Workspace中，然后在Matlab中經(jīng)傅里葉變換后畫出輸出信號的頻譜圖。

圖3　加濾波器的隨機(jī)共振系統(tǒng)Simulink仿真模型Fig.3 Simulink model of combination filter with stochastic resonance

我們利用上面提到的Matlab程序計算出濾波器的最佳參數(shù)，然后將其輸入到圖3的Digital Filter Design模塊中，運行Simulink仿真模型，得到輸出信號的頻譜圖，并對其進(jìn)行分析。

5　實驗仿真結(jié)果及分析

選取微弱周期信號的幅度A=0.3，采樣頻率fs=5，噪聲強(qiáng)度D=0.8，并以系統(tǒng)輸出的信噪比為衡量標(biāo)準(zhǔn)，用LMS算法對雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行最優(yōu)化處理［10］，可得到系統(tǒng)的參數(shù)為a=0.69，b=0.6時輸出信號的信噪比最大，故以此值作為雙穩(wěn)系統(tǒng)的參數(shù)，讓頻率為f0=0.005，0.01，0.015，0.025 Hz的周期信號分別通過低通濾波器與雙穩(wěn)系統(tǒng)組成的復(fù)合系統(tǒng)，得到了對應(yīng)低通濾波器的fpass， fstop最優(yōu)參數(shù)列表，如表1所示。

我們以f0=0.005 Hz為例，將a=0.69，b=0.6，fpass=0.021 Hz，fstop=0.098 Hz輸入到圖3所示的仿真系統(tǒng)中，觀察此頻率下的周期信號加噪聲通過復(fù)合系統(tǒng)后的頻譜變化情況。

圖4為三種輸出信號的時域及頻域圖，從圖4（c）可以看出，當(dāng)周期信號與噪聲通過低通濾波器與雙穩(wěn)系統(tǒng)的復(fù)合系統(tǒng)后，可看出明顯的周期性，且此時的輸出信號邊緣較為光滑，圖4（f）為對應(yīng)的輸出信號頻譜圖，從圖4（f）中可以看出，在待測信號頻率f0=0.004999 Hz處出現(xiàn)了明顯的譜峰，幅度為y=2659，比只經(jīng)過雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)時增加了約137%，而且此時的頻譜圖高頻部分的干擾信號明顯減少。由此可見，在雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)中加入濾波器的復(fù)合系統(tǒng)，可大大提高系統(tǒng)檢測微弱信號的能力。下面再從輸入噪聲頻率分布的角度進(jìn)行分析。

表1　不同信號頻率下濾波器的最佳參數(shù)Table 1 Optimal parameter for different signal frequency

圖4　時域圖（a）、（b）、（c）；頻域圖（d）、（e）、（f）Fig.4 Time-domain（a）（b）（c）；Frequency-domain（d）（e）（f）

圖5為D=0.8的白噪聲在不同情況下的頻譜分布，從圖5（c）可以看出，白噪聲經(jīng)過低通濾波器后，高頻部分的能量被濾除，圖5（d）為通過低通濾波器加雙穩(wěn)系統(tǒng)的復(fù)合系統(tǒng)后的頻譜分布，此時的噪聲能量更加集中在低頻區(qū)，且低頻成分的能量值相對于圖5（b）有了很大的增加，待測信號頻率周圍的噪聲能量大大增加，所以能更好的激勵出隨機(jī)共振現(xiàn)象，表現(xiàn)為輸出信號中待測信號頻率處的幅度提高。

從表1中觀察發(fā)現(xiàn)，周期信號與噪聲通過復(fù)合系統(tǒng)后，待測信號頻率處的頻譜幅度比只有雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)時有所提高，但隨著周期信號頻率的增大，其增加幅度逐漸變小。這是因為當(dāng)周期信號頻率較大時，噪聲能量依然處在低頻區(qū)，待測信號頻率周圍可利用的噪聲較少，所以頻譜幅度的增加不如低頻信號時明顯。以f0=0.025 Hz為例，觀察噪聲在表1參數(shù)條件下通過低通濾波器與雙穩(wěn)系統(tǒng)的復(fù)合系統(tǒng)后的頻譜分布，如圖6所示。

圖5　D=0.8的白噪聲在不同情況下的頻譜分布Fig.5 The white noise spectrum distribution at different circumstances for D=0.8

圖6　經(jīng)過低通濾波器與雙穩(wěn)系統(tǒng)的復(fù)合系統(tǒng)后的頻譜分布Fig.6 Frequency spectrum distribution after low-pass filter with bistable system

從圖6（a）可以看出，噪聲通過此復(fù)合系統(tǒng)后，頻譜能量主要集中在0～0.02 Hz之間，圖6（b）為f0=0.025 Hz的周期信號與噪聲通過此復(fù)合系統(tǒng)后的輸出信號頻譜圖，在待測信號頻率處可以看到明顯的譜峰，其值為y=1635。與只經(jīng)過雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)相比，幅值增加了15%，增加幅度較小，且低頻處有明顯的干擾信號。我們考慮用帶通濾波器代替低通濾波器，先將一部分低頻噪聲濾除，再經(jīng)過雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)后，低頻區(qū)的噪聲能量會有很大的減少。設(shè)置帶通濾波器的參數(shù)如下：fs=5，fstop1=0.005，fpass1=0.025，fpass2=0.3，fstop2=0.32，則噪聲通過此帶通濾波器跟雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)的復(fù)合系統(tǒng)后，其輸出頻譜如圖7所示。

圖7　經(jīng)過帶通濾波器與雙穩(wěn)系統(tǒng)的復(fù)合系統(tǒng)后的頻譜分布Fig.7 Frequency spectrum distribution after band-pass filter with bistable system

圖7（a）為噪聲通過帶通濾波器與雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)的輸出頻譜，與圖6（a）對比可以發(fā)現(xiàn)，加帶通濾波器后，低頻區(qū)的噪聲能量得到了明顯的削弱，依然將f0=0.025 Hz的周期信號與噪聲輸入新的復(fù)合系統(tǒng)，得到輸出信號的頻譜圖7（b），從圖中可以看出，待測信號的頻譜幅度為1825，比低通濾波器時增加了11%，比只有雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)時增加了29%。即信號頻率較高時，加帶通濾波器比低通濾波器能得到更明顯的效果，這是因為加帶通濾波器后減少了低頻區(qū)的噪聲能量，對在待測信號頻率處發(fā)生隨機(jī)共振的干擾也就減小，進(jìn)而增大了待測信號的頻譜幅度。說明發(fā)生隨機(jī)共振時待測信號只能利用其周圍較窄頻率內(nèi)的噪聲能量，當(dāng)信號頻率較大時，噪聲依然處在低頻區(qū)，信號頻率周圍可利用的噪聲較少，所以發(fā)生隨機(jī)共振的現(xiàn)象不如低頻時明顯。

6　結(jié)論

本文充分考慮濾波器及雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)的特性，提出了一種將兩者結(jié)合起來檢測微弱信號的方法。仿真結(jié)果表明：

（1）當(dāng)信號頻率低于0.02 Hz時，采用低通濾波器可減少高頻噪聲的干擾，待測信號頻譜幅度比只有雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)時可提高30%～140%左右；

（2）當(dāng)信號頻率高于0.02 Hz時，帶通濾波器能更好的實現(xiàn)弱信號的檢測，以f0=0.025 Hz為例，將帶通濾波器與雙穩(wěn)隨機(jī)共振結(jié)合起來，待測信號頻譜幅度比只有雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)時提高了30%；

（3）發(fā)生隨機(jī)共振時，待測信號只能利用周圍較窄頻率內(nèi)的噪聲能量，當(dāng)信號頻率較高時，低頻噪聲會影響隨機(jī)共振的效果，削弱低頻噪聲能量，可以提高待測信號頻率處的頻譜幅度。

由此可見，將濾波器與雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)相結(jié)合，通過適當(dāng)選擇濾波器的類型，自適應(yīng)調(diào)節(jié)其參數(shù)，可大大改善待測信號的頻譜幅度，這就提高了系統(tǒng)檢測微弱信號的能力，可用于強(qiáng)噪聲背景中的弱信號檢測。但此方法目前只適用單個的低頻周期信號，當(dāng)信號頻率較高時，隨機(jī)共振的效果不如低頻時明顯；當(dāng)有多個周期信號輸入時，濾波器參數(shù)的自適應(yīng)將會增加難度，需要進(jìn)一步的研究驗證。

［1］BENZI R，PARISI G，STUEM A.A theory of stochastic resonance in climatic change［J］.SIAM Journal on Applied Mathematics，1983，43（3）：565-578.

［2］HARI V N，ANAND G V，PREMKUMAR A B.Stochastic resonance phenomenon in an underdamped bistable system driven by weak asymmetric dichotomous noise［J］. Signal Processing，2012，92：1745-1757.

［3］孟玲玲，劉小娜.不同類型噪聲作用下的隨機(jī)共振［J］.真空電子技術(shù)，2011，（5）：28-31. MENG Lingling，LIU Xiaona.Different kinds of noise under the action of stochastic resonance［J］.Vacuum Electronics，2011，（5）：28-31.

［4］LONG F，WEI G，MEI D C.Stochastic resonance induced by bounded noise and periodic signal in an asymmetric bistable system［J］.Physica A，2012，391（22）：5305-5310.

［5］夏均忠，劉遠(yuǎn)宏，馬宗坡.基于調(diào)制隨機(jī)共振的微弱信號檢測研究［J］.振動與沖擊，2012，31（3）：132-135. XIA Junzhong，LIU Yuanhong，MA Zongpo.Research of weak signal detection basing on modulated stochastic resonance［J］.Vibration and Shock，2012，31（3）：132-135.

［6］岳建海，曾凡仔，裘正定.雙穩(wěn)系統(tǒng)噪聲特性的分析與弱信號檢測的研究［J］.計量學(xué)報，2005，26（1）：60-65. YUE Jianhai，ZENG Fanzi，QIU Zhengding.Analyis of the characteristics of the bistable system noise and research of weak signal detection［J］.Acta Metrologica Sinica，2005，26（1）：60-65.

［7］LENG Y G，WANG T Y，GUO Y.Engineering signal processing based on bistable stochastic resonance［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2007，21：138-150.

［8］韋鵬.基于Matlab窗函數(shù)法輔助設(shè)計FIR濾波器［J］.電腦知識與技術(shù)，2012，8（18）：4564-4566. WEI Peng.Designing FIR filter based on Matlab window function method［J］.Computer knowledge and technology，2012，8（18）：4564-4566.

［9］陶國彬，張秀艷，任玉霞.FIR濾波器的等波紋最優(yōu)化設(shè)計［J］.大慶石油學(xué)院學(xué)報，2007，31（6）：105-107. TAO Guobin，ZHANG Xiuyan，REN Yuxia.Equiripple optimal design of FIR filter［J］.Journal of Daqing Petroleum Institute，2007，31（6）：105-107.

［10］GAO Y X，WANG F Z.Adaptive cascaded-bistable stochastic resonance system research and design［J］.Computational and Theoretical Nanoscience，2013，10：1-5.

Detecting weak signals by combining stochastic resonance with filter

FAN WeijiaoWANG FuzhongZHANG Guanglu
（College of Science，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China）

Making full use of the characteristics of stochastic resonance and filter，an adaptive system to detect weak signals by combining them is designed in this paper.An adaptive pre-filter is used to first filter input signals and noise，and then make them pass the bistable SR system.The simulation results show that the spectrum amplitude of output signal has been greatly improved compared with the one that only has filter or bistable SR system.This indicates the combination of the two can well detect the weak signals，so it is practicability for detecting the weak signals embedded in strong noise.

Stochastic resonance，F(xiàn)ilter，Self-adaptation，Spectrum amplitude

O324

A

1000-310X（2015）02-0169-06

10.11684/j.issn.1000-310X.2015.02.013

2014-05-30收稿；2014-08-26定稿

?國家自然科學(xué)基金項目（61271011）

范衛(wèi)姣（1988-），女，碩士研究生，研究方向：微弱信號檢測。

E-mail：fanweijiao1988@163.com