弱耦合三種群反應(yīng)擴(kuò)散模型的全局漸近穩(wěn)定性

吳楚芬

（佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院信息科學(xué)與數(shù)學(xué)系，佛山528000）

弱耦合三種群反應(yīng)擴(kuò)散模型的全局漸近穩(wěn)定性

吳楚芬*

（佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院信息科學(xué)與數(shù)學(xué)系，佛山528000）

近年來，隨著入侵種的增加，多種群的反應(yīng)擴(kuò)散模型開始應(yīng)用于入侵生態(tài)理論的研究.多種群的反應(yīng)擴(kuò)散模型可將空間、種群間相互作用過程融合進(jìn)入侵速率的預(yù)測(cè)之中，且模型中連續(xù)參數(shù)的使用不受尺度限制，適用空間尺度較廣.該文研究了一類非線性三種群弱耦合食餌-捕食者反應(yīng)擴(kuò)散模型的初邊值問題，通過構(gòu)造合適的常數(shù)上下解以及相應(yīng)的迭代方式，得到了該系統(tǒng)在齊次Neumann邊值條件下平凡解和非負(fù)半平凡解的全局漸近穩(wěn)定性的充分性條件.所得結(jié)果揭示了通過控制種群自身的出生率、種間、種內(nèi)相互作用率來達(dá)到某些種群消失、某些種群持續(xù)生存的現(xiàn)象.這些穩(wěn)定性條件易于驗(yàn)證且與擴(kuò)散系數(shù)無關(guān)，因此，該結(jié)論也適用于某個(gè)di=0或所有di=0的相應(yīng)的拋物-常微分系統(tǒng).

三種群；反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)；非負(fù)半平凡解；全局漸近穩(wěn)定性

生物入侵的機(jī)理與控制是當(dāng)前生態(tài)學(xué)關(guān)注的重點(diǎn)和研究的熱點(diǎn)問題.外來物種由于自然因素或人為原因被引入新的生境，隨后建群、擴(kuò)散并入侵本土物種，造成本地物種絕滅、生物多樣性喪失.基于數(shù)學(xué)生物學(xué)的角度，構(gòu)建合適的數(shù)學(xué)模型，對(duì)模型進(jìn)行定性與定量的分析，不僅有助于解釋自然界的一些復(fù)雜現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)入侵問題的機(jī)制，而且有利于實(shí)現(xiàn)生態(tài)入侵過程中的預(yù)測(cè)與控制［1］.近年來，隨著入侵種的增加，多種群的反應(yīng)擴(kuò)散模型開始應(yīng)用于入侵生態(tài)理論的研究.這些模型可將空間因素、種群間相互作用過程結(jié)合進(jìn)簡(jiǎn)單的預(yù)測(cè)框架，并對(duì)個(gè)體模擬元素的空間位置進(jìn)行跟蹤，使模型的預(yù)測(cè)可與地域聯(lián)系起來進(jìn)行更深入的研究［2］.為了模擬2類外來物種入侵本地物種，Kim與Lin［3］提出了一類非線性三種群弱耦合食餌——捕食者反應(yīng)擴(kuò)散模型:

其中QT=（0，T）×Ω，ST=（0，T）×?Ω，0＜T≤+∞，Ω為N中的有界區(qū)域，其邊界?Ω光滑，?/?n為邊界?Ω上的單位外法向量.在系統(tǒng)（1）中，ui（t，x）表示在t時(shí)刻處于x位置第i個(gè)種群的空間密度，di≥0表示第i個(gè)種群的擴(kuò)散速率，ai＞0表示第i個(gè)種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率或死亡率，bii表示種內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)系數(shù)，b12、b21表示種群1、2之間的捕食關(guān)系，b23、b32表示種群2、3之間的捕食關(guān)系，b13、b31表示種群1、3之間的競(jìng)爭(zhēng)系數(shù)，bij≥0（i，j=1，2，3）.齊次Neumann邊值條件指3類種群在邊界上沒有遷移.在系統(tǒng)（1）中，種群2與種群3為入侵種，種群3是比種群2更具有競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)的外來物種，它捕食種群2但與種群1競(jìng)爭(zhēng)當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)資源；種群2捕食種群1.

若b13=0、b31=0且考慮時(shí)滯對(duì)種群動(dòng)力學(xué)行為的影響，則系統(tǒng)（1）變?yōu)?

2004年，林支桂［4］應(yīng)用上下解方法結(jié)合迭代技巧，研究了系統(tǒng)（2）解的漸近行為；Chen與Wang［5］通過改造上下解，減弱對(duì)初始函數(shù)的限制，得到了類似的結(jié)論.2007年，Wang［6］進(jìn)一步構(gòu)造新的上下解，完整地得到了系統(tǒng)（2）在不同參數(shù)下解的漸近行為.對(duì)于完整系統(tǒng)（1），即bij＞0（i，j=1，2，3），Kim與Lin［3］利用Harnack不等式、解的先驗(yàn)估計(jì)結(jié)合Liapunov函數(shù)法研究了其正平衡態(tài)的存在唯一性.但關(guān)于完整系統(tǒng)（1）其平凡解（0，0，0）和非負(fù)半平凡解的全局漸近性態(tài)，據(jù)作者所知，尚未有文獻(xiàn)報(bào)道.其實(shí)，隨著自然界資源被過度開發(fā)以及外來物種的入侵，越來越多的物種走向滅絕，而穩(wěn)定的平凡解（0，0，0）或穩(wěn)定的非負(fù)半平凡解對(duì)應(yīng)的生態(tài)學(xué)含義恰恰表示所有種群或某些種群最終絕滅.

本文利用構(gòu)造合適的常數(shù)上下解以及結(jié)合混擬單調(diào)拋物系統(tǒng)解的一般理論［7］，研究完整系統(tǒng)（1）在不同參數(shù)下平凡解和非負(fù)半平凡解的全局漸近穩(wěn)定性條件，進(jìn)而提供調(diào)控生物入侵的若干數(shù)學(xué)理論依據(jù).這些穩(wěn)定性條件與擴(kuò)散系數(shù)無關(guān)，因此，本文的結(jié)論也適用于某個(gè)di=0或所有di=0的相應(yīng)的拋物-常微分系統(tǒng).

1　預(yù)備知識(shí)

下設(shè)bij＞0（i，j=1，2，3）.顯然，系統(tǒng)（1）與下述系統(tǒng)等價(jià):

令w1=a11u1，w2=a12u2，w3=a13u3，則系統(tǒng)（3）可化為:

則系統(tǒng)（4）存在一個(gè)正平衡態(tài)（w*1，w*2，w*3），其中

為簡(jiǎn)單起見，令

首先引入系統(tǒng)（4）上下解的定義:

其中κ1=r1（21+2+3），κ2=r2（1+2α22+α33）及κ3=r3（1+β11+2β33）.根據(jù)文獻(xiàn)［7］的定理

4.2，易證如下3個(gè)引理:

引理3設(shè)引理2的條件滿足，w（t，x）為系統(tǒng)（4）相應(yīng)于任一非負(fù)初值函數(shù)η（x）的一個(gè)解.若 c*=*且存在t0≥0使得，則limt→∞w（t，x）=cˉ*在Ω一致成立.

下述定理表明系統(tǒng)（1）解的最大存在區(qū)間T= +∞.

定理1對(duì)于任意非負(fù)的初值函數(shù)（η1，η2，η3），系統(tǒng)（4）存在唯一的全局解（w1，w2，w3）滿足0≤wi（t，x）≤Mi，對(duì)所有的（t，x）［0，∞）×成立，其中（i=1，2，3），m1=1， m2=α1/α2，m3=（α1β2）/（α2β3）.

證明注意到正常向量（M1，M2，M3）和零向量（0，0，0）為系統(tǒng)（4）的一對(duì)耦合上下解.由引理1，結(jié)論成立.證畢.□

2　主要結(jié)果

定理2設(shè)（w1（t，x），w2（t，x），w3（t，x））為系統(tǒng)（4）相應(yīng)于任一非負(fù)初值函數(shù)（η1（x），η2（x），η3（x））的唯一解，則如下結(jié)論成立:

（a）若η1（x）≡0，，則當(dāng)t→∞時(shí)，有（w1（t，x），w2（t，x），w3（t，x））→（0，0，0）在一致成立.

（b）若η2（x）≡0，η1（x）?0，?x，則當(dāng)t→∞時(shí)，有（w1（t，x），w2（t，x），w3（t，x））→（1，0，0）在一致成立.

（c）若η3（x）≡0，η1（x）?0，η2（x）?0，?x且α1≤1，則當(dāng)t→∞時(shí)，恒有（w1（t，x），w2（t，x），w3（t，x））→（1，0，0）在一致成立.

（d）若η1（x）?0，η2（x）?0，η3（x）?0，?x且α1≤1，則當(dāng)t→∞時(shí)，恒有（w1（t，x），w2（t，x），w3（t，x））→（1，0，0）在一致成立.

（e）若η3（x）≡0，η1（x）?0，η2（x）?0，?x且α2＞α1＞1，則當(dāng)t→∞時(shí)，有（w1（t，x），w2（t，x），w3（t，x））→在一致成立.

（f）若η1（x）?0，η2（x）?0，η3（x）?0，?x，α2＞α1＞1且α2+β2＞α1β2，則當(dāng)t→∞時(shí)，有（w1（t，x），w2（t，x），w3（t，x））→0）在一致成立.

（g）若η1（x）?0，η2（x）?0，η3（x）?0，?x，α1＞1，α2+β2≤α1β2≤α2β1+α1+β1+α2+β2且α2（β3-β1）＞α1（β3+β2）+α3（β1+β2），則當(dāng)t→∞時(shí)，有（w1（t，x），w2（t，x），w3（t，x））→，0）在一致成立.

證明（a）若η1（x）≡0，?xΩ，則由解的存在唯一性，知w1（t，x）≡0，?（t，x）（0，∞）×Ω.此時(shí)，系統(tǒng)（4）可約化為，則易證（ρe-γt，ρe-γtβ2/β3）和（0，0）為系統(tǒng)（4）的一對(duì)耦合上下解.由引理1，有（0，0）≤（w2（t，x），w3（t，x））≤（ρe-γt，ρe-γtβ2/β3）.令t→∞，則（w1（t，x），w2（t，x），w3（t，x））→（0，0， 0）在一致成立.

記γ=min｛r2，r3｝及

（b）若η2（x）≡0，?x，則w2（t，x）≡0，?（t，x）（0，∞）×Ω.另一方面，η1（x）?0，?x，由強(qiáng)極值原理知w1（t，x）＞0，?（t，x）（0，∞）×Ω.故系統(tǒng)（4）可約化為

由比較原理，有

其中U1滿足下述初邊值問題

由于η1（x）?0，?x，故當(dāng)t→∞時(shí)，有U1（t，x）→1.因此，對(duì)?ε1＞0，存在t1＞0，使得w1（t，x）≤1+ε1，?（t，x）［t1，∞）×.

及

（c）證明過程與情形（b）類似，故省略之.

注意到α1≤1，知

故式（6）成立.由情形（b）的證明過程，知存在t1＞ 0使得

由上述估計(jì)式且注意到α1≤1，有

將上述估計(jì)式應(yīng)用到系統(tǒng)（4）的第3個(gè)方程，有

由于-1+β22＜0，故存在t3＞t2使得

將w2，w3的估計(jì)式應(yīng)用到系統(tǒng)（4）的第1個(gè)方程，有

（e）證明過程與情形（d）類似，故省略之.

（f）令

易證式（6）成立.類似于情形（d）的證明過程，知存在t5＞0使得

這表明式（6）滿足.類似于情形（d）的證明步驟，知及式（7）～（12）成立.注意到，若，則式（7）～（12）可約化為

對(duì)上式求解，得

注1在定理2中，平凡解與非負(fù)半平凡解的全局漸近穩(wěn)定性條件不依賴于各個(gè)種群的擴(kuò)散率，因此，定理2的結(jié)論同樣適用于某個(gè)di=0或所有di=0的拋物-常微分系統(tǒng).

注2由定理2知，若本土物種u1的初始密度不恒為零，則有下述暗示:

（1）只有與u1構(gòu)成競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的單個(gè)外來物種u3入侵，則u3絕滅，u1持續(xù)生存；

（2）只有與u1構(gòu)成捕食關(guān)系但捕食率足夠小的單個(gè)外來物種u2入侵，則u2絕滅，u1持續(xù)生存；

（3）若u2與u3同時(shí)入侵u1，u3僅靠捕食u2存活，u2僅靠捕食u1存活且捕食率足夠小，則u2與u3絕滅，u1持續(xù)生存；

（4）只有與u1構(gòu)成捕食關(guān)系的單個(gè)外來物種u2入侵，捕食率無需足夠小但小于u2的種內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)率，則u2與u1均持續(xù)生存；

（5）若u2與u3同時(shí)入侵u1，u3的種內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)率足夠大但對(duì)u2的捕食率不大，u2對(duì)u1的捕食率小于u2的種內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)率，則u3絕滅，u2與u1持續(xù)生存.

［1］王勤龍，李百煉.生物入侵模型研究進(jìn)展［J］.科技導(dǎo)報(bào)，2011，29（10）:71-79. Wang Q L，Li B L.Progress in modeling biological invasion［J］.Science，Technology&Review，2011，29（10）:71-79.

［2］張林艷，葉萬輝，江洪.利用反應(yīng)-擴(kuò)散模型預(yù)測(cè)生物入侵［J］.生態(tài)環(huán)境學(xué)報(bào)，2009，18（4）:1565-1572. Zhang L Y，Ye W H，Jiang H.The application of biological invasion prediction-illustrated reaction-diffusion model［J］.Ecology and Environmental Sciences，2009，18（4）:1565-1572.

［3］Kim K I，Lin Z G.Coexistence in the three species predator-prey model with diffusion［J］.Applied Mathematics and Computation，2003，145:701-716.

［4］林支桂.三種群捕食-被捕食模型中具時(shí)滯的拋物系統(tǒng)［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2004，47:559-568. Lin Z G.Time delayed parabolic system in the three species predator-prey model［J］.Acta Mathematica Sinica，2004，47:559-568.

［5］Chen Y L，Wang M X.Asymptotic behavior of solutions of a three-species predator-prey model with diffusion and time delays［J］.Applied Mathematics Letters，2004，17: 1403-1408.

［6］Wang Y M.Asymptotic behavior of solutions for a class of predator-prey reaction-diffusion systems with time delays［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2007，328:137-150.

［7］Pao C V.Global asymptotic stability of Lotka-Volterra 3-species reaction-diffusion systems with time delays［J］. Journal ofMathematicalAnalysisandApplications，2003，281:186-204.

【中文責(zé)編：莊曉瓊英文責(zé)編：肖菁】

Global Asymptotic Stability of a Weakly-Coupled Reaction Diffusion System in the Three-Species Model

Wu Chufen*
（Department of Mathematics，F(xiàn)oshan University，F(xiàn)oshan 528000，China）

Recently，with the increase of the invasive species，multi-group reaction diffusion model has been used in invasion ecology theory.The multi-group reaction diffusion model can combines the spatial and population process within the prediction of invasion rate，also the use of continuous parameters in the model made it free to broad spatial scale.This paper is concerned with the initial boundary value problem of a weakly-coupled prey-predator reaction diffusion model.By using the method of upper and lower solutions as well as iteration，sufficient condition are obtained for the global asymptotic stability of the trivial solution and the nonnegative semitrivial solutions with the homogeneous Neumann boundary condition.The results reveal by means of controlling the birth rate，interspecific，intraspecific interaction rate of populations to achieve the goal of certain population disappearance or certain population persistence.These conditions are easy to check and independent of the diffusion rates and thus the conclusions are also appropriate for the corresponding parabolic-ordinary differential system（di=0 for some or all i）.

three species；reaction diffusion system；nonnegative semitrivial solution；global asymptotic stability

O175.21；O175.26

A

1000-5463（2015）03-0142-06

2014-12-31《華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）》網(wǎng)址:http://journal.scnu.edu.cn/n

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11326123，11401096）；佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院優(yōu)秀青年人才培育項(xiàng)目

吳楚芬，講師，Email:chufenwu@126.com.