解迎春

[摘 要]

基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對數(shù)學(xué)基本思想的目標(biāo)要求和目前小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀，經(jīng)課題研究，提出小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)基本思想建構(gòu)策略：通過“整合教材知識體系”“合理設(shè)計數(shù)學(xué)活動”“摸清學(xué)生思維水平”“設(shè)計合適的應(yīng)用情境”建立數(shù)學(xué)基本思想的建構(gòu)途徑。通過“知識起始課——主要凸顯數(shù)學(xué)抽象思想”“遷移發(fā)展課——主要凸顯數(shù)學(xué)推理思想”“模型應(yīng)用課——主要凸顯數(shù)學(xué)模型思想”建立小學(xué)數(shù)學(xué)“三種課型”數(shù)學(xué)基本思想的建構(gòu)策略。

[關(guān)鍵詞]

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué);數(shù)學(xué)基本思想;建構(gòu)策略

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在總目標(biāo)中明確提出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗?！边@標(biāo)志著我國基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程目標(biāo)從重視“雙基”發(fā)展為重視“四基”。數(shù)學(xué)思想作為數(shù)學(xué)重要課程目標(biāo)，應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程。那么，如何在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)思想建構(gòu)是亟需解決的問題。筆者于2014年主持了遼寧省青年科研骨干專項重點課題——“小學(xué)數(shù)學(xué)思想教學(xué)的缺失調(diào)查及對策研究”，近一年的探究與實驗，取得了一些階段性的成果，本文將結(jié)合具體課例談?wù)勓芯克谩?/p>

一、數(shù)學(xué)基本思想的建構(gòu)途徑

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確提出了學(xué)生要獲得數(shù)學(xué)基本思想的目標(biāo)，但沒有給出具體的實現(xiàn)途徑，可查找文獻(xiàn)資料也沒有具體可感的途徑方法。我們課題組追根溯源，在影響學(xué)生數(shù)學(xué)基本思想形成的因素中找到了最重要的幾個影響因素，即“教材”“數(shù)學(xué)活動”“學(xué)生思維特點”“應(yīng)用情境”四個因素，力圖揭示數(shù)學(xué)基本思想的建構(gòu)途徑。

（一）整合教材知識體系，建構(gòu)完整的數(shù)學(xué)基本思想系統(tǒng)

現(xiàn)有的各個版本的教材都是按照知識、技能螺旋式上升的特點進(jìn)行編排，而沒有系統(tǒng)地將數(shù)學(xué)的基本思想進(jìn)行分類、分級，數(shù)學(xué)思想與知識、技能的編排不相匹配。這就要求教師從建構(gòu)數(shù)學(xué)基本思想的角度，對教材知識進(jìn)行合理整合和教學(xué)設(shè)計。

1.系統(tǒng)整合

要打破孤立地設(shè)計“一節(jié)課”的弊端，把教學(xué)設(shè)計的起點變?yōu)椤耙活愓n”或“一單元課”。例如，把三年級上冊“一位數(shù)乘兩三位數(shù)的筆算乘法”、三年級下冊“兩位數(shù)乘兩三位數(shù)的筆算乘法”和四年級上冊“三位數(shù)乘兩三位數(shù)的筆算乘法”系統(tǒng)整合為“筆算整數(shù)乘法”這一類課?！耙晃粩?shù)乘兩三位數(shù)的筆算乘法”是這一類課的首課，設(shè)計要凸顯數(shù)學(xué)抽象思想?！皟晌粩?shù)乘兩三位數(shù)的筆算乘法”是后續(xù)課，設(shè)計要凸顯推理思想?！叭粩?shù)乘兩三位數(shù)的筆算乘法”是最后一課，設(shè)計要凸顯模型思想。在這三節(jié)課中，數(shù)學(xué)基本思想在抽象思想、推理思想和模型思想的認(rèn)識中得到提升。

2.局部整合

在使用教材中，還要注意從知識形成的角度出發(fā)，研究數(shù)學(xué)基本思想的完整生發(fā)過程，并對知識進(jìn)行合理的統(tǒng)整。例如，北師大版四年級上冊“相交和垂直”“平移和平行”是“線與角”單元的其中兩節(jié)課。表面上看，這是要通過這兩節(jié)課揭示“垂直”與“平行”的本質(zhì)涵義。其實從知識形成的角度看，這是研究同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系時，分類研究產(chǎn)生的研究結(jié)果，兩部分內(nèi)容不宜分開。因此，在教學(xué)設(shè)計時，要把兩節(jié)內(nèi)容統(tǒng)整為一節(jié)比較合適。

這樣，基于系統(tǒng)和局部整合的設(shè)計，能幫助學(xué)生形成本學(xué)科特有的系統(tǒng)的思維方式方法。

（二）合理設(shè)計數(shù)學(xué)活動，在活動中凸顯數(shù)學(xué)基本思想

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要以凸顯數(shù)學(xué)基本思想為主線，合理設(shè)計數(shù)學(xué)活動，在活動中收獲體驗，在體驗中完成對數(shù)學(xué)基本思想的建構(gòu)。下面以“垂直與平行”這一課為例進(jìn)行說明。在這課中，教師在探究環(huán)節(jié)設(shè)計了以下兩個數(shù)學(xué)活動。

活動一：學(xué)生動手畫圖，在紙上任意畫出兩條直線的位置圖。

活動二：學(xué)生交流討論，給畫出的多組位置圖分類，并說說分類的依據(jù)。

在兩個精心設(shè)計的數(shù)學(xué)活動中，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“對比觀察位置關(guān)系——討論分類標(biāo)準(zhǔn)——交流分類結(jié)果——抽象概括數(shù)學(xué)概念”的過程，積累了分類的經(jīng)驗，歸納的經(jīng)驗，抽象的經(jīng)驗。學(xué)生經(jīng)歷了揭示概念本質(zhì)的過程，在活動經(jīng)驗中感悟了抽象思想。

（三）及時摸清學(xué)生思維水平，選擇合適的載體強(qiáng)化數(shù)學(xué)基本思想

在學(xué)生特定的思維水平下，只能形成與之相適應(yīng)的數(shù)學(xué)基本思想的理解和感悟能力。因此，摸清學(xué)生思維水平，選擇合適的載體強(qiáng)化數(shù)學(xué)基本思想才是關(guān)鍵。

在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)推理思想下位的轉(zhuǎn)化思想對學(xué)生并不陌生，在很多問題的解決中都運(yùn)用了這一思想。但對于這一思想的認(rèn)識確實要經(jīng)歷一個過程才能逐漸形成。下面以北師大版數(shù)學(xué)五年級上冊《多邊形的面積》為例來詳細(xì)解析這一過程。平行四邊形的面積是多邊形面積的起始課，這一課可以根據(jù)學(xué)生的經(jīng)驗積累，引導(dǎo)學(xué)生初步感受“轉(zhuǎn)化的方向、方法、原則、轉(zhuǎn)化前后聯(lián)系”之轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)涵。三角形面積是平行四邊形面積的后續(xù)課，這一課教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步感受轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)涵，體會多樣化的轉(zhuǎn)化方法。梯形面積是此單元的最后一節(jié)課，這節(jié)課可以在前兩節(jié)課積累的多種轉(zhuǎn)化經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，大膽讓學(xué)生自我探究，找到解決問題的辦法。三節(jié)課中，依據(jù)學(xué)生的經(jīng)驗特點，由淺到深構(gòu)建了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想，學(xué)生對轉(zhuǎn)化思想本質(zhì)的理解也在三節(jié)課中逐漸完善，數(shù)學(xué)推理思想也在轉(zhuǎn)化思想的不斷深化中有了提升。

（四）設(shè)計合適的應(yīng)用情境，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)基本思想的能力

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中建構(gòu)數(shù)學(xué)基本思想的目的，在于提高學(xué)生體悟數(shù)學(xué)基本思想的能力，進(jìn)而最終運(yùn)用數(shù)學(xué)基本思想解決實際問題。因此，教師要善于設(shè)計合適的應(yīng)用情境，引導(dǎo)學(xué)生深刻感悟數(shù)學(xué)思想。

例如，四年級下冊“三角形內(nèi)角和”在課內(nèi)完成教學(xué)后，教師在學(xué)生已具有探索三角形內(nèi)角和時的“猜想——測量——驗證”的經(jīng)驗和數(shù)學(xué)抽象基本思想經(jīng)歷后，讓學(xué)生運(yùn)用課上積累的經(jīng)驗和數(shù)學(xué)思想方法，自己嘗試探索四邊形的內(nèi)角和和五邊形的內(nèi)角和。這樣的應(yīng)用情境既是課內(nèi)教學(xué)的發(fā)展和延伸，又是數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗和數(shù)學(xué)基本思想得到物化的保證。在探索之中，學(xué)生嘗試運(yùn)用了類比推理、轉(zhuǎn)化思想、歸納推理，對數(shù)學(xué)推理思想的認(rèn)識得到了升華?？梢哉f，應(yīng)用情境的設(shè)計，為學(xué)生很好地感悟數(shù)學(xué)思想搭建了一座橋梁。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)“三種課型”教學(xué)中數(shù)學(xué)基本思想的建構(gòu)策略

依據(jù)對“數(shù)學(xué)化”的理解，把小學(xué)數(shù)學(xué)課型劃分為：“知識起始課”“遷移發(fā)展課”“模型應(yīng)用課”三種課型。下面就談一談小學(xué)數(shù)學(xué)“三種課型”教學(xué)中數(shù)學(xué)基本思想的建構(gòu)策略。

（一）知識起始課——主要凸顯數(shù)學(xué)抽象思想

從知識產(chǎn)生和發(fā)展的過程看，最初產(chǎn)生的數(shù)學(xué)的概念、法則、性質(zhì)等構(gòu)成了數(shù)學(xué)知識體系的基礎(chǔ)和框架，我們可以把這部分內(nèi)容劃定為知識起始課的內(nèi)容，它主要凸顯的是數(shù)學(xué)抽象思想。可采取的策略如下。

策略之一：數(shù)學(xué)抽象要以建立充分的表象為基礎(chǔ)

表象是感性認(rèn)識的一種高級形式，它是從具體感知到抽象思維的過渡和橋梁。因此，在概念形成、公式及法則推導(dǎo)過程中，建立能突出事物共性的典型表象是非常關(guān)鍵的，這為進(jìn)一步高水平的抽象概括提供了基礎(chǔ)。

例如，在教學(xué)北師大版四年級上冊“相交與垂直”“平移和平行”兩節(jié)課時，為了更好地揭示概念的本質(zhì)特征，統(tǒng)整為一節(jié)課。在教學(xué)中，重要的環(huán)節(jié)是教師要幫助學(xué)生建立典型的、全面的表象。為了抽象出“相交”“平行”的概念，讓學(xué)生在一張平面紙上任意畫出兩條直線的位置關(guān)系圖，教師幫助學(xué)生總結(jié)出典型、全面的表象圖（如下圖）。

學(xué)生在對表象圖確定分類標(biāo)準(zhǔn)和進(jìn)行分類的過程中逐漸發(fā)現(xiàn)和抽象出概念。如果在上述圖中缺少了③和⑨這樣的圖形，將直接導(dǎo)致對“相交”概念的片面認(rèn)識。為了避免這樣片面認(rèn)識的產(chǎn)生，在選取表象時，一定要考慮典型和全面。

策略之二：數(shù)學(xué)抽象要以建立合適的抽象層次為基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)抽象不是一次完成的，要建立合適的抽象層次，從借助于具體事物的較低層次的抽象逐步發(fā)展到借助表象或者數(shù)學(xué)概念的較高層次的抽象。

例如，兩位數(shù)加一位數(shù)的筆算進(jìn)位加法，這是小學(xué)列豎式筆算加法的起始課。教師必須帶領(lǐng)學(xué)生有層次地經(jīng)歷“擺小棒計算”（實物抽象）——“撥計數(shù)器計算”（半符號抽象）——“列豎式計算”（符號抽象）的抽象過程。這樣，有層次的抽象活動才能讓學(xué)生積累完整的抽象的經(jīng)驗，感悟抽象的數(shù)學(xué)思想。

策略之三：數(shù)學(xué)抽象要以獲取完整的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗為基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)活動是積累豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的有效載體，而數(shù)學(xué)思想的感悟必須借助完整的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗才能實現(xiàn)。因此，數(shù)學(xué)抽象要以獲取完整的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗為基礎(chǔ)。

例如，前面所說的兩位數(shù)加一位的筆算加法教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)歷了“擺小棒計算”——“撥計數(shù)器計算”——“列豎式計算”的活動，在三個數(shù)學(xué)活動中積累了“實物抽象”“半符號抽象”“符號抽象”的完整遞進(jìn)的數(shù)學(xué)抽象的經(jīng)驗，進(jìn)而在這完整的數(shù)學(xué)抽象經(jīng)驗中，感悟了數(shù)學(xué)抽象思想的意義。如果在數(shù)學(xué)中，只經(jīng)歷擺小棒計算的過程，然后就建構(gòu)列豎式的符號抽象形式，這樣的過程將導(dǎo)致學(xué)生缺乏完整的數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，抽象成符號形式的條件不成熟，抽象思想形成的難度大，不符合學(xué)生的思維水平。因此，獲取豐富、完整的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是建構(gòu)數(shù)學(xué)抽象的必要基礎(chǔ)。

策略之四：數(shù)學(xué)抽象要以運(yùn)用合理的抽象方法為基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)抽象基本思想的形成必須借助合理的抽象方法來實現(xiàn)。如：分類方法、數(shù)形結(jié)合方法、對應(yīng)的方法、符號化的方法等都是小學(xué)階段主要用到的抽象方法。

例如：“兩位數(shù)加一位數(shù)進(jìn)位加法”的豎式計算教學(xué)，就利用“擺小棒”和“撥計算器”的方法，達(dá)到數(shù)形結(jié)合，通過數(shù)形結(jié)合的方法實現(xiàn)最終抽象為符號的目的，進(jìn)而完成概念、法則的抽象過程。研究“平行”的概念時，就借助了分類的方法，通過對形成典型表象的兩條直線的位置關(guān)系圖，研究“分類的標(biāo)準(zhǔn)”和“如何分類”的問題，就抽象出了“平行”概念的本質(zhì)特征。

（二）遷移發(fā)展課——主要凸顯數(shù)學(xué)推理思想

由數(shù)學(xué)起始性知識遷移和重構(gòu)發(fā)展而來的知識，可以稱為后續(xù)性新知識?？梢园堰@部分內(nèi)容劃定為遷移發(fā)展課的內(nèi)容，它主要凸顯的是數(shù)學(xué)推理思想?？刹扇〉牟呗匀缦?。

策略之一：數(shù)學(xué)推理要以構(gòu)建新舊知識內(nèi)在聯(lián)系為基礎(chǔ)

后續(xù)性新知識是由相應(yīng)的舊知識遷移發(fā)展而來的，因而架起新舊知識內(nèi)在聯(lián)系的橋梁，才便于找到數(shù)學(xué)推理的基礎(chǔ)。

例如，異分母分?jǐn)?shù)加減法是由同分母分?jǐn)?shù)加減法遷移發(fā)展而來的，因而教學(xué)異分母分?jǐn)?shù)加減法，就要依據(jù)同分母分?jǐn)?shù)加減法進(jìn)行類比推理，把異分母分?jǐn)?shù)加減法轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)加減法進(jìn)行計算。

遷移發(fā)展課要以建構(gòu)新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系為基礎(chǔ)，在新舊知識對比中找到相同點和異同點，然后進(jìn)行類比遷移建構(gòu)新知識。

策略之二：數(shù)學(xué)推理要以獲取必要的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗為橋梁

數(shù)學(xué)推理思想的感悟不是通過某個環(huán)節(jié)單獨(dú)完成的，它是在學(xué)生獲得豐富活動經(jīng)驗的基礎(chǔ)上逐漸領(lǐng)悟的。因此，設(shè)計好能讓學(xué)生產(chǎn)生豐富數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的數(shù)學(xué)活動則是必然的。

例如，教學(xué)圓柱的體積計算方法時，設(shè)計了兩個數(shù)學(xué)活動：活動一，從長方形和正方形體積的計算方法，猜一猜怎樣計算圓柱的體積？活動二，能否運(yùn)用轉(zhuǎn)化的方法推導(dǎo)出圓柱體積的計算方法。在這兩個活動中，學(xué)生由圓柱體、長方體和正方體都是直柱體，通過類比提出“圓柱體的體積的計算方法可能是底面積乘高”的猜想，再通過把圓柱“切、拼”轉(zhuǎn)化成長方體，根據(jù)長方體的體積計算公式推導(dǎo)出圓柱的體積計算公式。在這樣的教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)歷了“類比猜想——驗證說明”的過程，積累了“類比推理”和“轉(zhuǎn)化思想”的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，從中體會了數(shù)學(xué)推理思想在問題中的應(yīng)用。

策略之三：數(shù)學(xué)推理要采用合理的推理方法來實現(xiàn)

推理的過程一般經(jīng)歷“猜想、類比、聯(lián)想、歸納”的合情推理階段和“驗證說明”的演繹推理階段。合情推理是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的主要途徑，也是培養(yǎng)創(chuàng)新思維的不可或缺的途徑。在小學(xué)階段，學(xué)生較多接觸的是合情推理，演繹推理可在中高年級適當(dāng)引入。

例如，小學(xué)五年級上冊“多邊形的面積”的學(xué)習(xí)，可引導(dǎo)學(xué)生先進(jìn)行類比推理猜想出面積的計算方法，然后采用演繹推理對“猜想”進(jìn)行驗證，推導(dǎo)出圖形的面積計算公式。

（三）模型應(yīng)用課——主要凸顯數(shù)學(xué)模型思想

建構(gòu)數(shù)學(xué)模型即指從數(shù)學(xué)的角度，對所研究的問題做一個模擬，舍去無關(guān)因素，保留其數(shù)學(xué)關(guān)系，以形成某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

以北師大版五年級下冊“包裝的學(xué)問”為例，談一談建構(gòu)模型的具體步驟。

（1）了解問題背景，確定目的要求，簡化研究載體

問題是：“幾盒相同的糖果包成一包，怎樣包裝最節(jié)約包裝紙？”

涵義及要求：

①要節(jié)約包裝紙，從數(shù)學(xué)角度思考，就是使包裝后的表面積最小。

②要找到所有的包裝方法才能發(fā)現(xiàn)最節(jié)約包裝紙的方法。

③把現(xiàn)實世界中的各種狀如長方體的盒狀物抽象看成“長方體”。

④在接口處不計的情況下，疊放后長方體的表面積就是需要包裝紙的大小。

（2）選用數(shù)學(xué)工具，尋求事物聯(lián)系，建立數(shù)學(xué)模型

通過觀察、畫圖、計算的方式，建構(gòu)“疊放后的長方體露在外面的表面積和內(nèi)部重疊的面積大小的關(guān)系”。

①分別研究兩盒糖果、四盒糖果包成一包，各有幾種不同的包裝形式？觀察和計算后，確定最節(jié)省包裝紙的疊放方法。

②比較兩盒、四盒糖果的最節(jié)省包裝的方案，歸納出“疊放后的長方體的表面積與內(nèi)部重疊的面積大小的關(guān)系：表面積越小，重疊的面積越大?！?/p>

③總結(jié)出最節(jié)省包裝的方法：使重疊后的面的面積最大。（數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)）

（3）依據(jù)數(shù)學(xué)模型，求解實際問題，檢驗數(shù)學(xué)模型

應(yīng)用“疊放的表面積與重疊面積大小的關(guān)系”解決包裝方法的問題，并檢驗正確性。

總之，我們的數(shù)學(xué)課堂，不僅要完成數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能的教學(xué)任務(wù)，更要重視挖掘數(shù)學(xué)基本思想和基本活動經(jīng)驗的教育因素，形成一整套成熟的具有操作性的策略系統(tǒng)，從而達(dá)到發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀（2011版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]邵光華.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法[M].上海：上海教育出版社，2009.

[3]史寧中.漫談數(shù)學(xué)的基本思想[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2011（4）.

[4]劉瑋.數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)意蘊(yùn)及建構(gòu)策略[J].中國教育學(xué)刊，2014（6）.

[5]崔英梅，孔凡哲.“四基”理論實踐探索中問題分析與改進(jìn)對策[J].中國教育學(xué)刊，2014（3）.