榮吉利，宋乾強，楊國孝，張濤

（1.北京理工大學宇航學院，北京100081；2.北京理工大學數(shù)學學院，北京100081；3.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京100076）

正態(tài)應力-正態(tài)強度下可靠度精確置信下限

榮吉利1，宋乾強1，楊國孝2，張濤3

（1.北京理工大學宇航學院，北京100081；2.北京理工大學數(shù)學學院，北京100081；3.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京100076）

針對應力和強度均服從正態(tài)分布，且二者的分布參數(shù)均未知的情況，有些學者給出了此條件下可靠度的近似置信下限，但是可靠度的近似置信下限在小樣本情況下誤差較大。基于應力-強度模型，結合相關統(tǒng)計學知識，給出可靠度的精確置信下限，同時與3種近似限方法進行了對比。結果表明：無論樣本量大或者小，文中方法計算出的精度均高于3種近似限方法。當樣本量較小時，推薦使用文中所給方法；當樣本量較大時，可采用3種近似限方法進行近似計算。文中提出的方法可為可靠性評估提供一種新的途徑。

應用統(tǒng)計數(shù)學；正態(tài)分布；可靠性；置信下限；精確限

0　引言

針對產(chǎn)品特性值服從正態(tài)分布，且總體均值和總體方差都未知的情況，當已知特性值上（下）規(guī)范限時，我國于1985年制定了GB 4885—85《正態(tài)分布完全樣本可靠度單側置信下限》，隨后在此基礎上進行了完善，于2009年制定了GB/T 4885—2009［1］。此方法基于一個特性值服從正態(tài)分布，另一個特性值為定值。然而，在實際工程中，如果產(chǎn)品特性值的規(guī)范限不是一個單一值，其值在一個范圍內(nèi)發(fā)生變化的話，則該方法將不再適用［2］。此時，可根據(jù)特性值變化的規(guī)律對其分布進行假設，最常見的模式就是考慮兩個特性值均服從正態(tài)分布，即研究正態(tài)應力和正態(tài)強度模式下產(chǎn)品的可靠性。

當產(chǎn)品的應力和強度均服從正態(tài)分布，且其分布參數(shù)未知時，如果獲得了應力和強度的完全樣本，在此條件下如何計算此產(chǎn)品的可靠性？許多學者對這個問題進行了研究。已發(fā)表的文獻大致可分為兩類：一是討論此模型下的近似限，文獻［3-4］用泰勒級數(shù)展開的方法對可靠度置信下限進行了研究，文獻［5］從假設檢驗原理角度進行分析。近似限在樣本量較大時其誤差可以接受，但是在小樣本的情況下其誤差較大；二是討論此模型下的精確限，孫祝嶺［6］提出了一種用正態(tài)分布變異系數(shù)的區(qū)間估計結果來處理此模式結構可靠度的經(jīng)典精確置信下限的新方法，但是使用此方法時劃分樣本應遵循隨機原則，排除人為因素影響，當測量結果排列順序不一樣時，可能導致計算的可靠度置信下限值有較大差別。除此之外，葉喜濤［7］也對此問題進行了研究，給出了這種情況下可靠度R的Bayes精確區(qū)間估計。到目前為止，基于正態(tài)應力和正態(tài)強度模式下產(chǎn)品可靠度的精確置信下限問題還沒有得到很好的解決，仍然需要進一步的研究。

本文基于統(tǒng)計學原理，給出了此種模式下可靠度的精確置信下限，并與文獻［3-5］中的3種方法進行對比。結果顯示：本方法無論在樣本量較小或者較大時，計算出的精度均高于文獻［3-5］中的3種方法。當樣本量較小時，推薦使用本文所給方法；當樣本量較大時，可采用文獻［3-5］中的3種方法進行近似計算。

1　可靠度精確置信下限

應力-強度模型廣泛地應用于可靠性評估、可靠性設計中，其基本原理是將引起產(chǎn)品失效和阻止產(chǎn)品失效的因素分別看做應力M和強度L，當產(chǎn)品的L大于M時產(chǎn)品可靠。當L和M服從正態(tài)分布且相互獨立時，產(chǎn)品的可靠度可以用（1）式計算：

式中：μL和σL分別是強度L的均值和標準差；μM和 σM分別是應力M的均值和標準差；Φ為標準正態(tài)分布的分布函數(shù)。在用（1）式計算可靠度時，其均值和方差往往無法獲取，如果采用樣本均值和樣本方差進行近似計算，一般需要較大的樣本。對于小樣本情況，尤其是某些航天產(chǎn)品可能只有幾個試驗樣本，這樣估計的結果并不可信。本文針對此問題，研究應力和強度均服從正態(tài)分布，且分布參數(shù)均未知時，其可靠度的精確置信下限問題。近似限方法是采用泰勒級數(shù)展開或者用樣本均值、方差代替總體均值、方差等近似的方法進行求解，本文中精確限方法則沒有進行相關的近似處理。

圖1為可靠性分析中常用的應力-強度模型，f（x）和f（y）分別為強度和應力的概率密度曲線，陰影部分為“干涉區(qū)”，在此區(qū)域內(nèi)可能發(fā)生失效。在進行推導之前，先引入以下兩個引理：

引理1［8］設X1，X2，…，Xn是總體N（μ，σ2）的樣本，S2是樣本方差，則有

引理2［9］若隨機變量U～N（0，1），V～χ2（m），且相互獨立，則

服從自由度為m，非中心參數(shù)為δ的非中心t分布。

圖1　可靠性評估模型Fig.1 Reliability evaluation model

設隨機變量X1～N（μ1，σ21），X2～N（μ2，σ22），X1與X2相互獨立，且其分布參數(shù)均未知。x1，x2，…，xe為 X1的e個樣本，其樣本均值和標準差分別為y1，y2，…，yf為X2的f個樣本，其樣本均值和標準差分別為

令隨機變量W=X1-X2，則有設，則.和Sw分別為W的樣本均值和樣本標準差。因為X1與X2相互獨立，故和Sw的值可分

別通過下式計算：

根據(jù)文獻［10］所述，可將（4）式中均值和標準差看做由隨機樣本確定的隨機變量。因此，可將R看成隨機變量。

可靠度R的置信下限RL為

式中：URL為RL對應的標準正態(tài)分布的區(qū)間點。

在給定置信度γ下可靠度R的置信下限RL通過下式計算：

將（4）式、（5）式代入（6）式中可得

因為標準正態(tài)分布的分布函數(shù)Φ在（-∞，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，故（7）式等價于

對（8）式進行恒等變形，可得

當給定置信水平γ時，根據(jù)試驗的樣本信息，對（10）式進行求解，解出URL，然后代入（5）式即可求得產(chǎn)品的可靠度置信下限。

2　近似限

針對第1節(jié)提出的問題，很多學者對其近似限進行了研究，為了與本文提出的方法進行對比，下面簡單介紹其可靠度置信下限的計算公式，詳細推導過程可參閱相關文獻。本節(jié)中所涉及參數(shù)的具體定義可參閱相關對應文獻。

周源泉在文獻［3］中給出了可靠度置信下限的經(jīng)典1階近似限的計算公式：

此方法將樣本均值和樣本方差看做變量，在總體均值和總體方差處采用泰勒展開進行研究，得到了可靠度置信下限的1階和2階近似限。

Dimitri等在文獻［4］中給出了可靠度置信下限的如下計算公式：

此方法實際上是周源泉在文獻［3］中給出的可靠度置信下限的2階近似限。不過，Dimitri等［4］針對更為一般的情況進行了研究，考慮了多維隨機變量的情況，在此不再贅述。

Guo等于2004年在文獻［5］中給出了如下計算公式：

Guo等［5］的研究工作從假設檢驗原理出發(fā)，在總體應力方差和強度方差之比已知和未知時進行分析，并與其他方法進行了對比，最后給出了可靠度置信下限的近似限。

3　3種方法的對比

下面給出兩個例子，將第2節(jié)中的3種方法與本文給出的方法進行對比以及進一步的分析。

3.1當樣本量較小時

示例1［6］：設某構件的抗力Y1、荷載效應Y2均服從正態(tài)分布，Y1與Y2互相獨立。對Y1、Y2分別進行抽樣觀察，獲得2組數(shù)據(jù)如下：9.10 N，6.17 N，10.73 N，13.83 N，13.60 N，15.20 N，3.45 N，9.30 N，13.29 N，6.74 N；3.31 N，2.31 N，2.15 N，3.02 N，3.23 N，1.88 N，3.43 N，3.60 N，4.13 N，3.63 N，3.67 N，3.63 N.求該結構可靠度R的置信度為0.90的置信下限。

變量W=Y1-Y2的樣本量，樣本均值以及樣本標準差分別為：T=120，，Sw=3.754.表1為不同樣本量下采用4種不同方法計算所得的可靠度置信下限值（計算中保持以上樣本均值和樣本標準差不變，只改變樣本量的大?。?。

表1中，在樣本量為2×4時，RL2值很小，記為0.縱向?qū)Ρ萊L～RL34列，可以看出：可靠度置信下限的值隨著樣本量的增加而增加。對于RL，樣本量的增加導致試驗中所包含的信息量變大，因而可靠度置信下限提高。對于RL1～RL33種近似限方法，其計算公式中忽略了泰勒展開中的高階項，樣本量越大，其計算結果越趨近于真實值，故可靠度置信下限變大。橫向?qū)Ρ萊L～RL3，可以看出：在樣本量較小時，3種近似限方法計算出的可靠度置信下限值相互間相差較大，其中RL1最大，RL3次之，RL2最小。與本文所給方法對比可知，此3種方法計算的值相對較為保守，在小樣本的情況下本方法具有明顯的優(yōu)勢。

表1　不同樣本量下的可靠度置信下限Tab.1 The lower confidence limit of reliability under diferent sample sizes

3.2當樣本量較大時

示例2：隨機變量X1、X2均服從正態(tài)分布，其分布參數(shù)未知，且相互獨立。給出如表2所示的隨機樣本，其樣本量分別為：e=40，f=50.當置信度為0.90時，對比4種方法。

表2　隨機變量X1、X2的樣本值Tab.2 The sample values of the random variable X and Y

當樣本量為10×20時，分別選取表2中X1、X2的前10個和前20個數(shù)據(jù)作為此種情況下的樣本，其他情況以此類推。3種近似限方法與本文所給方法之間的相對誤差，如表3所示。

表3　不同樣本量下4種方法之間的誤差Tab.3 The error among 4 methods under different sample sizes%

從表3中可以看出：隨著樣本量的不斷增加，此3種方法與本文所給方法之間的相對誤差逐漸減小，當樣本量為40×50時，3種近似限與精確限之間相對誤差最大的僅為0.04%.故當樣本量較大時，精確限與近似限之間相對誤差較小，可用近似限進行粗略計算。

從示例1和示例2中可以看出，采用本文所給公式計算可靠度置信下限時，無論樣本量是大或者小，其精度均高于本文所介紹的3種方法，其原因在于：本文給出的是可靠度的精確置信下限，其他3種方法給出的均是近似限，近似限方法在進行計算時忽略了高階項，可能導致計算結果較為保守。且本文采用的方法包含了隨機變量X1、X2更多的試驗信息量。一般來說，當樣本量較小時，推薦采用本文所給方法進行計算；當樣本量較大時，可用文獻［3-5］中的近似限方法進行近似求解。

4　結論

本文給出了應力和強度均服從正態(tài)分布，且其分布參數(shù)均未知時其結構可靠度的精確置信下限。通過與已有的3種近似限方法進行對比，證明了無論在樣本量大或者是小時，此方法計算出的精度均高于此3種方法，尤其是在樣本量較小時，推薦使用本文所給方法。本文所提出的方法可為可靠度置信下限的計算提供一種新的思路。

（

）

［1］全國統(tǒng)計方法應用標準化技術委員會.GB/T 4885—2009正態(tài)分布完全樣本可靠度置信下限［S］.北京：中國標準出版社，2009. National Committee of Statistical Method Application and Standardization Technique.GB/T 4885—2009 Lower confidence limit of reliability for complete sample from normal distribution［S］.Beijing：Standards Press of China，2009.（in Chinese）

［2］榮吉利，張濤，徐天福，等.性能參數(shù)型航天器機構的可靠性試驗評定方法［J］.宇航學報，2012，33（3）：387-391. RONG Ji-li，ZHANG Tao，XU Tian-fu，et al.Study on test method of reliability assessment used for performance parameter-measured spacecraft mechanism［J］.Journal of Astronautics，2012，33（3）：387-391.（in Chinese）

［3］周源泉.結構可靠性的經(jīng)典近似限［J］.強度與環(huán)境，1986，13（5）：1-9. ZHOU Yuan-quan.Classical approximate limits for structural reliability［J］.Journal of Structure&Environment Engineering，1986，34（5）：1-9.（in Chinese）

［4］Dimitri B K，Wang W D，On the lower confidence limit of the calculated reliability for mechanical components and structural members.［C］∥The 38th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures，Structural Dynamics，and Matericals Conference and Exhibit.US：AIAA，1997.

［5］Guo H Z，Krishnamoorthy K.New approximate inferential methods for the reliability parameter in a stress-strength model：the normal case［J］.Communications In Statistics：Theory and Methods，2004，33（7）：1715-1731.

［6］孫祝嶺.正態(tài)應力和正態(tài)強度可靠性的經(jīng)典精確限［J］.兵工學報，2011，32（3）：354-358. SUN Zhu-ling.Classical exact limits of structural reliability for normal stress and normal strength［J］.Acta Armamentarii，2011，32（3）：354-358.（in Chinese）

［7］葉喜濤.正態(tài)應力強度結構可靠性的精確限［J］.系統(tǒng)工程與電子技術，1997，19（9）：77-81. YE Xi-tao.The exact limits of structural reliability for normal stress and normal strength［J］.Systems Engineering and Electronics，1997，19（9）：77-81.（in Chinese）

［8］盛驟，謝世千，潘承毅.概率論與數(shù)量統(tǒng)計［M］.北京：高等教育出版社，2004. SHENG Zhou，XIE Shi-qian，PAN Cheng-yi.Probability and mathematical statistics［M］.Beijing：Higher Education Press，2004.（in Chinese）

［9］韋博成.參數(shù)統(tǒng)計教程［M］.北京：高等教育出版社，2006. WEI Bo-cheng.A course in parametric statistics［M］.Beijing：Higher Education Press，2006.（in Chinese）

［10］周源泉，翁朝曦.可靠性評定［M］.北京：科學出版社，1990. ZHOU Yuan-quan，WENGChao-xi.Reliabilityassessment［M］.Beijing：Science Press，1990.（in Chinese）

The Exact Lower Confidence Limit of Reliability for Normal Stress and Normal Strength

RONG Ji-li1，SONG Qian-qiang1，YANG Guo-xiao2，ZHANG Tao3
（1.School of Aerospace Engineering，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China；2.School of Mathematics，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China；3.Beijing Institute of Space System Engineering，Beijing 100076，China）

For stress and strength obey normal distribution and their distributed parameters are unknown，some researchers have given approximate lower confidence limits of its reliability under these conditions. But the error of approximately confidence limits is large in the case of small samples.Based on stressstrength model and relevant statistical knowledge，the exact lower confidence limit of its reliability is presented.The proposed method is compared with three kinds of approximate limits methods.The result shows that no matter large or small the size of the sample is，the accuracy of the method mentioned in this paper is higher than those other three methods.When the size of the sample is small，it is recommended to use this proposed method；when the size of the sample is large，these three methods can be used for approximate calculation.This proposed method provides a new approach for the assessment of the reliability.

applied statistical mathematics；normal distribution；reliability；lower confidence limit；exact limits

TB114.3

A

1000-1093（2015）02-0332-05

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.02.021

2014-05-18

國家部委預先研究項目（C4220062206）

榮吉利（1964—），男，教授，博士生導師。E-mail：rongjili@bit.edu.cn