沈麗莉

【摘 要】數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)中最常用的方法之一，將數(shù)與形兩個(gè)最基本的研究對(duì)象結(jié)合在一起，相互映襯，往往能起到事半功倍的效果。本文對(duì)數(shù)形結(jié)合的概念進(jìn)行了分析，并對(duì)高中數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合例子進(jìn)行剖析，為高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了指導(dǎo)性的意見(jiàn)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；高中數(shù)學(xué)

在很多人心目中，數(shù)學(xué)就是大堆數(shù)字和邏輯符合的結(jié)合，實(shí)際上在數(shù)學(xué)的世界里可以大體分為兩個(gè)概念，一個(gè)是數(shù)，一個(gè)是形，數(shù)和形之間存在著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，可以說(shuō)二者是相輔相成的關(guān)系。高中數(shù)學(xué)內(nèi)容繁雜，而數(shù)形結(jié)合可以幫助學(xué)生輕松的理解數(shù)學(xué)中的特別含義。也是老師傳授數(shù)學(xué)知識(shí)的主要方法。

一、數(shù)形結(jié)合的含義及作用

數(shù)形結(jié)合是將數(shù)學(xué)領(lǐng)域中“數(shù)”和“形”兩大對(duì)象結(jié)合起來(lái)的有效方式，也是一種常用的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)形結(jié)合在應(yīng)用方面主要有兩種表現(xiàn)，一種是“以數(shù)解形”，另一種是“以形助數(shù)”?？梢杂脭?shù)字的精確性來(lái)表現(xiàn)某種形的屬性。也可以用形的直觀性來(lái)表明數(shù)字與數(shù)字之間的關(guān)系。

數(shù)學(xué)中經(jīng)常用數(shù)形結(jié)合的方式將抽象問(wèn)題具體化，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，逐步找到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法。高中數(shù)學(xué)涉及的幾何函數(shù)、方程式、集合等問(wèn)題，若單純的從數(shù)字層面來(lái)理解，很多學(xué)生是不容易理解清楚的；若單純的用幾何圖形來(lái)表示，又難以達(dá)到數(shù)學(xué)解題的目的。所以數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)應(yīng)用最為廣泛的方法。

二、數(shù)形結(jié)合解決集合問(wèn)題

高中數(shù)學(xué)中會(huì)涉及到一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)——集合，集合是表達(dá)元素之間的各種內(nèi)在關(guān)系，包括并集、補(bǔ)集、交集。這種包含與被包含之間的關(guān)系本身就具有一定的圖形意味。采用數(shù)形結(jié)合的方式就是將這些元素間抽象的關(guān)系具體化、形象化。以便學(xué)生能夠更好的理解其中的含義。

學(xué)生在遇到集合問(wèn)題時(shí)，一般選用兩種圖形配合解決問(wèn)題，一種是數(shù)軸，另一種是韋恩圖。在數(shù)軸上，學(xué)生通過(guò)標(biāo)注元素的范圍，可以直觀的看出元素間的關(guān)系。例如，X<2，Y>-2如圖1所示；若a≥3，b≤-1，用數(shù)軸表示則如圖2所示。

韋恩圖在集合的解題中用得最多，主要偏向于解決數(shù)型集合問(wèn)題，很多在邏輯關(guān)系上很繞的題目，都可以通過(guò)韋恩圖來(lái)解決。例如題目為：

對(duì)某公司有100個(gè)員工進(jìn)行抽樣調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其中喜歡看球的人有58人、喜歡看戲劇的有38人，喜歡看電影的有52人，而既喜歡看球又喜歡看戲劇的人有18人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16人，三種都喜歡的人有12人，那么其中只喜歡看電影的有多少人？

通過(guò)閱讀題目的數(shù)據(jù)關(guān)系很多邏輯思維能力不強(qiáng)的學(xué)生理解起來(lái)非常困難，里面包含了各種包含相交關(guān)系，我們可以將這三種活動(dòng)分別用三個(gè)圓表示，根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)關(guān)系找到對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，如上圖所示。通過(guò)韋恩圖將未知的區(qū)域即同時(shí)喜歡看球和看電影的人數(shù)設(shè)置為x，那么通過(guò)等式關(guān)系可以得出：

（40-x）+x+（36-x）+6+12+4+16=100，解得x=14；則只喜歡看電影的人有36-x=22。

三、數(shù)形結(jié)合解決方程與不等式問(wèn)題

方程式是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)，是學(xué)生必須熟練掌握的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)。在解題時(shí)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合可以更好的拓展學(xué)生的解題思路。高中數(shù)學(xué)中坐標(biāo)系是圖形表達(dá)的重要領(lǐng)域，可以用來(lái)輔助解決方程式、不等式等問(wèn)題，解題思路是將方程式或者不等式作為繪制圖形的依據(jù)，對(duì)繪制的圖形進(jìn)行觀察，通過(guò)圖形中的交叉等關(guān)系找到解題的關(guān)鍵。

例如求方程sin2x=sinx在區(qū)間（0，2π）解的個(gè)數(shù)。

根據(jù)題目直接畫(huà)出sin2x和sinx的圖形，根據(jù)兩個(gè)圖形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得出答案，繪制的圖形如右圖所示：

從圖形中可以直觀的看到兩個(gè)圖形的交點(diǎn)有3個(gè)，所以該題的解為3。

不等式也是一種函數(shù)關(guān)系的表達(dá)，大多數(shù)不等式可以直接通過(guò)題目本身找出問(wèn)題的答案，但是過(guò)程一般比較繁復(fù)，若解題中一步出錯(cuò)，則整道題皆錯(cuò)。若在解決不等式時(shí)能夠與圖形結(jié)合，則會(huì)大大降低出錯(cuò)的機(jī)會(huì)，而同學(xué)理解起來(lái)也非常直觀簡(jiǎn)單。

例如：解不等式■>x+1

在分析該題目時(shí)，將不等式兩邊的分別看作為兩個(gè)函數(shù)，依次為y=■，g=x+1，在坐標(biāo)上畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖形，如右圖所示。在結(jié)合題目中給出的信息y>g，則可以輕松找到解為{x|-2.5

四、總結(jié)

總而言之，數(shù)形結(jié)合方式在高中數(shù)學(xué)中被廣泛應(yīng)用，運(yùn)用該方法解題可以讓枯燥難以理解的數(shù)學(xué)知識(shí)變得更加直觀簡(jiǎn)練，學(xué)生在解題時(shí)，要多運(yùn)用該方法，將該方法滲透到各種題目中，做到靈活運(yùn)用，融會(huì)貫通，將數(shù)學(xué)中的公式和解題思路聯(lián)系起來(lái)，以形助數(shù)，找到最為簡(jiǎn)潔的解題思路。

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（作者單位：江蘇省南通市海安縣李堡中學(xué)）