張　敏，李露露，徐藹彥，李繼紅（西安理工大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，西安 710048）

Fe-0.04％C合金焊縫熔池凝固過程中枝晶生長及溶質(zhì)濃度分布模擬

張敏，李露露，徐藹彥，李繼紅
（西安理工大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，西安 710048）

基于枝晶生長的擴(kuò)散界面模型，改進(jìn)元胞自動(dòng)機(jī)法，并結(jié)合有限差分法，綜合考慮濃度場、溫度場以及熔池形狀，建立Fe-0.04％C（質(zhì)量分?jǐn)?shù)）合金枝晶生長和溶質(zhì)濃度分布模型。模擬單個(gè)等軸晶的生長形貌及枝晶尖端生長速度隨時(shí)間的變化關(guān)系、多個(gè)等軸晶的生長形貌和溶質(zhì)濃度分布、柱狀晶的生長形貌和耦合溫度場后的柱狀晶-等軸晶轉(zhuǎn)變過程，并與實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對比。結(jié)果表明：取向角對枝晶形貌有一定的影響；枝晶尖端生長速度隨時(shí)間的延長最后趨于穩(wěn)定；熔池形狀影響柱狀晶生長形貌；溶質(zhì)主要富集在枝晶根部及晶界處。模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好。

元胞自動(dòng)機(jī)-有限元法；枝晶生長；溶質(zhì)分布；溫度分布

在金屬凝固過程中，枝晶形貌及結(jié)構(gòu)決定了材料的最終組織和性能[1]，因此，要獲得優(yōu)質(zhì)的金屬鑄件，掌握和控制凝固過程中的枝晶生長是至關(guān)重要的。采用傳統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)方法[2-5]來探究凝固過程的微觀組織，耗時(shí)、耗資且多數(shù)情況下不能直接觀察。近年來，計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，使人們可以采用數(shù)值模擬方法來研究金屬凝固過程，這一新的研究方法彌補(bǔ)了傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)方法的不足，可以更直接，更深入地探究金屬凝固過程。

目前，已有多種方法用于凝固顯微組織的模擬，如相場法（Phase-field）、蒙特卡羅法（Monte Carlo，簡稱MC）、元胞自動(dòng)機(jī)法（Cellular Automaton，簡稱CA）、前沿跟蹤法（Front Tracking）等[6-9]。其中元胞自動(dòng)機(jī)法[10-12]是發(fā)展較晚但應(yīng)用最廣泛的一種模擬方法，這種方法在理論上基于晶粒形核和生長的物理機(jī)制，在思想上基于“概率性”思想，擴(kuò)大了計(jì)算尺度，且能夠顯示凝固過程溫度場和固、液溶質(zhì)濃度變化，已成為鑄造凝固過程組織模擬的有效研究方法并獲得了一定成果[13-16]。由于焊接過程的復(fù)雜性，如冷速快、高溫、動(dòng)態(tài)以及CA法自身不完善等特點(diǎn)，運(yùn)用CA法進(jìn)行焊縫熔池凝固過程顯微組織演變的模擬，尚未見成功研究結(jié)果的報(bào)道，CA法在焊接領(lǐng)域的應(yīng)用少之又少。黃安國等[17]在2003年通過分析提出來元胞自動(dòng)機(jī)模擬焊縫金屬凝固的可行性及優(yōu)勢，并初步建立了基于CA法焊縫的凝固模型。2008年，黃國安等[18]應(yīng)用CA法模擬焊縫金屬晶粒擇優(yōu)取向與競爭長大機(jī)制，較好地反映焊縫金屬凝固的特點(diǎn)。占小紅等[19]將焊接融合線近似為折線段，應(yīng)用CA法較好地模擬了Al-Cu二元合金柱狀晶與等軸晶的競爭生長。張敏等[20]基于CA法實(shí)現(xiàn)了焊縫熔池凝固組織中Fe-C二元合金等軸晶、柱狀晶向等軸晶轉(zhuǎn)變（CET轉(zhuǎn)變）的模擬，此模型尚未考慮到熔池形狀的影響因素。實(shí)際上熔池是類圓弧狀，關(guān)于特定熔池形狀內(nèi)枝晶形貌及溶質(zhì)濃度分布的模擬少之又少。因此，本文作者結(jié)合元胞自動(dòng)機(jī)法（CA法）和有限差分法（FD法），即CA-FD法，將熔池形狀抽象為標(biāo)準(zhǔn)圓弧狀，建立熔池模型、溫度場模型、枝晶的形核和生長以及溶質(zhì)的再分配和擴(kuò)散模型，模擬出圓弧狀熔池焊縫中心不同擇優(yōu)取向的單、多個(gè)等軸晶、柱狀晶以及耦合溫度場后柱狀晶向等軸晶的轉(zhuǎn)變，實(shí)現(xiàn)固、液相溶質(zhì)濃度的分離，分析了枝晶尖端生長速度隨時(shí)間的變化規(guī)律。

1　基本模型

1.1熔池模型

焊縫熔池為不規(guī)則的類圓弧狀，且隨著凝固的進(jìn)行，熔池不斷變化。為了簡化模型，本研究建立理想模型，設(shè)定熔池初始半徑，假設(shè)熔池形狀不變。熔池內(nèi)部為均勻的液相合金，外部為固相，則熔池內(nèi)任意一點(diǎn)）,（yxr表示如式（1）所示：

式中：r為距熱源中心的距離；（x0,y0）為熱源中心；x、y分別為求解區(qū)域的橫、縱坐標(biāo)。

1.2宏觀溫度場的FD模型

焊接熱源模型的建立是焊接熱過程計(jì)算的關(guān)鍵，不同熱源模型適用不同的范圍，從眾多學(xué)者對焊接熱過程的數(shù)值模擬研究來看，目前基于高斯分布的熱源模型應(yīng)用最廣泛，且其計(jì)算結(jié)果與實(shí)際焊接熱過程吻合性較好，因此，本研究采用高斯分布熱源模型，則由熱源引起的熱能分布為

式中：K為能量集中系數(shù)，不同焊接方法的K值不同，本研究選用手工電弧焊，K值范圍為1.2～1.4 K/cm2；η為焊接熱效率，手工電弧焊焊接熱效率范圍為0.77～0.87；U為電弧電壓；I為焊接電流；H為焊板厚度；為電弧有效加熱半徑。

采用FD法對熱源模型的溫度場進(jìn)行模擬。關(guān)于焊接熱傳導(dǎo)的有限差分計(jì)算包括兩種[21]：一種是穩(wěn)定態(tài)熱傳導(dǎo)問題的有限差分；另一種是瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題的有限差分。由于焊接熱源的集中性，移動(dòng)性和瞬時(shí)性特點(diǎn)，本文作者采用瞬態(tài)熱傳導(dǎo)有限差分方程來描述熔池的溫度場。

將整個(gè)求解區(qū)域劃分為均勻網(wǎng)格系統(tǒng)，并假設(shè)熔池頂部絕熱，熔池壁散熱。則基本的偏微分方程[21]為

式中：λ為導(dǎo)熱系數(shù)；cp為定壓比熱容；ρ為金屬密度。

初始條件：

邊界條件：

當(dāng)x=0，0≤y≤L1時(shí)，

當(dāng)x≠0，y=r =（（x -x）2+（y-y）2）1/2時(shí)，00

式中：L1為x邊的長度；hw為換熱系數(shù)；T0為初始溫度；Ta為周圍介質(zhì)溫度。

1.3微觀組織的CA模型

1.3.1形核和生長模型

為了更接近實(shí)際形核物理現(xiàn)象，本研究采用RAPPAZ等[22]和THEVOZ等[23]提出的準(zhǔn)連續(xù)形核模型。該模型使用高斯分布函數(shù)來描述形核密度與過冷度的關(guān)系。其數(shù)學(xué)函數(shù)表示如式（7）所示：

式中：n為形核基底數(shù)；nmax為異質(zhì)形核基底數(shù)；ΔTσ為標(biāo)準(zhǔn)曲率過冷度；為平均形核過冷度；ΔTN為形核密度最大時(shí)的過冷度。

本文作者借鑒陳晉[24]建立的擴(kuò)散界面模型。所謂擴(kuò)散界面模型，即界面存在一定的厚度，固相和液相的物理量在界面處過渡變化。形核后的晶粒在過冷度的作用下開始穩(wěn)態(tài)生長，這里所說的過冷度包括3種：曲率過冷rTΔ、成分過冷cTΔ和熱過冷tTΔ。

1.3.2溶質(zhì)的再分配和擴(kuò)散模型

溶質(zhì)的再分配是枝晶生長過程中至關(guān)重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，假定固/液界面處固相和液相的溶質(zhì)濃度滿足

式中：s/lc、l/sc分別為界面處固相和液相溶質(zhì)的平衡濃度；k為平衡分配系數(shù)。

排出的溶質(zhì)必然會(huì)導(dǎo)致枝晶周圍液相溶質(zhì)濃度升高，出現(xiàn)較大的濃度梯度，促進(jìn)溶質(zhì)的擴(kuò)散，最后均勻地分配到相鄰的液相元胞之中。實(shí)際上，溶質(zhì)的擴(kuò)散包括液相中的擴(kuò)散、固相中的擴(kuò)散以及固液界面上的擴(kuò)散。這3種擴(kuò)散同時(shí)發(fā)生，相互影響。為了簡化模型，本次模擬假設(shè)擴(kuò)散只發(fā)生在液相中。其數(shù)學(xué)表達(dá)式[25]如式（9）所示：

式中：lc為所計(jì)算液相元胞中液相溶質(zhì)濃度；lD為液相擴(kuò)散系數(shù)；t為時(shí)間。

為使過冷熔體中的枝晶穩(wěn)態(tài)生長，則需保證界面前沿溶質(zhì)擴(kuò)散和熱擴(kuò)散足夠充分，本模型設(shè)置邊界條件為恒定值c0，則遠(yuǎn)離枝晶生長界面處，熔體仍保持原始成分。

關(guān)于時(shí)間步長的選取，受到一定條件限制，首先擴(kuò)散方程的求解采用顯示差分格式，根據(jù)離散方程的穩(wěn)定性條件得到的時(shí)間步長。同時(shí)，還要滿足CA法的規(guī)定，因此，時(shí)間步長dt根據(jù)式（10）確定：

式中：dx為網(wǎng)格尺寸；Vmax為在該時(shí)間步長內(nèi)界面網(wǎng)格的最大生長速率。

2　實(shí)驗(yàn)

本次實(shí)驗(yàn)選用碳含量在0.04％左右的低碳鋼，焊接材料不添加微合金元素，采用手工電弧焊的方法進(jìn)行焊接。試驗(yàn)中涉及的焊接工藝參數(shù)為：焊接電流130 A，焊接電壓25 V，焊條直徑4mm。焊后經(jīng)過切割、磨樣等工序后，采用金相顯微鏡觀察試樣焊縫位置的微觀組織。

3　模擬結(jié)果與討論

通過對凝固理論的研究和適當(dāng)?shù)暮喕⒅L數(shù)值模型，并選取碳含量為0.04％的Fe-C合金作為模擬對象，將模擬區(qū)域劃分為400×800個(gè)矩形網(wǎng)格單元進(jìn)行計(jì)算。模型所用到的物性參數(shù)如表1所列。

表1　Fe-C合金熱物性參數(shù)Table 1　Thermo-physical property parameters of Fe-C alloy

3.1單個(gè)等軸晶生長模擬

圖1（a）～（c）所示為具有不同擇優(yōu)取向的單枝晶形貌。對比3個(gè)方向的枝晶形貌發(fā)現(xiàn)，不同擇優(yōu)取向的二次枝晶形貌差別很大；生長時(shí)間相同的前提下，擇優(yōu)方向?yàn)?5°的等軸晶，其二次枝晶比其他兩個(gè)方向的生長慢。主要是網(wǎng)格各向異性引起的，還需進(jìn)一步改進(jìn)模型來減少網(wǎng)格各向異性對枝晶形貌的影響。

由圖1（d）中枝晶尖端生長速度與時(shí)間的關(guān)系曲線可見，在枝晶生長初期，尖端速度較大，隨著時(shí)間的延長，尖端速度迅速下降，到某一時(shí)刻之后，就會(huì)趨于恒定值，上下波動(dòng)小于0.1mm/s。其原因是枝晶生長初期，在過冷度作用下，枝晶快速生長，隨著生長的進(jìn)行，排出的溶質(zhì)富集在液固界面前沿，從而抑制枝晶尖端的生長。當(dāng)界面排出的溶質(zhì)速度與溶質(zhì)向外圍液相中擴(kuò)散的速度達(dá)到平衡時(shí)，枝晶尖端生長速度就會(huì)趨于恒定值。

圖1　Fe-0.04％C合金不同擇優(yōu)方向單枝晶形貌以及生長速度與時(shí)間的關(guān)系Fig.1　Single dendrite morphologies of different preferred directions of Fe-0.04％C：（a）0°；（b）30°；（c）45°；（d）Relationship between dendrite tip growth velocity and time

3.2多晶粒等軸晶生長模擬

模型設(shè)定時(shí)間步長1×10-6s。圖2所示為Fe-0.04％C合金在t=0.003 s和t=0.005 s時(shí)刻多晶粒等軸晶的生長形貌、固相溶質(zhì)濃度和液相溶質(zhì)濃度的分布。在凝固過程中，假定整個(gè)熔池是等溫的，且以20 K/s的恒定速度冷卻。

圖2（a）和（b）所示為多晶粒等軸晶的生長形貌。由圖2（a）可以看出，在枝晶生長初期，所有晶粒都沿著各自的擇優(yōu)方向生長，一次枝晶臂生長較快，部分晶粒在垂直方向上分枝出二次枝晶。隨著凝固的進(jìn)行，晶?？焖偕L，一次枝晶相遇幾乎停止生長，大量的二次和三次枝晶迅速生長并粗化，晶粒間相互制約，競爭生長，形成不對稱結(jié)構(gòu)，如圖2（b）所示。

圖2（c）和（d）所示為不同時(shí)刻固相溶質(zhì)濃度分布，右側(cè)襯度條則表示溶質(zhì)濃度值。由圖2（c）和（d）可以明顯看出，一次枝晶臂中固相溶質(zhì)濃度增高，且逐漸趨于穩(wěn)定值，二次、三次枝晶臂溶質(zhì)濃度高于一次枝晶臂的。在凝固初期，溶質(zhì)富集在二次枝晶臂根部，并隨著二次枝晶的生長，濃度逐漸降低，原因在于根部枝晶臂間相互交錯(cuò)形成的網(wǎng)狀空隙阻礙了溶質(zhì)的擴(kuò)散，而枝晶尖端溶質(zhì)可以很快擴(kuò)散到周圍液相中。隨著凝固的進(jìn)行，晶粒相互接觸，間隙中富集的溶質(zhì)最終形成固相，溶質(zhì)富集程度并不嚴(yán)重。

圖2（e）和（f）顯示溶質(zhì)富集的區(qū)域主要集中在枝晶臂包圍的區(qū)域，且區(qū)域越小，富集程度越高，最終出現(xiàn)晶界偏析。

3.3柱狀晶生長模擬

圖3所示為不同時(shí)刻柱狀晶形貌及實(shí)驗(yàn)觀察的顯微組織，時(shí)間步長為1×10-3s。由圖3可看出，柱狀晶生長初期，熔池壁上大量生核，這些晶核迅速生長并相互接觸，從而形成細(xì)等軸晶。隨后，界面前沿不穩(wěn)定的晶粒轉(zhuǎn)而以枝晶狀延伸生長，處于有利位置的枝晶優(yōu)先向內(nèi)伸展，并抑制相鄰枝晶。在逐漸淘汰掉不利位置晶體的過程中就發(fā)展形成柱狀晶時(shí)發(fā)現(xiàn)，熔池底部的柱狀晶比熔池邊緣的柱狀晶密集，且枝晶臂更細(xì)，主要是圓弧狀熔池形狀的影響。與實(shí)驗(yàn)照片對比發(fā)現(xiàn)，模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，但熔池壁兩側(cè)計(jì)算的柱狀晶在生長方向上與實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在差異，仍需改進(jìn)模型。

3.4耦合溫度場后柱狀晶向等軸晶生長的模擬

在以往研究中，顯微組織模擬過程假定溫度場恒定或均勻線性變化。而實(shí)際上，焊縫熔池中的溫度場呈階梯狀變化，從而影響了枝晶的生長形貌。為了真實(shí)地得到焊縫熔池凝固微觀組織的變化特點(diǎn)，本次模擬將變化的溫度場與柱狀晶向等軸相轉(zhuǎn)變（Columnar-toequiaxial transition, CET）相耦合。圖4所示為CET的溫度場和枝晶形貌，圖5所示為固液相溶質(zhì)濃度分布。

圖4（a）為耦合的宏觀溫度場，右側(cè)襯度條表示溫度值。由圖4（a）可以看到，焊縫中心溫度最高，靠近熔池邊緣，溫度逐漸降低，形成溫度梯度，這是熔池邊緣散熱的原因。并且由于熔池邊緣比熔池內(nèi)部散熱快，在熔池內(nèi)部的溫度梯度較小，越靠近熔池壁，溫度梯度越大。

對比圖4（b）和（c）可見，熔池形狀主要影響了柱狀晶的擇優(yōu)長大，對內(nèi)部等軸晶形貌幾乎無影響。金屬凝固理論認(rèn)為，柱狀晶生長時(shí)，其主軸具有嚴(yán)格的結(jié)晶位向。在圓弧熔池邊界，母材晶粒是各向異性的，當(dāng)柱狀晶主軸的結(jié)晶位向正好與母材晶粒的相匹配時(shí)，自然就有利于其成長。而矩形熔池邊界母材晶粒結(jié)晶位向相同，不能合理說明柱狀晶的擇優(yōu)生長，與凝固理論不符。

圖3　Fe-0.04％C合金在不同時(shí)刻柱狀晶形貌Fig.3　Columnar grains morphologies of Fe-0.04％C at different time：（a）t=0.1 s；（b）t=0.3 s；（c）t=0.5 s；（d）Weld microstructure

圖5所示分別為固相溶質(zhì)濃度和液相溶質(zhì)濃度分布，右側(cè)襯度條表示溶質(zhì)濃度。由圖5可以看出，表面細(xì)晶粒區(qū)的固相溶質(zhì)濃度最低，隨著柱狀晶的生長逐漸增高，主要富集在一次枝晶末端和二次枝晶間。同樣，等軸晶的枝晶尖端和二、三次枝晶間的固相溶質(zhì)濃度偏析程度最大。柱狀晶根部和等軸晶根部有液

相溶質(zhì)富集，而枝晶尖端液相溶質(zhì)濃度較低，且柱狀晶根部溶質(zhì)的富集程度要高于等軸晶根部的。主要原因在于枝晶根部的溶質(zhì)受到枝晶臂的阻礙不易擴(kuò)散到

熔池中，就會(huì)形成溶質(zhì)富集區(qū)，又由于熔池壁散熱較熔池中心快，凝固時(shí)排出的溶質(zhì)更多，所以柱狀晶根部溶質(zhì)富集程度高于等軸晶根部的。

圖4　Fe-0.04％C合金CET的溫度場和枝晶形貌Fig.4　Temperature field and dendrite morphologies of CET of Fe-0.04％C：（a）Temperature field；（b）Dendrite morphology of arc weld pool；（c）Dendrite morphology of rectangular weld pool

圖5　Fe-0.04％C合金CET的溶質(zhì)濃度分布Fig.5　Solute concentration distribution of CET of Fe-0.04％C：（a）Solid concentration distribution；（b）Liquid concentration distribution

4　結(jié)論

1）模擬了不同擇優(yōu)取向的單、多個(gè)等軸晶枝晶生長形貌和溶質(zhì)濃度分布。在凝固初期，枝晶尖端生長速度會(huì)迅速下降，當(dāng)?shù)侥骋粫r(shí)刻之后，就會(huì)趨于穩(wěn)定值生長，速度變化不超過0.1mm/s；取向角不同，枝晶形貌有很大差別，溶質(zhì)濃度主要分布在枝晶臂末端以及晶粒間接觸形成的晶界上。

2）再現(xiàn)了不同時(shí)刻柱狀晶生長形貌，生長初期表面細(xì)晶粒區(qū)形成小凸起，競爭生長逐漸明顯，處于有利位置的枝晶快速伸向液相區(qū)生長，隨著時(shí)間的延長，競爭逐漸減小，最后趨于穩(wěn)定生長，晶粒數(shù)目也逐漸減少，且由于熔池形狀的影響，熔池底部柱狀晶比熔池兩側(cè)更加細(xì)密，與理論預(yù)測以及實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好。

3）將變化的溫度場和CET過程耦合，可見熔池中心溫度呈階梯狀分布，本模型枝晶生長形貌較本文作者原先模型更符合凝固理論，以及溶質(zhì)主要富集在枝晶根部，且柱狀晶根部濃度高于等軸晶的，更接近實(shí)際凝固條件。

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（編輯李艷紅）

Simulation of dendritic growth and solute concentration distribution during solidification process of Fe-0.04％C alloy weld molten pool

ZHANG Min, LI Lu-lu, XU Ai-yan, LI Ji-hong
（School of Materials Science and Engineering, Xi’an University of Technology, Xi’an 710048, China）

Based on the diffusive interface model of dendritic growth, a new model of dendrite growth and solute concentration distribution of Fe-0.04％C （mass fraction）alloy was developed by the improved cellular automaton method, combined with the finite difference method, considered concentration field, temperature field and the shape of molten pool.This model simulated the growth morphologies of a single equiaxial crystal, the relationships between dendrite tip growth and time, multiple equiaxial crystals growth morphologies and solute concentration distribution, the growth of columnar crystal, columnar-to-equiaxed transition after coupling temperature field, and compared with the experimental results.The results indicate that the orientation angles have certain influence on dendrite morphologies, the dendrite tip growth rate tends to be stable with the extension of time in the end, the shape of molten pool influences the growth morphologies of columnar crystals, the solute concentrate in the dendrite roots and grain boundaries.The simulation results are in accord with the experimental ones well.

cellular automaton-finite difference method；dendrite growth；solute distribution；temperature distribution

TG402；TG113.12

A

1004-0609（2015）10-2854-09

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51274162）；國家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目（2013AA031303）

2014-10-20；

2015-08-07

張敏，教授，博士；電話：029-82312205；E-mail：zhmmn@xaut.edu.cn