莊惠芬

兒童在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中要經(jīng)歷小學(xué)—初中—高中這樣的發(fā)展階段，新課程實(shí)施以來(lái)，為了促進(jìn)各學(xué)段之間的銜接，九年義務(wù)教育分為三個(gè)學(xué)段，名稱(chēng)也相應(yīng)地改為第一學(xué)段—第二學(xué)段—第三學(xué)段，數(shù)學(xué)內(nèi)容的四個(gè)領(lǐng)域和課程目標(biāo)也有了銜接。但是在具體實(shí)施過(guò)程中，教材編者各自為政地編寫(xiě)、實(shí)施教學(xué)的教師也獨(dú)自在自己學(xué)段進(jìn)行研究，因此課程實(shí)施過(guò)程中出現(xiàn)了斷層、脫節(jié)、重復(fù)等現(xiàn)象。我們常常覺(jué)得學(xué)生的問(wèn)題解決意識(shí)與問(wèn)題解決能力弱，這是因?yàn)槊總€(gè)學(xué)段的編者和教者都沒(méi)有一種整體的視野，缺少一種從銜接視野的角度進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)模式的構(gòu)建。

PBL是Problem-Based Learning（基于問(wèn)題的學(xué)習(xí)）的縮寫(xiě)，是一種以問(wèn)題為驅(qū)動(dòng)力和以培養(yǎng)學(xué)習(xí)者問(wèn)題意識(shí)、批判性思維技巧以及問(wèn)題解決的實(shí)踐能力為主要目標(biāo)的學(xué)習(xí)。（胡慶芳、程克拉語(yǔ)）對(duì)學(xué)生而言，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，大抵都要經(jīng)歷問(wèn)題情境—數(shù)學(xué)問(wèn)題—建立模型—解釋拓展應(yīng)用—檢驗(yàn)等這樣的過(guò)程。發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題也成為新課程標(biāo)準(zhǔn)中的“四能”。如果能以PBL理念下基于問(wèn)題的學(xué)習(xí)作為兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)銜接的載體，那么通過(guò)對(duì)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方式與思維方式進(jìn)行有機(jī)整合和銜接，形成可操作的銜接策略，就能促進(jìn)兒童數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。

一、銜接學(xué)科本質(zhì)，重塑PBL數(shù)學(xué)教學(xué)的特點(diǎn)

PBL教學(xué)應(yīng)用在數(shù)學(xué)中，主要是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，即有數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)態(tài)度。其中數(shù)學(xué)能力主要是數(shù)學(xué)思維能力，還包括應(yīng)用數(shù)學(xué)方法觀察、分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力；數(shù)學(xué)態(tài)度則是相信數(shù)學(xué)，熱愛(ài)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)的態(tài)度以及大膽創(chuàng)新的態(tài)度，使其真正做到數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐，應(yīng)用于實(shí)踐。

1.情境性

基于問(wèn)題學(xué)習(xí)，采用有趣的方式（如瀏覽圖片、欣賞音樂(lè)、觀察實(shí)物、故意設(shè)疑、談話(huà)引導(dǎo)、現(xiàn)場(chǎng)游戲、案例分析、講故事、做實(shí)驗(yàn)等），巧妙地創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境。注重把學(xué)習(xí)置于具有挑戰(zhàn)的、有意義的問(wèn)題情境中，讓學(xué)生去經(jīng)歷、去感悟、去觀察、去理解、去認(rèn)識(shí)，最終掌握之；讓學(xué)生通過(guò)合作探索解決實(shí)際問(wèn)題，形成解決問(wèn)題的方法與策略，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，獲得自主學(xué)習(xí)的能力與數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

2.體驗(yàn)性

PBL數(shù)學(xué)教學(xué)模式主張以問(wèn)題為載體并貫穿整個(gè)教與學(xué)的過(guò)程中，在實(shí)踐中不斷優(yōu)化自主學(xué)習(xí)方法。這種教學(xué)方式要求學(xué)生親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓他們積極進(jìn)行探究和創(chuàng)造性思維活動(dòng)，使“主體”真正地主動(dòng)聯(lián)系已有的知識(shí)、技能、經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行有理有據(jù)的猜想、推理，一絲不茍地研究、分析，不拘一格地創(chuàng)想、創(chuàng)造，在這個(gè)過(guò)程中不斷變換角度、思路進(jìn)行審視、調(diào)整，自我否定、自我修正。在這個(gè)過(guò)程中認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題，面對(duì)實(shí)際問(wèn)題，組織學(xué)生采取板演、講解、對(duì)話(huà)、挑戰(zhàn)、辯論、評(píng)價(jià)等多種形式展示交流，彼此思維碰撞，點(diǎn)燃創(chuàng)新火花，建立合適的數(shù)學(xué)模型，用積累的解決問(wèn)題策略、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)探索其應(yīng)用價(jià)值。

3.思維性

在PBL數(shù)學(xué)教學(xué)模式的建構(gòu)中，真正讓學(xué)生得益的是獲得數(shù)學(xué)的思想精神、浸潤(rùn)數(shù)學(xué)的文化力量、習(xí)得科學(xué)的數(shù)學(xué)思維方式。在問(wèn)題解決過(guò)程中，通過(guò)觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)、推向、歸納、類(lèi)比等過(guò)程獲得探究的思想與思路，并能進(jìn)一步驗(yàn)證、拓展和應(yīng)用。在這個(gè)過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生有條有理地表達(dá)、有根有據(jù)地探索，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行合乎邏輯地質(zhì)疑和思辨。在這個(gè)過(guò)程中，不僅獲得知識(shí)，更多的是獲得一種思維方式，做到心中有數(shù)、自我完善、自我激勵(lì)。

4.模型化

廣義地說(shuō)，數(shù)學(xué)即模型，基于PBL理念下的問(wèn)題解決過(guò)程就是學(xué)生針對(duì)數(shù)學(xué)概念、規(guī)律等特征，以及數(shù)量間的關(guān)系，進(jìn)行建立模型的過(guò)程。因此基于PBL理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)，是從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，不斷經(jīng)歷問(wèn)題情境—建立模型—解釋?zhuān)簩?duì)模型求解—應(yīng)用與拓展的過(guò)程。兒童經(jīng)歷的這個(gè)過(guò)程就是對(duì)數(shù)學(xué)模型建立、理解、運(yùn)用、把握的過(guò)程，利用數(shù)學(xué)的思想方法、知識(shí)技能、經(jīng)驗(yàn)策略解決問(wèn)題的過(guò)程。

5.思想性

在PBL理念的指導(dǎo)下，我們看到的是數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的充分體現(xiàn)，理趣與情趣的交融、思維和思想的生成?！扒笳妗保鹤寣W(xué)生擁有數(shù)學(xué)的頭腦，從數(shù)學(xué)中尋找真理的力量，放手讓他們自己去實(shí)驗(yàn)、自己去爭(zhēng)辯、自己去探索，學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度思考問(wèn)題。“臻善”：汲取數(shù)學(xué)的精神養(yǎng)分，讓學(xué)生從理性精神中汲取力量，從歷史演進(jìn)中汲取力量?！吧忻馈保悍窒頂?shù)學(xué)世界的美妙、數(shù)學(xué)方法的優(yōu)美、解決問(wèn)題過(guò)程中思路的簡(jiǎn)潔、不同視角的獨(dú)特、不同方法的殊途同歸、探索過(guò)程的一波三折、問(wèn)題結(jié)果的出人意料。

二、銜接課程旨?xì)w，重覓PBL數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容

“銜接”是按照數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的內(nèi)在聯(lián)系，將數(shù)學(xué)課程內(nèi)容進(jìn)行核心內(nèi)容的梳理、思維方式的有機(jī)結(jié)合，在這過(guò)程中關(guān)照知識(shí)的銜接、心理的調(diào)適、方法的指導(dǎo)、行為的跟進(jìn)、思想的順應(yīng)、生活的適應(yīng)，建構(gòu)促進(jìn)兒童可持續(xù)發(fā)展的課程內(nèi)容和教學(xué)素材。

1.立足數(shù)學(xué)模型解讀內(nèi)容

（1）從局部到整體。從知識(shí)的一棵樹(shù)到體系的一片林，我們往往是一課時(shí)一課時(shí)展開(kāi)教學(xué)，卻忘記背后的體系，所以解讀內(nèi)容需要有結(jié)構(gòu)化的眼光、體系化的視野。

（2）從意義到結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)即模型，數(shù)學(xué)即抽象了的結(jié)構(gòu)，在兒童理解數(shù)學(xué)的意義基礎(chǔ)上需要進(jìn)行必要的抽象和模型建構(gòu)。

（3）從結(jié)構(gòu)到思想。按照具體情境，經(jīng)歷探索過(guò)程，建立模型，解釋拓展運(yùn)用。讓學(xué)生借助直觀體驗(yàn)，進(jìn)行猜想、舉例驗(yàn)證，運(yùn)用多種策略解決問(wèn)題。

（4）從探究到應(yīng)用。在基于問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，注重的是解決問(wèn)題的情景和背景，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，同時(shí)突出運(yùn)用數(shù)學(xué)模型不斷解釋、拓展、解決新的問(wèn)題。

（5）從建構(gòu)到解構(gòu)。在數(shù)學(xué)建構(gòu)過(guò)程中，學(xué)生不斷豐富和完善自己的觀點(diǎn)和模型，并在解決問(wèn)題的過(guò)程中不斷取舍完善、體會(huì)結(jié)構(gòu)的合理性。

2.立足數(shù)學(xué)建模把握價(jià)值

教材對(duì)于教師與學(xué)生來(lái)說(shuō)，是冰冷的文本、是靜態(tài)的結(jié)果、是抽象的內(nèi)容，在編排中也是一種封閉的回環(huán)的體例。小學(xué)教師要用課程的視野進(jìn)行同一內(nèi)容不同學(xué)段的銜接，梳理不同學(xué)段的內(nèi)容脈絡(luò)，將冰冷的文本化作火熱的思考。

（1）從知識(shí)擴(kuò)充中把握規(guī)律本質(zhì)。在小學(xué)階段的運(yùn)算律教學(xué)中，有學(xué)生詢(xún)問(wèn)為什么有乘法運(yùn)算律、加法運(yùn)算律，卻沒(méi)有除法和減法運(yùn)算律，只有運(yùn)算性質(zhì)呢？其實(shí)，如果用銜接的視野來(lái)看，就會(huì)發(fā)現(xiàn)在自然數(shù)集中，減法、除法與加法、乘法互為逆運(yùn)算；如果學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)，那么減法不就自然變成了加法；如果學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)除法，除法不就轉(zhuǎn)化成了乘法。因此，減法和除法的運(yùn)算性質(zhì)是流，而不是源。

（2）從數(shù)學(xué)模型中抽象方法模型。教材的編排有一個(gè)共同的特點(diǎn)，會(huì)讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中有幾種方法、幾種不同的思路；在備教材過(guò)程中，對(duì)核心問(wèn)題的提出非常關(guān)鍵，在讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同思路的同時(shí)更要讓學(xué)生知道觀察結(jié)果的相同，并且理清為什么結(jié)果會(huì)相同，不同中的相同，偶然中的必然。在建立模型的基礎(chǔ)上要讓學(xué)生舉例驗(yàn)證、拓展運(yùn)用，在解決新問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)與之前模型的相同與不同，不斷經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題—實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證—得出結(jié)論—拓展應(yīng)用的過(guò)程。

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，因此在銜接中要注重?cái)?shù)與形兩大方面的相互銜接，要注意在內(nèi)容上的“瞻前顧后”，方法上的“上銜下接”，思想上的“左顧右盼”，著力凸現(xiàn)出“創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境—現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化—問(wèn)題解決與數(shù)學(xué)建模—應(yīng)用與拓展”的邏輯結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)“讓學(xué)生做數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)”的價(jià)值取向。

三、銜接教學(xué)程序，重建PBL數(shù)學(xué)教學(xué)的模式

PBL數(shù)學(xué)教學(xué)方式是以問(wèn)題為起點(diǎn)，以學(xué)習(xí)者為中心，置身于真實(shí)情境中的問(wèn)題式的學(xué)習(xí)。PBL數(shù)學(xué)教學(xué)方式以學(xué)生作為問(wèn)題的解決者和知識(shí)能力的建構(gòu)者，有學(xué)生個(gè)人、小組和集體的討論、探索、表達(dá)的機(jī)會(huì)，是一種以自主學(xué)習(xí)為核心解決問(wèn)題的教學(xué)模式。

1.基于“模型建構(gòu)”的教學(xué)

PBL課堂教學(xué)的特點(diǎn)：重自主、重體驗(yàn)、重童性、重素養(yǎng)、重人格?；窘虒W(xué)模式：

[原型喚醒] → [問(wèn)題簡(jiǎn)化] → [經(jīng)歷創(chuàng)造] → [協(xié)作會(huì)話(huà)] → [拓展延伸]

（1）“原型喚醒”，讓學(xué)生親身體驗(yàn)生活，讓學(xué)生主動(dòng)獲取真實(shí)信息，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)。

（2）“問(wèn)題簡(jiǎn)化”，意義賦予，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題簡(jiǎn)化的過(guò)程。

（3）“經(jīng)歷創(chuàng)造”，創(chuàng)設(shè)一些把所學(xué)知識(shí)運(yùn)用到生活實(shí)際的環(huán)境，來(lái)促進(jìn)學(xué)生把數(shù)學(xué)模型建構(gòu)得更好，感受數(shù)學(xué)之真。

（4）“協(xié)作會(huì)話(huà)”，主要通過(guò)兒童、文本、教師三者之間的有效協(xié)作，體悟數(shù)學(xué)之美，為兒童合理建模奠定基礎(chǔ)，在兒童的世界里共生。

（5）“拓展延伸”，通過(guò)尋找知識(shí)與學(xué)生生活的最佳結(jié)合點(diǎn)，豐富兒童心智，完善兒童人格，獲得數(shù)學(xué)之善。

學(xué)生在真實(shí)情境中將生活問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，不同的學(xué)生采用不同的方法，學(xué)習(xí)過(guò)程圍繞問(wèn)題展開(kāi)，把現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題所包含的數(shù)學(xué)知識(shí)、規(guī)律抽象出來(lái)，建成數(shù)學(xué)模型，讓兒童在問(wèn)題、挑戰(zhàn)、挫折、取勝中交替體驗(yàn)，在選擇、判斷、協(xié)作、交流的輪換操作中經(jīng)歷，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、建立模型、解釋拓展應(yīng)用，走向新的學(xué)、用知識(shí)的過(guò)程。

2.基于“學(xué)習(xí)共同體”的教學(xué)

案例：有一次來(lái)家中抄天然氣表的阿姨無(wú)意間說(shuō)：“這個(gè)月，你家的天然氣用量怎么比往常增加了？”讓一凡同學(xué)產(chǎn)生了思考：是不是我家的天然氣存在浪費(fèi)現(xiàn)象？如何研究？

一凡和大家共同研究：在相同的條件下，煮沸相同器皿中相同水量的水，天然氣的耗量與天然氣點(diǎn)火旋鈕的角度打開(kāi)度是否有關(guān)系。經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)旋鈕開(kāi)度為30°～45°和135°～150°時(shí)，天然氣耗量最少。由此可以得出結(jié)論，減小天然氣流量，適當(dāng)延長(zhǎng)加熱時(shí)間，具有節(jié)氣的效果。

這是一種類(lèi)似于數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)的模式，形成“基于數(shù)學(xué)、源于數(shù)學(xué)、始于課堂、源于生活”的教學(xué)模式。教學(xué)內(nèi)容和教材內(nèi)容緊密聯(lián)系并進(jìn)一步拓展深化，主要有生活問(wèn)題、社會(huì)問(wèn)題、實(shí)踐問(wèn)題三類(lèi)。在這個(gè)過(guò)程中，注重?cái)?shù)學(xué)模型的建構(gòu)、數(shù)學(xué)思想的滲透，不斷從單項(xiàng)模型深化為模型群。比如：（1）手機(jī)收費(fèi)“全球通88系列套餐”選擇的分析；（2）自行車(chē)與兒童身高的問(wèn)題；（3）小動(dòng)作大作用——談改裝后抽水馬桶的節(jié)能；（4）游園路線(xiàn)；（5）安全疏散模型；（6）大課間學(xué)生行進(jìn)的最佳路線(xiàn)；（7）峰谷電合算不合算？（8）紅綠燈的時(shí)間分配合理嗎？等等。數(shù)學(xué)模型問(wèn)題應(yīng)運(yùn)而生。在這個(gè)過(guò)程中，不僅有數(shù)與式的運(yùn)算、數(shù)量關(guān)系的抽象、數(shù)據(jù)分析的明晰、空間與圖形的想象，還伴隨著觀察、分析、判斷、分析、概括、選擇、統(tǒng)計(jì)等諸多方面。

3.基于“模塊整理”的教學(xué)

在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中，我們也研制了“加減乘除的整理”“圖形之間的關(guān)系”“運(yùn)算律的整理”等。“數(shù)學(xué)整理課教學(xué)模式”中諸環(huán)節(jié)和心理機(jī)制、認(rèn)知規(guī)律之間的基本關(guān)系可用下表表示：

這樣基于問(wèn)題學(xué)習(xí)的整理課，不同內(nèi)容有所不同，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程，重在銜接模型之間的聯(lián)系與溝通，即在單個(gè)模型的基礎(chǔ)上，把相關(guān)聯(lián)的各個(gè)模型構(gòu)建成一個(gè)數(shù)學(xué)模塊，形成一個(gè)網(wǎng)絡(luò)式的模塊體系。在這個(gè)過(guò)程中，知識(shí)的整理是載體、模型群的建立是關(guān)系、方法鏈的銜接為要義，要在學(xué)生的頭腦中形成知識(shí)框架、方法結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)模型。

4.基于“情境問(wèn)題”的教學(xué)

從設(shè)置數(shù)學(xué)情景—提出數(shù)學(xué)問(wèn)題—解決數(shù)學(xué)問(wèn)題—注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用，基于問(wèn)題的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能夠通過(guò)好問(wèn)題場(chǎng)的設(shè)置，讓兒童親身體驗(yàn)、自主探究，實(shí)現(xiàn)“提出問(wèn)題─解決問(wèn)題─提出新問(wèn)題─解決新問(wèn)題”的螺旋式發(fā)展，獲得發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的思維方式，對(duì)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)有著直觀和深刻的理解和把握。

模式的核心是問(wèn)題的提出，將兒童的問(wèn)題意識(shí)、問(wèn)題能力貫穿于學(xué)習(xí)過(guò)程中，讓兒童能從發(fā)散性提出問(wèn)題—主題性提出問(wèn)題—自主創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境中不斷發(fā)展。內(nèi)在聯(lián)系：創(chuàng)設(shè)情境是前提，提出問(wèn)題是核心，解決問(wèn)題是目標(biāo)，應(yīng)用知識(shí)是歸宿。

PBL強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，學(xué)生學(xué)得輕松、理解得透、掌握得牢、應(yīng)用得趣，創(chuàng)想有樂(lè)；讓我們啟迪智慧、開(kāi)發(fā)悟性、挖掘潛能、培養(yǎng)能力、陶冶情操，基于問(wèn)題的學(xué)習(xí)讓學(xué)生享受貫通的酣暢、豁然開(kāi)朗的喜悅、自主建構(gòu)的興奮、應(yīng)用自如的徜徉，讓課堂成為學(xué)生快樂(lè)的生命之旅！