相關(guān)K分布雜波中擴展目標(biāo)積累檢測性能分析

何松華 朱燕 張軍

摘要：針對時空相關(guān)K分布（CKD）雜波背景中擴展目標(biāo)的滑窗積累檢測（SWAD）與順序統(tǒng)計滑窗積累檢測（OSSWAD）的性能分析問題，采用廣義K分布擬合、矩匹配、相關(guān)數(shù)據(jù)中的有效樣本尺寸估計以及分?jǐn)?shù)階順序統(tǒng)計等方法，獲得了零假設(shè)條件下檢驗統(tǒng)計量的概率分布函數(shù)的擬合表達式，建立了虛警概率、恒虛警檢測門限以及雜波參數(shù)之間的關(guān)系方程，并通過蒙特卡羅仿真實驗對各種概率分布函數(shù)的擬合精度以及給定檢測門限下的虛警控制精度進行了評估。理論分析與仿真實驗表明本文提出的方法是合理和有效的。

關(guān)鍵詞：K分布；相關(guān)雜波；擴展目標(biāo)；目標(biāo)檢測；順序統(tǒng)計

中圖分類號：TN958 文獻標(biāo)識碼：A

在高分辨雷達中，雜波用K分布進行擬合時可以獲得較好的擬合精度＼[1-3＼]，因此，K分布雜波背景中的目標(biāo)檢測方法研究對于寬帶高距離分辨力雷達以及合成孔徑雷達具有重要意義。但是，目前的檢測方法及其性能分析主要針對K分布雜波背景中的點目標(biāo)或高斯雜波背景中的擴展目標(biāo)＼[1＼]，相關(guān)K分布（CorrelatedK Distribution， CKD）雜波背景中的擴展目標(biāo)檢測方法及其檢測性能分析依然是一個沒有完全解決的問題。

對于高分辨雷達，由于實時性要求以及計算資源的限制，CKD雜波參數(shù)以及擴展目標(biāo)多散射中心參數(shù)的最大似然估計難以實現(xiàn)，最優(yōu)檢測方法難以應(yīng)用。因此，在制導(dǎo)雷達中，一般采用次優(yōu)的、低運算開銷的目標(biāo)檢測方法，距離滑窗積累檢測方法就是其中的重要方法之一＼[4＼]。距離滑窗積累檢測方法目前存在的一個重要問題是：對于相關(guān)非高斯分布，積累檢測統(tǒng)計量的概率分布難以推導(dǎo)，這給檢測性能的分析以及檢測門限的合理設(shè)置帶來一定的困難。

湖南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）2015年

第10期何松華等：相關(guān)K分布雜波中擴展目標(biāo)積累檢測性能分析

本文針對滑窗積累以及順序統(tǒng)計滑窗積累兩種檢測方法，基于廣義K分布擬合、矩匹配、相關(guān)數(shù)據(jù)中的有效獨立數(shù)據(jù)以及分?jǐn)?shù)階順序統(tǒng)計等方法，推導(dǎo)了CKD雜波、零假設(shè)條件下檢驗統(tǒng)計量的概率密度分布的擬合表達式，給出了虛警概率以及恒虛警檢測門限的估算方法，并通過理論分析與仿真試驗證明了本文方法的有效性。

1CKD雜波中目標(biāo)檢測的信號模型

設(shè)雷達在第n周期獲得的復(fù)值一維距離像數(shù)據(jù)為{x（m，n）|m=0，1，…，M-1；n=0，1，…，N-1}，m為距離分辨單元序號。如果存在目標(biāo)，則目標(biāo)在一維距離像中可能占據(jù)多個距離分辨單元。此時，對于非稀疏目標(biāo)，目標(biāo)信號可以表示為：

q（m，n）=qR（m，n）+jqI（m，n），m1≤m≤m2，0≤n≤N-1；

0，otherwise。（1）

式中：m1和m2分別為擴展目標(biāo)在徑向距離方向的起始序號及終止序號；j=-1。

根據(jù)CKD分布雜波模型，時空相關(guān)雜波信號可以表示為：

ε（m，n）=ηm，n[wR（m，n）+jwI（m，n）]。（2）

式中：wR（m，n）和wI（m，n）分別為零均值和單位方差正態(tài)分布隨機過程，并假設(shè)實部隨機過程wR（m，n）與虛部隨機過程wI（m，n）相互獨立；ηm，n為滿足形狀參數(shù)為v，尺度參數(shù)為b的Gamma分布隨機變量。其概率密度分布形式為：

fηm，n（τ）=bvΓ（v）τv-1exp（-bτ），τ≥0。（3）

假設(shè)對不同的m或n，這些Gamma分布隨機變量之間是相互獨立的；因此，雜波的時空二維相關(guān)性通過wR（m，n）或wI（m，n）的相關(guān)函數(shù)來體現(xiàn)。容易證明：雜波幅度|ε（m，n）|服從如下K分布＼[5＼]：

f|ε（m，n）|（ξ）=2bΓ（v）2v-1（2bξ）vKv-1（2bξ），

ξ≥0。（4）

式中：Kv-1（）為第2類v-1階修正的貝塞爾函數(shù)。

目標(biāo)檢測問題歸結(jié)為如下假設(shè)檢驗問題：

H0：x（m，n）=ε（m，n），0≤m≤M-1；

0≤n≤N-1；

H1：x（m，n）=

ε（m，n），0≤mm2；0≤n≤N-1；

q（m，n）+ε（m，n），

m1≤m≤m2；0≤n≤N-1。

假設(shè)目標(biāo)最大可能的徑向長度以及最小可能的徑向長度分別為mDmax，mDmin，即

mDmin≤m2-m1≤mDmax。

假設(shè)ε（m，n）為白色高斯隨機過程，假設(shè)目標(biāo)散射截面分布的稀疏性不是很嚴(yán)重，則根據(jù)約束情況下經(jīng)典線性模型的最大似然檢測理論[4]，對目標(biāo)徑向起始單元m1，可以按圖1構(gòu)造假設(shè)檢驗問題所對應(yīng)的最優(yōu)檢驗統(tǒng)計量：

TG（X，m1）=∑N-1n=0∑m1+mDmin-1m=m1x（m，n）2∑N-1n=0∑m1-1m=0x（m，n）2+∑N-1n=0∑M-1m=m1+mDmaxx（m，n）2。 （5）

式中：分子為檢驗區(qū)累積信號功率；分母為參考區(qū)累積信號功率。如果ε（m，n）為相關(guān)、非高斯隨機過程或目標(biāo)散射截面的分布比較稀疏，則上述檢測器不是最優(yōu)的。由于結(jié)構(gòu)簡單、運算開銷低，依然用于制導(dǎo)雷達目標(biāo)檢測等實時應(yīng)用情況?？紤]到在實際應(yīng)用過程中，雜波可能存在非均勻性，參考區(qū)離檢驗區(qū)不能太遠，也不能太近，一般將圖1進行修正，如圖2所示。

圖1m1單元檢測框圖

Fig。1Testing block diagram of cellm1

圖2修正的m1單元檢測框圖

Fig。2Modified testing block diagram of cellm1

在式（5）基礎(chǔ)上，對單元功率進行歸一化，修正如下：

T（X，m1）=

1NMDmin∑N-1n=0∑m1+mDmin-1m=m1x（m，n）21NM′∑N-1n=0∑m1-M″/2m=m1-M″/2-M′/2x（m，n）2+∑N-1n=0∑m1+mDmin+M″/2+M′/2m=m1+mDmin+M″/2x（m，n）2。（6）

式中：M′/2為左右兩端參考區(qū)的分辨單元數(shù)；M″/2為檢驗區(qū)兩側(cè)的保護區(qū)單元數(shù)（M″>mDmax-mDmin）。采用滑窗方式對m1從小到大進行搜索，如果對于某個m1，TG（X，m1）超過某個檢測門限，則做出如下判斷：存在以m1為起始單元、最大可能長度為mDmax、最小可能長度為mDmin的擴展目標(biāo)。

對于強干擾（假目標(biāo)干擾）及多目標(biāo)情況，為了過濾檢驗區(qū)兩端的強干擾，避免強干擾抬高參考區(qū)的功率電平導(dǎo)致檢測性能下降，可以在參考區(qū)采用順序統(tǒng)計，此時的檢驗統(tǒng)計量修正為：

TL（X，m1）=1NmDmin∑N-1n=0∑m1+mDmin-1m=m1x（m，n）2SL（m1）。（7）

將參考區(qū)每個單元的功率按從小到大的排序，即：

Ω=[m1-M″/2-M′/2，m1-M″/2]∪[m1+mDmin+M″/2，m1+mDmin+M″/2+M′/2]。

設(shè)其中排序為第L的功率值1N∑N-1n=0|x（m，n）|2為SL（m1）。

2CKD雜波中滑窗積累檢測器的性能分析

基于滑窗積累的距離擴展目標(biāo)檢測需要解決的一個重要問題是CKD雜波情況下的檢測門限設(shè)計與檢測性能分析。嚴(yán)格來講，多個CKD隨機變量之和的概率密度分布的推導(dǎo)是很困難的。但是，在檢測系統(tǒng)中，必須建立虛警概率與檢測門限以及檢測門限與雜波參數(shù)（形狀/尺度參數(shù)、時間/空間相關(guān)系數(shù)等）之間的關(guān)系方程，以便目標(biāo)檢測器根據(jù)不同雜波參數(shù)實時地選擇合適的檢測門限；要建立上述關(guān)系方程，必須對檢驗統(tǒng)計量的概率密度分布函數(shù)進行精確、合理的近似。

將多個K分布隨機變量之和的概率密度分布用恰當(dāng)參數(shù)的GKD來擬合時，概率分布函數(shù)之間的誤差可以忽略不計＼[6＼]。因此可采用GKD擬合法對檢測性能進行準(zhǔn)確、合理地預(yù)估。遺憾的是，目前尚未建立GKD的參數(shù)與空/時二維CKD參數(shù)之間的定量關(guān)系。本文采用矩匹配方法給出了GKD的參數(shù)與空/時CKD雜波參數(shù)之間的關(guān)系。設(shè)rw（α，β）為K分布雜波散斑分量wR（m，n）或wI（m，n）的二維時空自相關(guān)函數(shù)，假設(shè)其滿足如下平穩(wěn)性質(zhì)：rw（α，β）=E[wR（m+α，n+β）wR（m，n）]。進一步假設(shè)二維時空相關(guān)是可分離的，則二維相關(guān)函數(shù)可簡化為：

rw（α，β）=e-|α|/ae-|β|/b。（8）

式中：a，b分別為雜波的歸一化相關(guān)距離（雜波相關(guān)距離/距離分辨單元寬度）以及歸一化相關(guān)時間（雜波相關(guān)時間/距離像序列的周期）。

根據(jù)式（3），即gamma分布矩特征可知：

E[ηm，n]=∫

SymboleB@ 0τfηm，n（τ）dτ=vb；

E[ηm，n2]=v2b2+vb2；

D[ηm，n]=E[ηm，n2]-（E[ηm，n]）2=vb2。

聯(lián)合零均值、單位方差正態(tài)分布隨機過程矩特性，推導(dǎo)出式（2）即時空CKD雜波具有如下矩特性：

E[|ε（m，n）|2]=E[ηm，n]E[w2R（m，n）+

w2I（m，n）]=2vb。（9）

E[|ε（m，n）|4]=E[η2m，n]×

E{[w4R（m，n）+2w2R（m，n）w21（m，n）+

w41（m，n）]2}=8v2b2+8vb2。（10）

D[|ε（m，n）|2]=E[|ε（m，n）|4]-

{E[|ε（m，n）|2]}2=4v2b2+8vb2。（11）

將式（6）的分子、分母同乘b/2v（K分布雜波平均功率的倒數(shù)）進行歸一化，并將歸一化的分子、分母分別用ST，SC表示。

在零假設(shè)（無目標(biāo)）下，ST可以用形狀參數(shù)為β1=βT1，β2=βT2=NmDmin（每個分辨單元的累積次數(shù)，與文獻＼[7＼]中的次數(shù)類似）、尺度參數(shù)為bg=bT的GKD隨機變量來擬合，其概率密度分布函數(shù)為＼[1，5＼]：

f（β1，β2，bg；ξ）=

2Γ（β1）Γ（β2）bβ1+β2gξ（β1+β2）/2-1Kβ2-β1（2bgξ）。（12）

根據(jù)式（6） （并利用時空CKD雜波的矩特性）以及GKD的概率密度分布式（12）求ST的數(shù)學(xué)期望與方差的表達式，根據(jù)矩匹配原理，即

E[ST]=βT1βT2/b2T；

D[ST]=βT1βT2b2T21βT1+1βT2+1βT1βT2。

計算得到：

βT1=NmDmin（NmDmin+1）v/{2NmDmin+

v×∑m，u∈[0，MDmin-1]m≠uk，t∈[0，N-1]r2w（|m-u|，|k-t|）+

v×mDmin∑k，t∈[0，N-1]k≠tr2w（0，|k-t|）}。（13）

bT=βT1βT2。（14）

同理，SC可以用一個形狀參數(shù)為β1=βC1，β2=βC2=NM′，尺度參數(shù)為bg=bC的GKD隨機變量來擬合，其概率密度分布函數(shù)同式（12）。根據(jù)矩匹配原理容易得到：

βC1=NM′（NM′+1）v/{2NM′+

v×∑m，u∈Ωm≠uk，t∈[0，N-1]r2w（|m-u|，|k-t|）+

v×M′∑k，t∈[0，N-1]k≠tr2w（0，|k-t|）}；（15）

bC=βC1βC2。（16）

可以證明，參數(shù)為β1，β2，bg的GKD隨機變量的累積分布函數(shù)為＼[7＼]：

F（β1，β2，bg；ξ）=πcsc[π（β2-β1）]×{（b2gξ）β1[1F2（β1；1+β1-β2，1+β1；b2gξ）]Γ（β2）Γ（1+β1-β2）Γ（1+β1）-（b2gξ）β2[1F2（β2；1+β2-β1，1+β2；b2gξ）]Γ（β1）Γ（1+β2-β1）Γ（1+β2）}，ξ≥0。（17）

式中：pFq（·）為超幾何函數(shù)。

由于檢驗區(qū)與參考區(qū)之間相隔一定的間隔，忽略它們之間的相關(guān)性，根據(jù)兩個隨機變量之商的概率密度關(guān)系，可以得到虛警概率PF1（ST>rD1SC的概率）與檢測門限r(nóng)D1的關(guān)系方程為：

∫

SymboleB@ 0∫

SymboleB@ ξ rD1f（βT1，βT2，bT；ξ1）dξ1×f（βC1，βC2，bC；ξ）dξ}=

∫

SymboleB@ 0{f（βC1，βC2，bC；ξ）×[1-F（βT1，βT2，bT；ξ rD1）]dξ}=

PF1。（18）

運用GKD函數(shù)的數(shù)值積分計算方法，可以針對給定的PF1以及不同形狀參數(shù)或相關(guān)系數(shù)，以離線方式計算rD1并以表格形式存儲于雷達存儲器中，通過查表及內(nèi)插運算就可以根據(jù)實時估計得到的雜波參數(shù)選擇合適的檢測門限。

3CKD雜波中順序統(tǒng)計滑窗積累檢測器

的性能分析

在式（12）-（14）中，令mDmin=1，每個雜波單元的功率平均值乘以系數(shù)b/2v后可以用參數(shù)為β1=βA1，β2=βA2=N，Bg=bA的GKD來擬合，即

βA1=N（N+1）v2N+v∑k，t∈[0，N-1]k≠tr2w（0，|k-t|）；（19）

bA=βA1βA2。（20）

在考慮相關(guān)性的情況下，假設(shè)M′個相關(guān)數(shù)據(jù)所包含的信息相當(dāng)于Me′獨立數(shù)據(jù)所包含的信息，Me′

fL（βA1，βA2，bA；ξ）=Γ（Me′+1）Γ（L′）Γ（Me′-L′+1）×

FL′-1（βA1，βA2，bA；ξ）×

[1-F（βA1，βA2，bA；ξ）]Me′-L′×

f（βA1，βA2，bA；ξ），ξ≥0。（21）

顯然，在式（21）中并不限定Me'，L'為整數(shù)，本文稱之為相關(guān)數(shù)據(jù)的分?jǐn)?shù)階順序統(tǒng)計。對于上述分?jǐn)?shù)階順序統(tǒng)計，容易得到SL（m1）的累積分布函數(shù)分別為：

FL（βA1，βA2，bA；ξ）=∫ξ0fL（βA1，βA2，bA；θ）dθ=

Γ（Me′+1）Γ（L′）Γ（Me′-L′+1）×

∫F（βA1，βA2，bA；ξ）0sL′-1（1-s）Me′-L′ds。（22）

Me′稱為相關(guān)數(shù)據(jù)的有效樣本尺寸，文獻＼[8-9＼]表示，Me′/M′可以定義為獨立情況下樣本均值的方差與相關(guān)情況下樣本均值的方差之間的比值，將上述原理推廣到本文的CKD雜波背景中的滑窗積累順序統(tǒng)計檢測情況，可定義為：

Me′=M′×D∑m∈Ω∑N-1n=0|x（m，n）|2|獨立變量

D∑m∈Ω∑N-1n=0|x（m，n）|2|相關(guān)變量。

根據(jù)GKD分布的統(tǒng)計性質(zhì)容易推導(dǎo)得到：

M′e=M′×[2+vv+1N∑k，t∈[0，N-1]k≠tr2w（0，|k-t|）+

M′-1N∑k，t∈[0，N-1]r2w（

SymboleB@ ，|k-t|）]/

[2+vv+1N∑k，t∈[0，N-1]k≠tr2w（0，|k-t|）+

1NM′∑m，u∈Ωm≠uk，t∈[0，N-1]r2w（|m-u|，|k-t|）]。（23）

當(dāng)檢驗區(qū)與參考區(qū)之間的間隔足夠遠時，忽略它們的相關(guān)性，則虛警概率PF2（ST>rD2SL（m1）的概率）與檢測門限r(nóng)D2的關(guān)系為：

∫

SymboleB@ 0{∫

SymboleB@ ξ rD2f（βT1，βT2，bT；ξ1）dξ1×

fL（βA1，βA2，bA；ξ）dξ}=

∫

SymboleB@ 0{[1-F（βT1，βT2，bT；ξrD2）]×

fL（βA1，βA2，bA；ξ）dξ}=PF2。（24）

運用數(shù)值積分計算方法，可以針對給定的PF2，得到檢測門限與雜波形狀參數(shù)或相關(guān)系數(shù)之間的關(guān)系。

4仿真結(jié)果舉例

根據(jù)某典型應(yīng)用背景，設(shè)定仿真參數(shù)如表1所示。

表1仿真參數(shù)

Tab。1Simulation parameter

目標(biāo)最大/小徑向長度

mDmax

/mDmin

參考區(qū)M′

/保護區(qū)長度M″

積累周期

數(shù)N

10/5

12/8

10

雜波歸一化相關(guān)距離a

/相關(guān)時間b

雜波形狀v

/尺度參數(shù)b

順序統(tǒng)計排序

長度L

2。5/2

1/2

5

在每一次蒙特卡羅仿真實驗中，按照文獻＼[10＼]提供的空時CKD的仿真方法生成二維復(fù)數(shù)相關(guān)雜波數(shù)據(jù){x（m，n）|m=0，1，…，24；n=0，1，…，9}，共進行105次蒙特卡羅實驗，以m∈[10，14]為檢驗區(qū)，以m=[0，5]∪[19，24]為參考區(qū)，m∈[6，9]∪[15，18]為檢驗區(qū)與參考區(qū)之間的保護區(qū)。對變量ξ1=150∑9n=0∑14m=10|x（m，n）|2值進行采樣與頻數(shù)統(tǒng)計，得到累積分布函數(shù)（CDF）為G1（ξ1）；對變量ξ2=1120∑9n=0∑m∈Ω|x（m，n）|2值進行采樣與頻數(shù)統(tǒng)計，得到累積分布函數(shù)為G2（ξ2）；每次實驗中，對參考區(qū)的所有m，計算110∑9n=0|x（m，n）|2，將M′個值從小到大排列，得到排序為第L的值ξ3，對該值進行采樣與頻數(shù)統(tǒng)計，得到累積分布函數(shù)G3（ξ）。

按矩匹配公式計算得到：βT1=8。958 1，βT2=50，bT=21。163 8；βC1=23。087 5，βC2=120，bC=52。635 5；βA1=3。691 5，βA2=10，bA=6。075 8；Me′=7。652，L′=3。188 5。

采用數(shù)值積分方法分別計算F（βT1，βT2，bT；ξ），F(xiàn)（βC1，βC2，bC；ξ），F(xiàn)L（βA1，βA2，bA；ξ）。

圖3為檢驗區(qū)統(tǒng)計量ST的累積分布函數(shù)G1（ξ）（仿真）與F（βT1，βT2，bT；ξ）（擬合）的對比圖，圖4為參考區(qū)統(tǒng)計量SC的累積分布函數(shù)G2（ξ）（仿真）與F（βC1，βC2，bC；ξ）（擬合） 的對比圖，圖5為參考區(qū)順序統(tǒng)計量SL（m1）的累積分布函數(shù)G3（ξ）（仿真）與FL（βA1，βA2，bA；ξ）（擬合）的對比圖。結(jié)果表明，二者之間具有高度的一致性，說明本文提出的基于矩匹配的GKD擬合方法以及基于獨立數(shù)據(jù)長度及分?jǐn)?shù)階順序統(tǒng)計的擬合方法是有效的。

仿真數(shù)據(jù)x

圖3ST的累積分布函數(shù)的仿真與GKD擬合比較

Fig。3Comparison between simulated

and GKD fitted CDF of ST

仿真數(shù)據(jù)x

圖4SC的累積分布函數(shù)的仿真與GKD擬合比較

Fig。4Comparison between simulated

and GKD fitted CDF of SC

仿真數(shù)據(jù)x

圖5SL（m1）的累積分布函數(shù)的仿真與擬合比較

Fig。5Comparison between simulated

and fitted CDF of SL（m1）

由表1中參數(shù)以及式（18）（24）得到虛警概率檢測門限擬合曲線，根據(jù)蒙特卡羅實驗統(tǒng)計得到虛警概率檢測門限仿真曲線。圖6給出了2種檢測器的擬合曲線與仿真曲線的對比圖。由圖6可知，仿真曲線與擬合曲線基本一致，表明本文提出的擬合方法可以設(shè)計出合理的檢測門限、對虛警概率進行有效的控制。

檢測門限RD

圖6虛警概率檢測門限曲線的仿真與擬合比較

Fig。6Comparison between simulated and fitted curves

of false alarm ratedetection threshold

5結(jié)論

采用廣義K分布擬合、矩匹配、相關(guān)數(shù)據(jù)中的有效樣本尺寸估計以及分?jǐn)?shù)階順序統(tǒng)計方法可以合理/有效地獲得相關(guān)K分布雜波的累積統(tǒng)計量與順序統(tǒng)計量的概率分布函數(shù)的擬合表達式并對恒虛警檢測門限進行合理設(shè)計。理論分析以及仿真實驗結(jié)

果表明：本文提出的方法為高分辨雷達常用的滑窗積累檢測器以及順序統(tǒng)計滑窗積累檢測器的性能分析提供了一種可行的技術(shù)途徑。

參考文獻

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