三階不可約零-非零模式中的幾乎慣量任意模式

續(xù)曉欣，高玉斌，梁月亮

（1.中北大學 儀器與電子學院，山西 太原030051；2.中北大學 理學院，山西 太原030051）

近年來，關于符號模式（或零-非零不可約模式）的慣量任意性與慣量臨界集（或精細慣量任意性與精細慣量臨界集）的研究成果很多.文獻［1］根據(jù)慣量臨界集的定義，給出并驗證了n=2，3，4時不可約零-非零模式的極小慣量臨界集以及n=2，3時不可約符號模式的極小慣量臨界集.文獻［2］闡述了精細慣量的定義并得出：n≤3時不可約零-非零模式的慣量任意性、精細慣量任意性與譜任意性是等價的，當n=4時不可約零-非零模式的精細慣量任意性與譜任意性是等價的，而對于更高階的不可約零-非零模式，上述結論則不一定成立.文獻［3］利用組合矩陣論的方法，得到并驗證了n=2，3時不可約零-非零模式的所有極小慣量臨界集以及所有極小精細慣量臨界集.在文獻［4］中，二階不可約符號模式的所有極小精細慣量臨界集都得到了驗證.對于任意蘊含冪零的全符號模式，文獻［5］證明其一定是譜任意（從而也是慣量任意）的.最近，文獻［6］給出并驗證了三階全符號模式的所有極小精細慣量臨界集，從而使慣量臨界集（精細慣量臨界集）的研究開辟到全符號模式的領域.

幾乎慣量任意的不可約零-非零模式是2010年文獻［7］中提出的一個概念，文獻［7］的引理2.3證明了三階不可約零-非零模式M蘊含除（0，0，3）之外其余所有可能的慣量，稱此時的不可約零-非零模式M是幾乎慣量任意的.國內關于幾乎慣量任意模式的研究只限于符號模式矩陣的范疇，楊正民等人在文獻［8］中證明了一類符號模式是幾乎完全慣量任意的符號模式，梅銀珍等人在文獻［9］中利用矩陣的直和構造出一種幾乎完全慣量任意的符號模式矩陣.目前，國內外針對幾乎慣量任意的不可約零-非零模式的系統(tǒng)研究尚未展開.本文在深入研究不可約零-非零模式的基本概念和基礎理論之后，受文獻［7］啟發(fā)，探討三階不可約零-非零模式中的幾乎慣量任意的模式，將三階不可約零-非零模式按照慣量任意模式、幾乎慣量任意模式、非慣量任意又非幾乎慣量任意模式分為三類，并對其進行了歸類研究.

一般說來，驗證符號模式是慣量任意的，可以采取一些常規(guī)的方法，比如：冪零-雅可比方法、冪零-中心化方法［10］，對于不可約零-非零模式，沒有常規(guī)的方法可以驗證其慣量任意性.因此，本文采用分析法與列舉法結合的方法得到三階不可約零-非零模式中幾乎慣量任意的所有模式M，N，P.首先，利用組合理論中矩陣跡與特征值的關系以及矩陣特征多項式與特征值的關系，證明（0，0，3）不能被以上三種模式蘊含；其次，對于每一個除（0，0，3）之外的三階零-非零模式的慣量，給出每個慣量在實數(shù)域上具體的矩陣實現(xiàn)，說明M，N，P蘊含這個慣量，從而證明三種模式M，N，P是幾乎慣量任意的.

1 預備知識

首先介紹零-非零模式的相關概念.零-非零模式矩陣是指元素取自集合｛＊，0｝的矩陣，其中＊指的是任意的非零實數(shù).若零-非零模式矩陣A（以下簡稱模式）通過轉置及置換相似的有限次組合變換可以得到模式B，則稱模式A與B模式等價.若B=A或者將A中的一個或多個非零元素替換為零元素后可以得到模式B，則稱模式B為模式A的一個子模式，同時A為B的一個母模式.若模式A置換相似于模式其中A11，A12為非空方陣，則稱模式A為可約的，否則稱A為一個不可約模式.具有相同模式A的n階實矩陣全體稱為模式A的定性矩陣類.模式A的譜是指該模式的所有定性類矩陣的特征值組成的集合.

n階實矩陣A的慣量是指滿足n++n-+n0=n的三元有序數(shù)組（n+，n-，n0），其中n+，n-，n0分別為矩陣A的具有正實部、負實部和零實部的特征值的個數(shù)［11］.模式A蘊含慣量（n+，n-，n0）是指，在模式A的定性矩陣類中至少存在一個實矩陣具有這樣的慣量.事實上，模式A蘊含慣量（n+，n-，n0）當且僅當A蘊含慣量（n-，n+，n0），這是由于，若矩陣A屬于某個模式的定性矩陣類中，則-A亦屬于這個定性矩陣類中，稱以上兩種慣量互為彼此的反轉慣量［1］.若模式A蘊含所有可能的慣量，則稱模式A是慣量任意的，若模式A蘊含除某個慣量之外的其余所有慣量，則稱模式A是幾乎慣量任意的.

n階實矩陣A的精細慣量是指滿足n++n-+nz+2np=n的四元有序數(shù)組（n+，n-，nz，2np），其中，nz為矩陣A零特征值個數(shù)，2np是指A純虛數(shù)特征值的個數(shù)［2，12］.模式A蘊含精細慣量（n+，n-，nz，2np）是指，在模式A的定性矩陣類中存在至少一個實矩陣具有（n+，n-，nz，2np）這樣的精細慣量.若模式A蘊含所有可能的精細慣量，則稱模式A是精細慣量任意的，若模式A蘊含除某個精細慣量之外的其余所有精細慣量，稱模式A是幾乎精細慣量任意的.類似于慣量的性質，模式A蘊含精細慣量（n+，n-，nz，2np）當且僅當A蘊含精細慣量（n+，n-，nz，2np），稱以上兩種精細慣量互為彼此的反轉精細慣量［2］.設S為n階模式所有慣量構成集合的一個非空真子集，對于任意的n階零-非零模式A，若集合S?i（A）可以使得該n階零-非零模式A慣量任意，則稱S是n階零-非零模式的一個慣量臨界集.類似可以得到精細慣量臨界集的定義.

接下來列出本文主要證明中所需的三階模式的基本性質：

引理1［3］設A為三階不可約零-非零模式，則其對應的關聯(lián)有向圖中含有一個三圈或兩個二圈.

引理2［7］設A為三階不可約零-非零模式，則A為慣量任意當且僅當A對應的關聯(lián)有向圖中含有子圖B，其中B中含有至少兩個環(huán)、兩個三階置換有向圖以及至少一個二圈.

引理3［13］設A為三階不可約零-非零模式，則A滿足以下結論：

1）若A含有5個或5個以下的非零元素，則A不是譜任意的；

2）若A含有6個非零元素且是譜任意的，則A是極小譜任意的并且等價于以下兩種形式之一

3）若A含有7個或7個以上非零元素并且主對角線至少2個非零元素，則A是譜任意的，但不是極小譜任意.

三階模式的譜任意性與慣量任意性是等價的［2］，因此將上述引理3中的譜替換為慣量，結論同樣成立.

引理4［14］若模式A為慣量任意的三階不可約零-非零模式，則模式A必等價于以下兩種模式之一的母模式

2 主要結論

根據(jù)引理1，所有三階不可約零-非零模式（對應的關聯(lián)有向圖為強連通圖）共有25種情形（在等價意義下），下面將三階不可約零-非零模式分為慣量任意模式、幾乎慣量任意模式、非慣量任意又非幾乎慣量任意模式三種情形分別進行討論.

2.1 慣量任意的三階模式

根據(jù)引理4，慣量任意的三階模式共有9種，它們分別是

D1的母模式

D2的母模式

2.2 幾乎慣量任意的三階模式

三階模式中幾乎慣量任意的模式共有3種，下面給出與幾乎慣量任意模式有關的4個命題及3個推論，并逐一證明.

命題1 三階模式

是幾乎慣量任意的，即蘊含除（0，0，3）之外的其余所有慣量.

證明 根據(jù)文獻［3］中不可約零-非零模式慣量個數(shù)的計算公式三階模式共有10種慣量.由于模式M對應的關聯(lián)有向圖中不含有二圈，根據(jù)引理2結論，模式M不是慣量任意的.下面說明模式M是幾乎慣量任意的.考慮模式M在實數(shù)域上的5個矩陣實現(xiàn)，矩陣分別取到慣量（1，2，0），（0，2，1），（3，0，0），（1，0，2），（1，1，1）.注意到一個模式蘊含慣量（n+，n-，n0）當且僅當其蘊含慣量（n-，n+，n0），將以上前4個實矩陣分別取負矩陣，則這4個負矩陣分別取到慣量（2，1，0），（2，0，1），（0，3，0），（0，1，2）.至此，模式M蘊含9個慣量，分別為（1，2，0），（0，2，1），（3，0，0），（1，0，2），（1，1，1），（2，1，0），（2，0，1），（0，3，0）與（0，1，2），由于模式M不是慣量任意的，則M不能蘊含慣量（0，0，3）.因此，模式M是幾乎慣量任意的.

命題2 三階模式

是幾乎慣量任意的，即蘊含除（0，0，3）之外的其余所有慣量.

證明 從矩陣模式N的結構可以看出，模式N對應的關聯(lián)有向圖中只有一個環(huán)，根據(jù)引理2結論可知，模式N不是慣量任意的.又根據(jù)組合矩陣論的知識可知，矩陣模式N的跡是非零的，亦即模式N定性矩陣類中的任意矩陣其特征值之和非零，因此，模式N不能蘊含慣量（0，0，3），下面說明模式N蘊含其余所有的慣量，考慮模式N實數(shù)域上的5個矩陣實現(xiàn)，矩陣

分別取到慣量（1，2，0），（1，1，1），（1，0，2），（2，0，1）與（3，0，0），由于一個模式蘊含慣量（n+，n-，n0）當且僅當其蘊含慣量（n-，n+，n0），則模式N同樣蘊含慣量（2，1，0），（0，1，2），（0，2，1）與（0，3，0），因此，模式N蘊含除（0，0，3）之外的其余所有慣量，即模式N是幾乎慣量任意的.

命題3 三階模式

是幾乎慣量任意的，即蘊含除（0，0，3）之外的其余所有慣量.

證明 由于（0，0，3）∈i（P）當且僅當i（P）蘊含形如x3+qx（q≥0）的特征多項式.假設矩陣A是模式P的一個實數(shù)域矩陣實現(xiàn)，不失一般性，設其中a，b，c，d是任意的非零實數(shù).此時，矩陣A的特征多項式為

假設pA（x）=x3+qx，則a=0，與假設a是非零實數(shù)矛盾.因此，i（P）不能蘊含形如x3+qx（q≥0）的特征多項式，于是模式P不能蘊含慣量（0，0，3）.下面考慮模式P實數(shù)域上的5個矩陣實現(xiàn)，矩陣

分別取到慣量（1，0，2），（1，1，1），（2，0，1），（3，0，0）與（2，1，0）.因此，模式P同樣蘊含慣量（0，1，2），（0，2，1），（0，3，0）與（1，2，0），綜上可知模式P蘊含除（0，0，3）之外的其余所有慣量，即模式P是幾乎慣量任意的.

推論1［7］設集合S是三階不可約零-非零模式的一個慣量臨界集，則（0，0，3）∈S.

證明 根據(jù)命題1，命題2及命題3可知，模式M，N與P均為幾乎慣量任意零-非零模式，即蘊含除（0，0，3）之外的其余所有慣量，用反證法證明推論1成立，設S是三階模式的一個慣量臨界集并且（0，0，3）不屬于S，則S必包含三階模式慣量集合中的其它慣量，此時有S∈i（M），S∈i（N）及S∈i（P）成立.根據(jù)慣量臨界集的定義，若模式蘊含臨界集S中的慣量，則模式必蘊含所有可能的慣量，亦即該模式是慣量任意的，而命題1，命題2與命題3分別指出M，N與P均不是慣量任意的，這與S是三階模式慣量臨界集并且（0，0，3）?S的假設矛盾.因此，若S為三階不可約零-非零模式的慣量臨界集，則（0，0，3）∈S.

結合命題1，命題2，命題3及慣量與精細慣量的關系可得以下推論：

推論2 三階模式

均不蘊含精細慣量（0，0，1，2）與（0，0，3，0）.

命題4 三階模式

蘊含除（0，0，1，2）與（0，0，3，0）之外的其余所有精細慣量.

證明 根據(jù)文獻［2］定理1.1中精細慣量個數(shù)的計算公式可知，三階模式的精細慣量共有8種（互為反轉精細慣量的一對精細慣量視為等價的1種精細慣量），由命題3可知，模式P不能蘊含慣量（0，0，3），因此一定不能蘊含精細慣量（0，0，1，2）與（0，0，3，0），下面說明模式P蘊含其余6種精細慣量，考慮模式P實數(shù)域上的6個矩陣實現(xiàn)，事實上，下列矩陣

分別取到精細慣量（1，0，0，2），（1，0，2，0），（1，1，1，0），（2，0，1，0），（3，0，0，0）與（2，1，0，0）.因此，模式P蘊含除（0，0，1，2）及（0，0，3，0）之外的其余所有精細慣量.

推論3 設集合S′為三階模式的一個精細慣量臨界集，則S′包含（0，0，3，0）或（0，0，1，2）.

證明 利用反證法獲證.假設（0，0，3，0）與（0，0，1，2）均不屬于S′，則S′中必定包含三階模式精細慣量集合中的其它精細慣量，由推論2可知，模式M，N與P均不是精細慣量任意的.與S′為三階模式精細慣量臨界集的定義矛盾.

2.3 非慣量任意又非幾乎慣量任意的三階模式

根據(jù)引理3中（1），非零元素為5個或5個以下的三階模式不是譜任意的，從而不是慣量任意的.下面說明這些模式也不是幾乎慣量任意的.

2.3.1 非零元素為3個的三階模式有1種：

此模式要求非奇異且跡為零.因此，給定的三階模式不能蘊含慣量（0，2，1），（2，0，1），（0，0，3），（1，1，1），（3，0，0），（0，3，0），（1，0，2）及（0，1，2）.

從而可知此三階模式不是幾乎慣量任意的.2.3.2 非零元素為4個的三階模式有3種：

第一種模式要求非奇異且跡非零，因此不能蘊含慣量（0，2，1），（2，0，1），（0，0，3）與（1，1，1）；第二種模式要求非奇異且跡為零，因此不能蘊含慣量（0，2，1），（2，0，1），（0，0，3），（1，1，1），（3，0，0），（0，3，0），（1，0，2）與（0，1，2）；第三種模式要求奇異且跡為零，因此不能蘊含慣量（0，2，1），（2，0，1），（2，1，0），（1，2，0），（3，0，0），（0，3，0），（1，0，2）與（0，1，2）.綜上可知這3種模式不是幾乎慣量任意的.

2.3.3 非零元素為5個的三階模式有5種：

第一種模式要求非奇異，因此不能蘊含（0，2，1），（2，0，1），（0，0，3），（1，1，1）；第二種模式要求非奇異且跡為零，因此不能蘊含慣量（0，2，1），（2，0，1），（0，0，3），（1，1，1），（3，0，0），（0，3，0），（1，0，2）與（0，1，2）；第三種、第四種模式要求非奇異且跡非零，因此不能蘊含慣量（0，0，3），（1，1，1），（0，2，1），（2，0，1）；第五種模式要求奇異且跡非零，因此不能蘊含慣量（3，0，0），（0，3，0），（2，1，0），（1，2，0），（0，0，3）.綜上可知上述5種模式均不是幾乎慣量任意的.

由以上分析可知，非零元素為5個或5個以下的三階模式均不是慣量任意的，同時也不是幾乎慣量任意的.

2.3.4 非零元素為6個的模式有4種：

第一種模式要求非奇異且跡非零，因此不能蘊含慣量（0，0，3），（1，1，1），（0，2，1）與（2，0，1）；第二種和第三種模式要求非奇異，因此不能蘊含慣量（0，2，1），（2，0，1），（0，0，3）與（1，1，1）；第四種模式要求跡為零，則不能蘊含慣量（3，0，0），（0，3，0），（0，2，1），（2，0，1），（1，0，2）與（0，1，2）.由此可得這4種模式均不是慣量任意的，也不是幾乎慣量任意的.

結合2.1，2.2及2.3可知，三階模式中，慣量任意的模式有9種，分別是

幾乎慣量任意的模式有3種，具體為

既非慣量任意又非幾乎慣量任意的模式有13種，分別為

3 結束語

文中對三階不可約零-非零模式的所有情形（在等價意義下共25種）進行了分類討論：列出了慣量任意模式，共9種，得到了所有的幾乎慣量任意模式，共3種，同時得到非慣量任意又非幾乎慣量任意的模式，共13種.進一步驗證了集合作為三階模式慣量臨界集的必要條件.給出集合作為三階模式精細慣量臨界集的一個必要條件.事實上，關于幾乎慣量任意的零-非零模式尚有許多性質有待進一步探討.譬如，慣量任意零-非零模式與幾乎慣量任意零-非零模式之間的關系、零-非零模式是幾乎慣量任意零-非零模式的充分或必要條件等.

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