閆飛一， 鄭紅嬋

(西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系，陜西 西安 710129)

非靜態(tài)混合細(xì)分法

閆飛一， 鄭紅嬋

(西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系，陜西 西安 710129)

提出了一種含參數(shù)b的非靜態(tài)Binary混合細(xì)分法，當(dāng)參數(shù)取0、1時(shí)，分別對應(yīng)已有的非靜態(tài)四點(diǎn)C1插值細(xì)分法及C-B樣條細(xì)分法。用漸進(jìn)等價(jià)定理證明了對任意 (0,1]區(qū)間的參數(shù)其極限曲線為C2連續(xù)的。從理論上證明了細(xì)分法對特殊函數(shù)的再生性，及其對圓和橢圓等特殊曲線的再生性，并通過實(shí)驗(yàn)對比說明了對任意的[0,1]區(qū)間的參數(shù)，該細(xì)分法都能再生圓和橢圓等特殊曲線，而與其漸進(jìn)等價(jià)的靜態(tài)細(xì)分法則不具備該性質(zhì)。將該細(xì)分法推廣為含局部控制參數(shù)的廣義混合細(xì)分法，從而可以達(dá)到局部調(diào)整極限曲線的目的。

非靜態(tài)混合細(xì)分法；C-B樣條；圓，橢圓；局部參數(shù)

細(xì)分過程定義了一種在初始多邊形(網(wǎng)格)上按照一定的細(xì)分規(guī)則通過不斷加細(xì)而得到的光滑極限曲線(曲面)，按照細(xì)分規(guī)則是否隨著細(xì)分次數(shù)的變化而改變，可將細(xì)分法分為非靜態(tài)細(xì)分法和靜態(tài)細(xì)分法；按照極限曲線是否經(jīng)過初始控制頂點(diǎn)，又可將其分為插值細(xì)分法和逼近細(xì)分法。在幾何外形設(shè)計(jì)和機(jī)器制造中，圓、橢圓等特殊曲線具有特別重要的地位，而大多數(shù)靜態(tài)細(xì)分法不能精確構(gòu)造這些特殊曲線，所以能夠再生這些特殊曲線的非靜態(tài)細(xì)分法成為近年來研究的熱點(diǎn)。

由文獻(xiàn)[1-5]可知，用非靜態(tài)插值細(xì)分法可再生圓、橢圓、心形線及其他圓錐曲線等。此外，文獻(xiàn)[6-8]介紹了圓、橢圓等特殊曲線的非靜態(tài)逼近細(xì)分生成方法。逼近細(xì)分法通常具有更高的連續(xù)性，而插值細(xì)分法則可以更好地逼近初始多邊形。在一定條件下，兩種細(xì)分法可以相互轉(zhuǎn)化甚至共同包含于一個(gè)混合細(xì)分法。文獻(xiàn)[9-10]提到幾種插值和逼近細(xì)分法相互轉(zhuǎn)換的方法。文獻(xiàn)[11-12]給出兩種靜態(tài)混合細(xì)分法，隨著參數(shù)的改變可得到包含插值和逼近的細(xì)分曲線。但上述混合細(xì)分法不具備再生圓、橢圓等特殊曲線的性質(zhì)。Jeong等[13]通過類指數(shù)樣條法構(gòu)造出一類含參數(shù)的非靜態(tài)細(xì)分法，在特殊參數(shù)下該細(xì)分法可為插值細(xì)分法或逼近細(xì)分法，且其極限曲線可再生圓、螺線等。本文提出另外一種可以再生特殊曲線的非靜態(tài)混合細(xì)分構(gòu)造法，并將其推廣到含局部控制參數(shù)的廣義混合細(xì)分法。

1 非靜態(tài)Binary混合細(xì)分法

本節(jié)在C-B樣條細(xì)分法及由其推導(dǎo)出的一個(gè)非靜態(tài)四點(diǎn)插值細(xì)分法基礎(chǔ)上，構(gòu)造一個(gè)非靜態(tài)混合細(xì)分法。

1.1 由 C-B樣條細(xì)分法得到非靜態(tài)四點(diǎn)插值細(xì)分法

按照文獻(xiàn)[5]提出的生成多項(xiàng)式方法，可由細(xì)分法式(1)的生成多項(xiàng)式

構(gòu)造一種非靜態(tài)四點(diǎn)插值細(xì)分法。首先引入一個(gè)2次多項(xiàng)式 w

k

(z)滿足 w

k

其中

且：

1.2 一種非靜態(tài)Binary混合細(xì)分法

圖1 C-B樣條細(xì)分法式(1)和插值細(xì)分法式(3)之間的關(guān)系

從而，可以將細(xì)分法式(1)改寫為：

將細(xì)分法式(3)改寫為：

進(jìn)一步引入?yún)?shù)b∈[0,1]，結(jié)合式(4)～(5)可得到一個(gè)非靜態(tài)混合細(xì)分法：

注：當(dāng)k→∞時(shí)細(xì)分法式(6)收斂于靜態(tài)混合細(xì)分法：

2 連續(xù)性分析

引理 1. 式(7)所表示的靜態(tài)細(xì)分法Sa的生成多項(xiàng)式為其中，

引理 2. 式(6)所表示的非靜態(tài)細(xì)分法 Sak的

證明. (1)由三角函數(shù)性質(zhì)易證

(2) 按照同樣的方法，易證式②成立。

引理4. 對任意的b∈(0,1]，生成多項(xiàng)式 h(z)式(8)所對應(yīng)的細(xì)分法Sh是C1連續(xù)的。

證明. 記Sh的一階差分細(xì)分法為其生成多項(xiàng)式為

因?yàn)椋?/p>

從而由漸進(jìn)等價(jià)定理[15]及細(xì)分法S的連續(xù)性與其一階差分細(xì)分法的收斂性之間關(guān)系[16]可知引理4成立。

引理 5. 生成多項(xiàng)式 hk(z)式(8)所對應(yīng)的細(xì)分法是C1連續(xù)的。

證明. 由引理3可得：

進(jìn)而由漸進(jìn)等價(jià)定理[15]得是C1連續(xù)的，故引理5得證。

定理1. 當(dāng)b∈(0,1]時(shí)，式(6)所表示的非靜態(tài)細(xì)分法是C2連續(xù)的；當(dāng)b=0時(shí)，其為C1連續(xù)。

證明. 根據(jù)非靜態(tài)細(xì)分法 Cm連續(xù)的充分條件[16]，可得當(dāng)b∈(0,1]時(shí)，是C2連續(xù)的；又當(dāng)b= 0時(shí)，其為已知的C1連續(xù)的非靜態(tài)四點(diǎn)插值細(xì)分法[1]，故定理1得證。

3 函數(shù)及特殊曲線的再生性

本節(jié)將證明非靜態(tài)混合細(xì)分法式(6)可再生圓和橢圓等特殊曲線。

由細(xì)分規(guī)則式(3)、(11)易得知：

類似地，可證：

引理9. 選取圓r=R上等距分布點(diǎn)：

為初始控制頂點(diǎn)，則由混合細(xì)分法式(6)所得的極限曲線為圓

圖2(a)～(b)分別表示由非靜態(tài)混合細(xì)分法式(6)及靜態(tài)混合細(xì)分法式(7)細(xì)分 8次后所生成的細(xì)分曲線，從外到內(nèi)分別表示b取0、0.4、0.8、1.0時(shí)所得的細(xì)分曲線。在同一參數(shù)下，橫向?qū)Ρ葓D2(a)和圖2(b)，不難發(fā)現(xiàn)細(xì)分法式(6)可以再生圓，在不同參數(shù)下，縱向?qū)Ρ葓D2(a)中極限曲線，可以看出再生圓的半徑與參數(shù)b的大小成反比。

圖2 由非靜態(tài)式(6)及靜態(tài)式(7)細(xì)分法細(xì)分8次后所得的曲線(從外到內(nèi)b分別取0、0.4、0.8、1.0)

圖3給出了圖2中細(xì)分曲線相對應(yīng)的曲率圖。由于對任意的b∈[0,1]細(xì)分法式(6)都可以再生圓，所以其細(xì)分曲線的曲率處處相等，如圖 3(a)～(d)所示，而細(xì)分法式(7)不能再生圓，因而其細(xì)分曲線不滿足任意兩點(diǎn)處曲率相等，且曲率總是在控制點(diǎn)處達(dá)到最大值(如圖3(a′)～(d′))。

圖3 圖2中細(xì)分曲線相對應(yīng)的曲率圖

4 帶局部參數(shù)的混合細(xì)分法

圖4刻畫了局部參數(shù)對混合細(xì)分法式(12)的極限曲線的影響，其中黑線表示初始網(wǎng)格，藍(lán)線表示由細(xì)分法式(12)細(xì)分10次后生成的細(xì)分曲線。圖4(a)中令所有頂點(diǎn)參數(shù)為0，其細(xì)分曲線插值所有的初始點(diǎn)；圖4(b)中所有頂點(diǎn)參數(shù)取為1，其細(xì)分曲線逼近所有的初始點(diǎn)；圖4(c)中相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)參數(shù)分別為0、1，細(xì)分曲線則間隔地插值初始點(diǎn)；圖4(d)～(f)表示對初始點(diǎn)選取[0,1]內(nèi)不同的參數(shù)，極限曲線將隨之改變。

圖4 局部參數(shù)對混合細(xì)分法式(12)的極限曲線的影響

5 結(jié) 論

本文提出了一種Binary非靜態(tài)混合細(xì)分法，證明了其C2連續(xù)性及其對函數(shù)和特殊曲線的再生性，并將該細(xì)分法推廣到了含局部參數(shù)的廣義混合細(xì)分法，通過實(shí)驗(yàn)對比說明了該細(xì)分法具有再生圓、橢圓等特殊曲線的能力，并用實(shí)例說明了含局部參數(shù)的廣義混合細(xì)分法能夠?qū)崿F(xiàn)局部插值。在未來的工作中，可以考慮其他特殊曲線及球、橢球等特殊曲面的細(xì)分法實(shí)現(xiàn)問題。

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Non-Stationary BlendingSubdivisionScheme

Yan Feiyi, Zheng Hongchan
(Department of AppliedMathematics,School ofSciences, Northwestern Polytechnical University, Xi′anShaanxi 710129, China)

A non-stationary blending BinarySubdivisionScheme with a parameter is presented first in this paper. Existing four-point C1interpolating non-stationaryScheme and C-BSplineSubdivisionScheme areSpecial cases of thisSubdivision when the parameter is 0 and 1 respectively. The limit curve of theScheme is C2with any parameter in the interval (0,1], which is proved by using the theory of asymptotic equivalence. Then the abilities of theScheme with any parameter in [0,1] to reproduceSpecial functions andSomeSpecial curves,Such as circle and ellipse, are analyzed, and comparisons with the correspondingStationarySchemes are also given to better demonstrate it. At last, a generalized non-stationary blendingScheme with local control parameter is proposed, which allows local adjustment of the limit curves.

non-stationary blendingSubdivisionScheme; C-BSpline; circle, ellipse; local parameter

TP 391.6

A

2095-302X(2015)02-0178-08

2014-07-13；定稿日期：2014-09-07

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61070233)

閆飛一(1992–)，女，河南平頂山人，碩士研究生。主要研究方向?yàn)橛?jì)算幾何、計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)。E-mail：happy01fly@163.com通訊作者：鄭紅嬋(1971–)，女，陜西西安人，教授，博士。主要研究方向?yàn)橛?jì)算幾何、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)。E-mail：zhenghc@nwpu.edu.cn