魏文婷，么煥民

(哈爾濱師范大學(xué))

0 引言

利用數(shù)值計(jì)算方法通過(guò)求解雙曲型守恒律方程初值問(wèn)題，相繼出現(xiàn)了很多差分格式，如TVD(Total Variation Diminishing)型差分格式［1］、ENO(Essentially Non-oscillatory)格式［2］、WENO 格式［3-4］等．此后，Pirozzoli［5］提出了緊致-WENO 型混合格式，隨后，Ren等人［6］對(duì) Pirozzoli提出的混合格式進(jìn)行了改進(jìn)，武從海等［7］又做了進(jìn)一步改進(jìn)，不僅得到了良好的間斷分辨率，而且保證了數(shù)值計(jì)算的效率．該文將通過(guò)對(duì)比分析，對(duì)原混合格式中的緊致格式進(jìn)一步改進(jìn)，在原緊致-WENO型混合格式的基礎(chǔ)上提出一種新型混合差分格式．

1 緊致格式

緊致格式因其所需的模板點(diǎn)數(shù)少、分辨率高的特點(diǎn)一直是人們研究的重點(diǎn)，下面給出兩種緊致格式以及由該兩種緊致格式構(gòu)造的混合緊致格式:

五階迎風(fēng)緊致格式:

六階中心緊致格式:

武從海［8］根據(jù)六階中心緊致格式有非物理振蕩無(wú)耗散而五階迎風(fēng)緊致格式無(wú)非物理振蕩耗散偏大的特點(diǎn)，考慮使用兩種格式的加權(quán)平均來(lái)得到一個(gè)理想的差分格式，集合兩種格式的優(yōu)勢(shì)并彌補(bǔ)了一定的不足，其采用六階中心緊致格式所用的模板，將格式的精度降到五階，得到一組混合緊致格式:

當(dāng)α=0時(shí)，上式為六階中心緊致格式;當(dāng)α=±1時(shí)，上式為五階迎風(fēng)緊致格式．

文獻(xiàn)中通過(guò)對(duì)耗散誤差和相位誤差的分析得出，當(dāng)α=-0．5時(shí)，(3)式顯示出了相對(duì)較好的性能，因而得到了相應(yīng)的五六階混合緊致格式通過(guò)進(jìn)一步分析顯示，與五階迎風(fēng)緊致格式相比具有更低的耗散性和更精確的數(shù)值計(jì)算結(jié)果．

2 一種新的混合格式的提出

2．1 一種新的混合格式的構(gòu)造

根據(jù) Ren 等人［6］對(duì) Pirozzoli［5］提出的五階迎風(fēng)緊致格式和五階WENO格式組合而成的混合格式進(jìn)行了改進(jìn)，構(gòu)造了一種新的混合格式，具體形式如下:

五六階混合緊致格式:

根據(jù)Ren等人的混合方法，對(duì)(5)和(6)按照(4)進(jìn)行加權(quán)平均，權(quán)系數(shù)分別為σ和1-σ，當(dāng)權(quán)系數(shù)σ分別取1和0時(shí)，混合格式便化簡(jiǎn)為五六階混合緊致格式和五階WENO格式，同時(shí)根據(jù)混合格式的建立原則，權(quán)系數(shù)σ由流函數(shù)的光滑程度確定，計(jì)算方法為

2．2 誤差分析和穩(wěn)定性分析

利用文獻(xiàn)［5］中的誤差分析方法分別對(duì)五階迎風(fēng)緊致格式、六階中心緊致格式以及五六階混合緊致格式進(jìn)行誤差分析．從圖1和2中，在高波數(shù)范圍內(nèi)，根據(jù)相應(yīng)格式的耗散誤差變化可以看到六階中心格式無(wú)耗散，五六階混合緊致格式的耗散誤差要比五階迎風(fēng)緊致的小很多，從而說(shuō)明五六階混合緊致格式具有更低的耗散性．五六階混合緊致格式的色散誤差略小于六階中心格式而稍大于五階迎風(fēng)緊致格式，但其較低的耗散性使其具有更高的分辨率．

圖1 不同混合緊致格式的kr隨α的變化

圖2 不同混合緊致格式的ki隨α的變化

利用文獻(xiàn)［5］中介紹的穩(wěn)定性分析方法分別對(duì)上述三種緊致格式進(jìn)行穩(wěn)定性分析，得到圖3．為了使緊致格式達(dá)到穩(wěn)定性條件的要求，分別得到了三種緊致格式σ的最大值，σ=cλ=cΔt/Δx是 CFL(Courant，F(xiàn)riedrichs，Lewy)數(shù)(一個(gè)差分格式穩(wěn)定性和收斂性的判據(jù))．在圖3中，點(diǎn)劃線表示五階迎風(fēng)緊致格式，虛線表示六階中心緊致格式，雙劃線表示五六階混合緊致格式，則對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定性范圍分別為 σ≤1．034、σ≤1．422、σ ≤1．421．由此可見(jiàn)，五六階混合緊致格式的穩(wěn)定性范圍遠(yuǎn)大于五階迎風(fēng)緊致格式而略小于六階中心緊致格式．五六階混合緊致格式比五階迎風(fēng)緊致格式具有更大的穩(wěn)定性范圍．

新型混合格式主要是基于前面提到的五階迎風(fēng)緊致格式和五階WENO格式組合而成的混合格式提出的，其最大的特點(diǎn)就是采用混合型的緊致格式來(lái)替換原混合格式中單一的五階迎風(fēng)緊致格式．根據(jù)2．2的分析可知，五六階混合緊致格式比五階迎風(fēng)緊致格式具有更高的分辨率和數(shù)值穩(wěn)定性．因此，新型混合格式在進(jìn)行數(shù)值求解時(shí)，具有相對(duì)較高的分辨率和數(shù)值穩(wěn)定性．

圖3 三種不同混合格式的穩(wěn)定性范圍

3 結(jié)束語(yǔ)

該文利用誤差分析方法和穩(wěn)定性分析方法對(duì)五階迎風(fēng)緊致格式、六階中心緊致格式、五六階混合緊致格式進(jìn)行了誤差對(duì)比分析和穩(wěn)定性對(duì)比分析．通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，混合緊致格式表現(xiàn)出了比單一緊致格式更加優(yōu)良的數(shù)值計(jì)算特性．因此，將五六階混合緊致格式替換原緊致 -WENO型混合格式中的五階迎風(fēng)緊致格式，便得到了具有較高分辨率和穩(wěn)定性的新型混合差分格式．

［1］ Harten A．High resolution schemes for hyperbolic conservation laws［J］ ．Journal of computational physics，1983，49(3):357-393．

［2］ Harten A，Engquist B，Osher S，Chakravarthy S R．Uniformly high—order accurate essentially non—oscillatory shock-capturing schemes III．J Comput Plays，1987，71:231-323．

［3］ Liu X D，Osher S，Chan T．Weighted essentially non—oscillatory shock-capturing schemes J Comput Phys，1994，115:200-212．

［4］ Jiang G S，Shu C W．Efficient implementation of weighted ENO schemes［J］．Journal of computational physics，1996，126(1):202-228．

［5］ Pirozzoli S．Conservative hybrid compact-WENO schemes for shock-turbulence interaction［J］．Journal of Computational Physics，2002，178(1):81-117．

［6］ Ren Y X，Liu M，Zhang H．A characteristic-wise hybrid compact-WENO scheme for solving hyperbolic conservation laws［J］．Journal of Computational Physics，2003，192(2):365-386．

［7］ 武從海，趙寧，田琳琳．一種改進(jìn)的WENO混合格式［J］．空氣動(dòng)力學(xué)報(bào)，2013，31(4):477-484．

［8］ 武從海．流體力學(xué)高精度高分辨率差分格式的研究［D］．南京航空航天大學(xué)，2012．