李文昊，姜巖秀，吳 娜，張 桐，王 鹍

(中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林長春 130033)

1 引 言

同步輻射光源具有光譜連續(xù)、準(zhǔn)直性高、亮度大等特點(diǎn)，還具有偏振以及脈沖時(shí)間結(jié)構(gòu)，同時(shí)其光譜性能可預(yù)知并可精確調(diào)節(jié)，廣泛應(yīng)用于各科學(xué)研究領(lǐng)域［1-4］。由于要對傳輸?shù)綄?shí)驗(yàn)站的光源的光譜進(jìn)行診斷，所以需要一個(gè)高分辨率的在線光譜儀?？紤]到保持較高的能量傳輸特性和后續(xù)光束線傳播，一般采用變柵距光柵作為該光譜儀的核心元件［5-8］。

全息曝光制作變柵距光柵的方法分為兩種［9-11］，一種方法是球面波干涉曝光，另一種方法是非球面波干涉曝光。與球面波曝光相比，非球面波曝光增加了記錄參數(shù)的自由度，理論計(jì)算可設(shè)計(jì)出與期望刻槽密度函數(shù)完全符合的變柵距全息光柵以消除高階像差。但是非球面波曝光系統(tǒng)缺陷相對較多。在理論上，非球面波曝光系統(tǒng)的全息光柵理論公式存在較大的誤差，導(dǎo)致理論模型與實(shí)際條紋分布不符［12-13］;在實(shí)際制作中，非球面曝光系統(tǒng)設(shè)計(jì)、加工及調(diào)試難度極大，工藝上不易實(shí)現(xiàn)，往往導(dǎo)致制作的變柵距全息光柵的刻槽密度函數(shù)與期望刻槽密度函數(shù)存在更大的誤差。對于應(yīng)用在同步輻射裝置的變柵距光柵，由于只要求消除某些特定的像差，因此多數(shù)采用相對簡單的曝光系統(tǒng)制作。球面波曝光光路僅有4個(gè)記錄參數(shù)，工藝上實(shí)現(xiàn)調(diào)試精度相對容易，可得到符合設(shè)計(jì)要求的變柵距全息光柵。

球面波曝光系統(tǒng)調(diào)試簡單，但是制作的光柵的刻槽是彎曲的。在對記錄參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，只能令光柵子午線上各點(diǎn)的刻槽密度設(shè)計(jì)值與期望值相符。本文分析了球面波曝光系統(tǒng)制作的不同寬度光柵的刻槽密度分布以及光譜分辨能力，為變柵距光柵的曝光系統(tǒng)的選擇提供了依據(jù)。

2 曝光系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 球面波曝光系統(tǒng)

圖1為變柵距全息光柵的球面波記錄光路圖。球面波曝光系統(tǒng)通過C點(diǎn)和D點(diǎn)光源發(fā)出波長為λ0的兩束相干球面波，以不同的角度入射在平面光柵基底G表面形成干涉場，光路示意圖如圖1所示。光柵基底G位于坐標(biāo)系xyz中，其原點(diǎn)O為光柵基底中心，x軸平行于光柵表面法線方向，y軸垂直于光柵刻槽方向，z軸平行于光柵刻槽方向。記錄光源C點(diǎn)和D點(diǎn)位于xOy平面內(nèi)，C點(diǎn)到光柵中心的距離為rC，與光柵法線夾角為γ;D點(diǎn)到光柵中心的距離為rD，與光柵法線夾角為δ。即記錄臂長分別為rC和rD，記錄角度分別為γ和δ。γ和δ的正負(fù)分別由光線CO和DO決定，其在xyz坐標(biāo)系下第一象限為正，第四象限為負(fù)。

圖1 球面波曝光系統(tǒng)示意圖Fig.1 Spherical wavefront recording system

從光程函數(shù)出發(fā)，根據(jù)球面波幾何理論計(jì)算基底上任意一點(diǎn)的光程差，將費(fèi)馬原理應(yīng)用到光程函數(shù)中，并對其進(jìn)行級數(shù)展開，最終得到球面波曝光系統(tǒng)制作的變柵距光柵的刻線密度函數(shù)表達(dá)式［14］:

其中系數(shù)nij是關(guān)于曝光光路記錄參數(shù)(γ，rC，δ，rD)的函數(shù)，具體數(shù)學(xué)形式為:

2.2 曝光光路的優(yōu)化設(shè)計(jì)

光柵使用結(jié)構(gòu)［8］如圖2所示。平面變柵距光柵的作用是光譜的在線診斷，要求在100 nm處光譜分辨能力達(dá)到12 000。光束以α角入射到平面變柵距光柵表面，在各個(gè)使用波段其聚焦位置不共線，聚焦曲線擬合為一個(gè)圓形，具體使用要求為:使用波段為50～150 nm;中心刻線密度為600 gr/mm;面積為10 mm×30 mm;光譜級次 m=+1;入射角 α =87.6°;入臂 rA=19 000 mm;使用波長為100 nm時(shí)，出臂rB=1 500 mm。

圖2 在線光譜儀使用結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Optical layout of the online spectrograph

由上述的儀器使用要求，計(jì)算得到變柵距光柵期望的子午面刻槽密度函數(shù)表達(dá)式為［13］:

采用圖1所示的球面波曝光系統(tǒng)設(shè)計(jì)并模擬變柵距全息光柵，式(3)為根據(jù)光譜儀器使用要求得到的平面變柵距光柵刻槽密度表達(dá)式。對變柵距全息光柵記錄參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，選擇合適的記錄參數(shù)使制作出來的變柵距光柵的子午線上的刻槽密度函數(shù)在光柵有效區(qū)域內(nèi)逼近式(3)。變柵距光柵刻槽密度函數(shù)是一個(gè)以4個(gè)記錄參數(shù)為變量的多變量函數(shù)，需要建立以式(3)作為期望函數(shù)的變柵距光柵刻槽密度目標(biāo)函數(shù)。使用光柵表面刻槽密度誤差的平方和的形式來建立優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，得到目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式為:

使用改進(jìn)局部算法對球面波曝光系統(tǒng)條件下的平面變柵距全息光柵進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。優(yōu)化結(jié)果如表1所示。

表1 球面波曝光系統(tǒng)的記錄參數(shù)Table1 Recording parameters of the plane VLS grating

根據(jù)優(yōu)化結(jié)果繪制刻槽密度函數(shù)及其誤差分布曲線，如圖3和圖4所示。由圖可知，平面變柵距光柵的刻槽密度分布曲線在光柵有效區(qū)域基本重合，其設(shè)計(jì)值與期望值的絕對誤差約為0～0.007 gr/mm，相對誤差約為 1.2 × 10-5，刻槽密度符合程度較好，滿足設(shè)計(jì)要求。

圖3 刻槽密度函數(shù)分布曲線Fig.3 Groove density curve of VLS grating

圖4 刻槽密度函數(shù)誤差分布曲線Fig.4 Error curve of VLS grating between designed and expected groove density

3 光柵刻槽密度變化及光譜分辨能力分析

球面波曝光系統(tǒng)采用兩個(gè)點(diǎn)光源發(fā)出的球面波在基底表面干涉曝光的方式來制作變柵距光柵。由幾何光學(xué)原理可知，這種方法制作的變柵距光柵刻槽是彎曲的，因此只有光柵子午線的刻槽密度符合期望刻槽密度，其他平行于其子午線的光柵刻槽密度與期望存在一定的誤差。變柵距光柵的刻槽密度函數(shù)決定光柵的光譜分辨能力，刻槽密度誤差會(huì)直接降低光柵光譜分辨能力，因此有必要對球面波制作的平面變柵距光柵刻槽密度分布以及光譜成像進(jìn)行分析。

3.1 光柵刻槽密度對比分析

由表1的記錄參數(shù)以及式(1)和(2)可得，變柵距光柵期望和設(shè)計(jì)刻槽密度函數(shù)表達(dá)式分別為:

由式(5)中變柵距光柵期望和設(shè)計(jì)刻槽密度函數(shù)的對比可知，球面波曝光系統(tǒng)制作的變柵距光柵，在光柵表面上每條平行于子午線上的刻槽密度分布都是不同的，隨著光柵表面y軸上的位置點(diǎn)l而變化。光柵刻槽密度如圖5所示。

圖5 彎刻槽光柵示意圖Fig.5 Bending groove of grating

根據(jù)式(5)光柵期望和設(shè)計(jì)的刻槽密度函數(shù)計(jì)算在光柵有效區(qū)域內(nèi)平行于子午線上的光柵刻槽密度分布曲線以及實(shí)際值與設(shè)計(jì)值的絕對誤差曲線，如圖6和圖7所示。圖6為z軸坐標(biāo)分別為 -4，-2，0，2，4 mm，即 l=-4，-2，0，2，4 mm時(shí)的光柵刻槽密度分布曲線。圖7為不同軸上各點(diǎn)光柵刻槽密度的絕對誤差分布曲線。

圖6 光柵刻槽密度分布Fig.6 Groove density curve of VLS grating

圖7 光柵刻槽密度絕對誤差分布Fig.7 Error curve of VLS grating between designed and expected groove density

由圖6可知，不同軸上的刻槽密度分布曲線基本上成比例的對稱分布，曲線變化主要為軸向平移，說明光柵刻槽密度誤差主要是由中心刻槽密度引起。由圖7可知，l=±2 mm時(shí)，刻槽密度誤差絕對值為0.3 gr/mm;l=±4 mm時(shí)，刻槽密度誤差絕對值為0.7 gr/mm。這說明z軸上的坐標(biāo)值l越大，光柵刻槽密度的誤差就越大。

由以上分析可知:(1)z軸上的坐標(biāo)值l越大，刻槽彎曲引起的光柵刻槽密度的誤差就越大;(2)對于寬度較小的光柵來說，刻槽彎曲主要影響不同軸上光柵的中心刻槽密度;(3)對于寬度較大的光柵來說，刻槽彎曲對中心刻槽密度以及與離焦相關(guān)的刻槽密度一次項(xiàng)系數(shù)n10的影響較大。

3.2 光柵光譜分辨能力對比分析

由費(fèi)馬原理可知，A點(diǎn)光源發(fā)出的光經(jīng)過光柵在像平面上的B點(diǎn)會(huì)聚，光程函數(shù)滿足:

即為完全消除像差，要求各項(xiàng)像差Fij=0。但是，在實(shí)際中不可能實(shí)現(xiàn)在光譜儀器的全工作波段完全消除像差，只能在光柵的設(shè)計(jì)時(shí)有針對性地消除主要像差，因此，光柵不可避免地存在一定的像差。由于像差的存在，光源發(fā)出的光經(jīng)平面變柵距光柵后不會(huì)在成像面上呈現(xiàn)為理想的像點(diǎn)，在子午方向和弧矢方向分別會(huì)有譜線展寬和譜像加長。而譜線展寬會(huì)降低光譜分辨能力，譜像加長會(huì)降低儀器的光通量。因此，需要分析像差對分辨能力的影響。

根據(jù)瑞利準(zhǔn)則［15］，任何光譜儀器的理論分辨能力為色散元件的角色散和有效孔徑在子午面上寬度的乘積，因此根據(jù)光柵的角色散公式得到光柵的理論分辨率為:

衍射極限引起的波長差為:

由于像差的存在，光譜分辨率不僅由光柵自身的衍射極限所決定，還需要考慮像差對光譜分辨率的影響。像面子午方向上產(chǎn)生的位移偏移量為Δw，根據(jù)光柵線色散公式，子午方向上位移偏移量Δw引起的波長差可表示為:

因此，Δw引起的波長差為:

通常情況下，只考慮光柵的主要像差，包括離焦像差、慧差、球差和像散:

其中m為光柵衍射級次，d為光柵常數(shù)，W和L分別為光柵有效區(qū)域的半寬度和半長度。

綜上所述，變柵距光柵自身的理論分辨率為:

理論分辨能力為:

由式(5)中設(shè)計(jì)的變柵距光柵刻槽密度函數(shù)可知，刻槽彎曲對離焦以及像散影響較大，因此我們根據(jù)式(12)和(13)計(jì)算離焦和像散像差對光柵帶寬的影響。圖8(a)為不同寬度下刻線彎曲引起的光譜帶寬變化，圖8(b)為不同寬度下對應(yīng)的光柵光譜分辨能力的變化。

圖8 刻線彎曲引起的光譜帶寬變化(a)及其對光柵光譜分辨能力的影響(b)Fig.8 Effects of the bending degree of groove on the wavelength variation(a)and spectra resolution(b)

由圖8可知，隨著光柵寬度的增加，離焦和像散像差引起的帶寬Δλ明顯變大，降低了光柵的理論分辨能力。在50～150 nm波段，當(dāng)光柵寬度為4 mm時(shí)，理論分辨能力高于14 000;當(dāng)光柵寬度為10 mm時(shí)，理論分辨能力約為9 000，當(dāng)光柵寬度為30 mm時(shí)，理論分辨能力急劇下降，約為3 000。光柵分辨能力的設(shè)計(jì)要求為10 000，所以寬度大于10 mm的光柵均未達(dá)到設(shè)計(jì)要求。

4 結(jié) 論

對采用球面波曝光系統(tǒng)制作的應(yīng)用于50～150 nm波段的第四代同步輻射裝置中的變柵距全息光柵的刻槽密度分布及光譜分辨能力進(jìn)行了分析。結(jié)果表明，采用球面波曝光系統(tǒng)制作的變柵距光柵的刻槽是變間距且彎曲的，刻槽彎曲程度由記錄參數(shù)和光柵的寬度共同決定。光柵的寬度越大，其刻槽彎曲程度就越大，即引起的刻槽密度誤差越大，離焦和像散像差引起的帶寬也越大。在50～150 nm的使用波段范圍內(nèi)，當(dāng)光柵寬度為4 mm時(shí)，理論分辨能力高于14 000;當(dāng)光柵寬度為30 mm時(shí)，理論分辨能力急劇下降，約為3 000，遠(yuǎn)低于設(shè)計(jì)要求。因此，球面波曝光系統(tǒng)只適合制作寬度較小的變柵距光柵。

［1］Duke P H.Synchrotron Radiation［M］.Oxford:Oxford University Press，2000.

［2］Ma D L.Introduction to Synchrotron Radiation Applications［M］.Shanghai:Fudan University Press，2001(in Chinese).

［3］Tong Y J.Study of Precision Measurements of Monk-Gillieson Soft X-ray Grating Monochromator and Offner Inaging Spectrometer［D］.Shanghai:Shanghai Institute of Applied Physics，Chinese Academy of Science，2010(in Chinese).

［4］Hofmann A.The Physics of Synchrotron Radiation［M］.Cambridge:Cambridge University Press，2004.

［5］Li C Y.Variable-line-spacing Grating Monochromators Design and Key Techniques［D］.Hefei:University of Science and Technology of China，2014(in Chinese).

［6］Francis P，Lagarde B，Idir M.A high resolution soft X-ray monochromator focused by the holographic effect of a VLS grating［J］.AIP Conf.Proc.，2006，879:655-658.

［7］Liu Z K，Liu Y，Qiu K Q，et al.Design and fabrication of soft X-ray double frequency grating［J］.Opt.Precision Eng.(光學(xué) 精密工程)，2013，21(7):1780-1785(in Chinese).

［8］Li C Y，Zhu J F，Wang Q P.Design of a varied-line-spacing plane grating monochromator at NSRL for surface physics［J］.J.Phys.:Conf.Ser.，2015，45(16):162008-1-6.

［9］Namioka T，Koike M.Aspheric wave-front recording optics for holographic gratings［J］.Appl.Opt.，1995，34(13):2180-2186.

［10］Jiang Y X，Han J，Li W H，et al.Characteristic analysis for different beamsplitters of the plane holographic grating lithography system［J］.Chin.Opt.(中國光學(xué))，2015，8(2):241-247(in Chinese)

［11］Koike M，Yamazaki T，Harada Y.Design of holographic gratings recorded with aspheric wave-front recording optics for soft X-ray flat-field spectrographs［J］.J.Electron Spectros.Related Phenom.，1999，101:913-918.

［12］Ling Q，Wu G，Liu B，et al.Varied line spacing plane holographic grating recorded by using uniform line spacing plane gratings［J］.Appl.Opt.，2005，45(21):5059-5065.

［13］Jiang Y X，Bayanheshig，Yang S，et al.Design of a varied-line-space plane grating in EUV spectrum［J］.Acta Optica Sinica(光學(xué)學(xué)報(bào))，2015，36(1):45-55(in Chinese).

［14］Namioka T.Theory of the concave gratingⅡ.Application of the theory to the off-plane eagle mounting in a vacuum spectrograph［J］.J.Opt.Soc.Am.，1959，49(5):460-465.

［15］Du X W.Measurement of Groove Density 2D Distribution of Concave VLS Grating and Construction of A Soft X-ray Flat Field Spectrograph［D］.Hefei:University of Science and Technology of China，2013(in Chinese).