●陳伊遐(俄亥俄州立大學(xué)數(shù)學(xué)系俄亥俄)

二次函數(shù)迭代的一個(gè)問(wèn)題的探究

●陳伊遐(俄亥俄州立大學(xué)數(shù)學(xué)系俄亥俄)

文獻(xiàn)［1］～［3］對(duì)二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c的迭代進(jìn)行了探討，其中文獻(xiàn)［2］、［3］得到了關(guān)于方程f2(x)=x在特殊情形下根的一個(gè)結(jié)論:設(shè)f(x)=x2+bx+c，記Δ0=(b-1)2-4c，若方程f(x)=x有2個(gè)不等實(shí)根，則1)當(dāng)0＜Δ0＜4時(shí)，f2(x)=x只有2個(gè)不等實(shí)根;2)當(dāng)Δ0＞4時(shí)，f2(x)=x有4個(gè)不等實(shí)根.方程f2(x)=x中的f2(x)為f2(x)=f(f(x))，一般地有fn(x)= f(fn-1(x)).

本文將考慮一般二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c (其中a≠0且a，b，c∈R)的迭代，用初等方法給出了方程f2(x)=x的所有實(shí)根，顯然方程f2(x)=x為x的4次方程.

記y=f(x)，即

由f2(x)=x知x=f(y)，即

上述2式相減整理可得

從而x-y=0或a(x+y)+(b+1)=0.

當(dāng)x-y=0時(shí)，即x=ax2+bx+c，亦即

記Δ=(b-1)2-4ac，根據(jù)判別式易解方程(1).

當(dāng)a(x+y)+(b+1)=0時(shí)，由方程組

消去y，整理可得

此時(shí)判別式為

方程(2)可解，因而有:

定理1設(shè)f(x)=ax2+bx+c，記Δ=(b-1)2-4ac，則

1)當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程f2(x)=x無(wú)實(shí)根;

2)當(dāng)Δ=0時(shí)，方程f2(x)=x有1個(gè)實(shí)根;

3)當(dāng)0＜Δ≤4時(shí)，方程f2(x)=x有2個(gè)不等實(shí)根;

4)當(dāng)Δ＞4時(shí)，方程f2(x)=x有4個(gè)不等實(shí)根.

證明當(dāng)Δ＜4時(shí)，結(jié)論顯然成立.

當(dāng)Δ=4時(shí)，方程(1)的2個(gè)不等實(shí)根為

當(dāng)Δ＞4時(shí)，方程(1)的2個(gè)不等實(shí)根為

方程(2)的2個(gè)不等實(shí)根為

例1設(shè)f(x)=x2+x-2，解方程f2(x)=x.

解方程(1)為x2-2=0，解得，顯然點(diǎn)為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，此時(shí)有fn(x)=x.

方程(2)為x2+2x= 0，解得x=-2或x=0，顯然點(diǎn)(-2，0)，(0，0)為f(x)的2-周期點(diǎn)，此時(shí)有f2n(x)=x.

圖1

因而方程f2(x)=x有4個(gè)實(shí)根:，-2，0 (如圖1所示).

［1］王興東，顧新輝.二次函數(shù)迭代的一個(gè)問(wèn)題［J］.數(shù)學(xué)通訊，2005(13):24-26.

［2］陶楚國(guó).二次函數(shù)迭代的一個(gè)問(wèn)題初探［J］.數(shù)學(xué)通訊，2006(17):31-32.

［3］李永利.關(guān)于二次函數(shù)迭代的一個(gè)定理的簡(jiǎn)證［J］.數(shù)學(xué)通訊，2007(11):15.