實(shí)根
- 新高考下的構(gòu)造函數(shù)解題方法
題型有比較大小、實(shí)根個(gè)數(shù)、取值范圍、極值最值與單調(diào)性問(wèn)題.本文結(jié)合近幾年的高考題和各地模擬題,對(duì)構(gòu)造函數(shù)這一解題方法的五類常見(jiàn)題型和解題策略進(jìn)行研究.1 構(gòu)造函數(shù)與大小關(guān)系解析由題知f′(x)=ex-x+a,設(shè)g(x)=ex-e-x-2x,x>0,則g′(x)=ex+e-x-2≥0.所以g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,則g(x)>g(0)=0.2 構(gòu)造函數(shù)與實(shí)根個(gè)數(shù)(1)求實(shí)數(shù)a,b的值.(2)證明:方程f(x)=|lnx+sinx|有且只有一個(gè)實(shí)根.解析
數(shù)理化解題研究 2023年25期2023-10-11
- 巧用方程和不等式求解函數(shù)問(wèn)題
(x)=0的兩個(gè)實(shí)根為x1,x2,f(x)=x的兩個(gè)實(shí)根為α,β,且|α-β|=1。(1)若a,b均為負(fù)整數(shù),求f(x)的解析式。(2)若α＜1＜β,求(x1+a)·(x2+a)的取值范圍。分析：題設(shè)給出的f(x)是一元二次函數(shù),f(x)=0是函數(shù)f(x)對(duì)應(yīng)的方程,利用關(guān)于x的方程,求出未知數(shù)a和b,再利用待定系數(shù)法求出f(x)的解析式;利用不等式α＜1＜β,確定實(shí)數(shù)a的取值范圍,進(jìn)而確定(x1+a)·(x2+a)的取值范圍。解：(1)由題設(shè)得f(x)=
中學(xué)生數(shù)理化·高一版 2023年9期2023-09-22
- 充分條件、必要條件、充要條件題型解析
≥0是這個(gè)方程有實(shí)根的充要條件;②Δ=b2-4ac=0 是這個(gè)方程有實(shí)根的充分條件;③Δ=b2-4ac＞0 是這個(gè)方程有實(shí)根的必要條件;④Δ=b2-4ac＜0是這個(gè)方程沒(méi)有實(shí)根的充要條件。A.③④ B.②③C.①②③ D.①②④(2)若p:A∩B=A,q:?UB??UA,則p是q的( )。A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件分析：對(duì)于(1),利用Δ=b2-4ac判斷方程根的情況,當(dāng)Δ=0時(shí),一元二次方程有兩個(gè)等根;當(dāng)Δ＞
中學(xué)生數(shù)理化·高一版 2023年9期2023-09-22
- 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題
.2 考查方程的實(shí)根個(gè)數(shù)問(wèn)題一般地,方程f(x)＝0的實(shí)根個(gè)數(shù)是函數(shù)f(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù),也就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),所以可靈活運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)處理問(wèn)題.例2(2013 年安徽卷理10)若函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有極值點(diǎn)x1,x2,且f(x1)＝x1,則關(guān)于x的方程3[f(x)]2＋2af(x)＋b＝0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是( ).A.3 B.4 C.5 D.6解析易知f′(x)＝3x2＋2ax＋b,依題意可知x1,x2是方程3x2＋2ax＋
高中數(shù)理化 2023年15期2023-09-10
- 再談高考題與保送題
0 有且只有一個(gè)實(shí)根求證:p≥0,q≥0.③這題不難.方程的根,即方程組④⑤的根中的x.④ 是的二次方程,有兩個(gè)根.若有重根,則兩根皆重(且共軛).但這時(shí)f(x)=u無(wú)實(shí)根x,所以④ 的根u1,u2均為實(shí)數(shù).若u1=u2,則p2=4q.⑥而方程f(x)=u(即x2+px+(q-u)=0)有且僅有一個(gè)實(shí)根,所以p2=4(q-u)⑦比較⑥ ⑦ 兩式,得u=0,從而q=u2=0,p=-2u=0.若u1≠u(mài)2,則p2>4q,⑧f(x)=u1,⑨f(x)=u2⑩中至
高中數(shù)學(xué)教與學(xué) 2022年15期2022-09-19
- 構(gòu)造方程解初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題
2+12=0的兩實(shí)根，所以Δ=（-2）2-4（3c2+12）=-43c2≥0，所以c=0，故bca=0.例2 設(shè)x=33-52，那么代數(shù)式（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）=.解 設(shè)x1=33-52，x2=-5-332，則x1+x2=-5，x1x2=-2.于是x1，x2是方程x2+5x-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以x2+5x=2.所以 （x+1）（x+2）（x+3）（x+4）=[（x+1）（x+4）][（x+2）（x+3）]=（x2+5x+4）（x2+5
數(shù)理天地(初中版) 2022年9期2022-07-25
- 指數(shù)函數(shù)多項(xiàng)式的實(shí)根分離算法
指數(shù)函數(shù)多項(xiàng)式的實(shí)根分離算法葛昕鈺1，2*，陳世平3，劉忠1，4（1.中國(guó)科學(xué)院 成都計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究所，成都 610041； 2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；3.四川省貿(mào)易學(xué)校 財(cái)經(jīng)商貿(mào)系，四川 雅安 625107；4.樂(lè)山職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電子信息工程系，四川 樂(lè)山 614000）（?通信作者電子郵箱geeexy@163.com）針對(duì)超越函數(shù)多項(xiàng)式的實(shí)根分離問(wèn)題，提出了一種指數(shù)函數(shù)多項(xiàng)式的區(qū)間分離算法exRoot，將非多項(xiàng)式型實(shí)函數(shù)的實(shí)根分離問(wèn)題轉(zhuǎn)化
計(jì)算機(jī)應(yīng)用 2022年5期2022-06-21
- 談?wù)劷夂瑓⒁辉尾坏仁降牟襟E
當(dāng)確定方程有兩個(gè)實(shí)根時(shí)，要討論兩個(gè)實(shí)根的大小關(guān)系，從而確定不等式解集的形式．當(dāng)不等式所對(duì)應(yīng)方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)不確定時(shí)，需運(yùn)用分類討論思想討論判別式△與0的大小關(guān)系．當(dāng)確定方程無(wú)實(shí)根時(shí)，可直接寫(xiě)出不等式的解集．含參一元二次不等式問(wèn)題通常較為復(fù)雜，同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)要按照上述步驟對(duì)含有參數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)、方程的判別式、方程的根進(jìn)行合理的討論，這樣才能確保得到正確的答案．
語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版上旬 2022年10期2022-05-30
- 分類例析“嵌套函數(shù)”的零點(diǎn)問(wèn)題
)=1有3個(gè)不等實(shí)根；當(dāng)t=5時(shí)，由圖1易知方程f(x)=5有1個(gè)實(shí)根.綜上，g(x)有4個(gè)零點(diǎn).評(píng)注例1中f(x)為分段函數(shù),若直接寫(xiě)出g(x)的表達(dá)式考慮問(wèn)題非常繁瑣.本解法用換元法將g(x)分拆為g(t)=f(t)-1和t=f(x)兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù),借助f(x)的圖象大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算步驟.由此可見(jiàn)“換元解套”是解決嵌套函數(shù)的利器.二、求分段函數(shù)中參數(shù)的取值范圍解當(dāng)a當(dāng)a=0時(shí)，f(x)的圖象如圖2(b),f[f(x)]=0也不可能有8個(gè)不等實(shí)根.當(dāng)a
高中數(shù)學(xué)教與學(xué) 2022年7期2022-05-09
- 妙用多項(xiàng)式除法求解導(dǎo)數(shù)與解幾壓軸試題
x-1=0的一個(gè)實(shí)根,借助多項(xiàng)式除法得到另外一個(gè)因式x3-3x2+3x-1.通過(guò)驗(yàn)根和多項(xiàng)式除法,順利將g′(x)進(jìn)行化簡(jiǎn),從而突破難點(diǎn).證明由已知可得①②先考慮第①個(gè)不等式,轉(zhuǎn)化成(x-t)2(x2+2tx+3t2-2)≥0.Δ=8(1-t2).若00,則若1≤t2≤2,Δ≤0,此時(shí)考慮不等式②.設(shè)4x2-4(t3-t)x+3t4-2t2-8=0的兩個(gè)實(shí)根為x1,x2,令t2=λ,則λ∈[1,2].記f(λ)=λ3-5λ2+3λ+8,則f′(λ)簡(jiǎn)析對(duì)于
數(shù)理化解題研究 2022年10期2022-04-26
- 基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下賞析一道高考真題
＝x的一個(gè)最小正實(shí)根,求證:當(dāng)E(X)≤1時(shí),p＝1,當(dāng)E(X)＞1時(shí),p＜1;(3)請(qǐng)根據(jù)你的理解,說(shuō)明第(2)問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義.(1)利用公式計(jì)算可得E(X).由題意P(X＝0)＝0.4,P(X＝1)＝0.3,P(X＝2)＝0.2,P(X＝3)＝0.1,則(2)利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合f(1)＝0及極值點(diǎn)的范圍可得f(x)的最小正零點(diǎn).設(shè)f(x)＝p3x3＋p2x2＋(p1-1)x＋p0,因?yàn)閜3＋p2＋p1＋p0＝1,故若E(X)≤1,則p1＋
高中數(shù)理化 2022年7期2022-04-22
- 波利亞在LP類函數(shù)猜想上的工作
ζ（s）的所有非實(shí)根位于臨界線上。設(shè)ξ（s）=s（s－1）π－s/2Γ（s/2）?（s）/2，則ξ（iz+1∕2）是型為1的偶整函數(shù)，且若z取實(shí)值，則該函數(shù)取實(shí)值。黎曼猜想暗示ξ（s）的零點(diǎn)有實(shí)部1∕2，故ξ（iz+1∕2）屬于LP類函數(shù)。對(duì)于ξ（s）研究激起了對(duì)LP類函數(shù)性質(zhì)的探討。波利亞在“只具實(shí)根的三角積分”，勒文（B.Levin）在1980年再版的“整函數(shù)零點(diǎn)分布”第八章中指出，若黎曼猜想成立，則ξ（s）屬于LP類函數(shù)。一個(gè)整函數(shù)屬于LP類當(dāng)且僅當(dāng)
內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)漢文版) 2021年5期2021-12-31
- 試解“新高考”2021年數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅱ卷第21題
=x的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E(X)≤1時(shí)，p=1，當(dāng)E(x)>1時(shí)，p(3)根據(jù)你的理解說(shuō)明(2)問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義.本題第(1)、第(3)問(wèn)較易回答，此處不予討論，在此僅討論第(2)問(wèn)：求解想法此問(wèn)關(guān)鍵在于找到這個(gè)關(guān)于x的三次方程的最小正實(shí)根，于是，可以考慮求出它的根(至多3個(gè)實(shí)數(shù)根)，進(jìn)行比較，但縱觀全國(guó)高考題的特點(diǎn)，直接求出此方程的所有實(shí)數(shù)根，并非易事！這一來(lái)，解題者應(yīng)有心理準(zhǔn)備，討論方程根的特點(diǎn)，比較大小，找到最小正實(shí)根，可嘗試通過(guò)分解因式能否找
數(shù)理化解題研究 2021年34期2021-12-26
- 高維多項(xiàng)式理想的實(shí)根計(jì)算
中，多項(xiàng)式理想的實(shí)根扮演著如同根理想在復(fù)代數(shù)幾何中一樣的角色。與多項(xiàng)式理想的根的計(jì)算相比較，計(jì)算多項(xiàng)式理想的實(shí)根要困難得多。近年來(lái)，研究零維多項(xiàng)式理想的實(shí)根計(jì)算文獻(xiàn)較多，但對(duì)高維多項(xiàng)式理想的實(shí)根計(jì)算問(wèn)題的研究相對(duì)較少。一般說(shuō)來(lái)，研究者主要從數(shù)值計(jì)算和符號(hào)計(jì)算兩方面來(lái)研究多項(xiàng)式理想的實(shí)根計(jì)算問(wèn)題。在符號(hào)計(jì)算方面，Beker和Neuhaus在文獻(xiàn)[1-2]中通過(guò)Gr?bner基[3-4]給出一個(gè)計(jì)算零維理想實(shí)根的算法。由于Gr?bner基的計(jì)算本身就存在比較大
南昌大學(xué)學(xué)報(bào)（理科版） 2021年5期2021-12-16
- 盛金公式與高考導(dǎo)數(shù)題奇遇記
，方程有一個(gè)三重實(shí)根；當(dāng)Δ=B2-4AC>0時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)根和一對(duì)共軛虛根；當(dāng)Δ=B2-4AC=0時(shí)，方程有三個(gè)實(shí)根，其中有一個(gè)兩重根；當(dāng)Δ=B2-4AC三、盛金公式應(yīng)用(1)若a=3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).解析(1)利用導(dǎo)數(shù)的常規(guī)解法，略.所以方程f(x)=0只有一個(gè)實(shí)根.即f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).四、總結(jié)盛金公式在求解三次函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)有著優(yōu)于分離參數(shù)法及討論極值法的便捷與迅速.但導(dǎo)數(shù)題中非三次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題更適合利用
數(shù)理化解題研究 2021年19期2021-08-05
- 光滑函數(shù)實(shí)根計(jì)算的漸進(jìn)顯式公式
介紹求解光滑函數(shù)實(shí)根的3 種方法。（1） 類牛頓法，包走 Newton，Halley 和Ostrowski 法［8-10］。從初始值開(kāi)始，獲得近似于根的點(diǎn)序列，通常用第k個(gè)點(diǎn)的信息計(jì)算第(k+1)個(gè)點(diǎn)，計(jì)算性能取決于初始值的選取，當(dāng)初始值選取錯(cuò)誤時(shí)，易發(fā)散。文獻(xiàn)［9-10］以收斂階8 得到了最佳效率指數(shù)，但不易擴(kuò)展至更高收斂階［11］。理論上相應(yīng)的區(qū)間方法可提高計(jì)算穩(wěn)定性，但將耗費(fèi)更多的計(jì)算時(shí)間［12-13］?；诘芽柗▌t與Sturm 定理的多項(xiàng)式求根方
浙江大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版） 2021年2期2021-03-23
- 方程lnx=bx-a兩實(shí)根和的范圍及應(yīng)用
nx=bx-a兩實(shí)根和的范圍問(wèn)題，通常牽涉極值點(diǎn)偏移，是近幾年高考模擬卷中的熱點(diǎn)題型，在高考中也曾出現(xiàn).本文通過(guò)研究得出常見(jiàn)的六個(gè)相關(guān)結(jié)論，并展示結(jié)論相應(yīng)的推證方法及應(yīng)用，旨在幫助同學(xué)們掌握這類壓軸題型的解決方法.一、結(jié)論及證明結(jié)論一當(dāng)b=1時(shí)，若方程lnx=x-a有兩不同實(shí)根x1,x2，則x1+x2>2.又因?yàn)閤2>1，2-x1>1，f(x)在(1,+)上單調(diào)遞增，所以x2>2-x1，x1+x2>2成立.結(jié)論二當(dāng)b=1時(shí)，方程lnx=x-a有兩不同實(shí)根x
數(shù)理化解題研究 2021年4期2021-03-11
- 實(shí)代數(shù)曲線的孤立零點(diǎn)
以及單變量多項(xiàng)的實(shí)根隔離等基本內(nèi)容，它們是證明主要結(jié)果和建立算法的工具.第三節(jié)是主要結(jié)果及其證明.最后一節(jié)是算法的描述以及運(yùn)算實(shí)例.1 預(yù)備知識(shí)首先，我們需要復(fù)習(xí)一些關(guān)于代數(shù)曲線的基本知識(shí)，可參考文獻(xiàn)[8-9].1.1 牛頓折線.令在實(shí)平面R2上描出滿足ai，j≠0的點(diǎn)(i，j).我們獲得集合Δ(f)稱為f的牛頓圖(Newton diagram).牛頓圖Δ(f)的凸包是一個(gè)凸多邊形，它的下邊界被稱為牛頓折線，記為N(f).牛頓折線另一個(gè)嚴(yán)格的定義為:凸集的
- 例說(shuō)一類復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的解題策略
f(x)]=0的實(shí)根個(gè)數(shù)分別為m，n，則m+n=( )A.18 B.16C.14 D.12解:由圖象知，f(x)=0有3個(gè)實(shí)根xi(i=1,2,3)，其中x1∈(-2,-1)，x2=0，x3∈(1,2).g(x)=0有3個(gè)實(shí)根yi(i=1,2,3)，其中y1∈(-1,0)，y2=0，y3∈(0,1).由f[g(x)]=0，得g(x)=xi(i=1,2,3).由圖象可知方程g(x)=xi(i=1,2,3)都有3個(gè)實(shí)根，因而m=9；由g[f(x)]=0，得f(
教學(xué)考試(高考數(shù)學(xué)) 2020年1期2020-11-15
- 解一元二次方程中的誤點(diǎn)例析
次方程，由方程有實(shí)根，應(yīng)有二、忽視了方程的根是否是實(shí)根例2 如果方程2x2+(a2-3a-10)x+2a=0的兩個(gè)實(shí)根互為相反數(shù)，求a的值.錯(cuò)解設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)根是x1和x2，由題意有x1=-x2，即x1+x2=0.那么由二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知可化為(a-5)(a+2)=0,解得a=5或者a=-2.剖析注意到方程的兩個(gè)實(shí)根互為相反數(shù)的前提條件是方程有實(shí)根，所以不能忽略了判別式的檢驗(yàn)作用.實(shí)際上，當(dāng)a=5時(shí)，Δ=0-4×2×10=-80所以本題正確答案是a=
數(shù)理化解題研究 2020年8期2020-03-30
- 波利亞在三角積分零點(diǎn)實(shí)性上的工作研究
ζ(s)的所有非實(shí)根位于臨界線上.黎曼給出從整函數(shù)理論出發(fā)考慮關(guān)于(s?1)ζ(s)或類似函數(shù)的研究由阿達(dá)瑪在皮卡的指導(dǎo)下于1892年完成的博士論文中創(chuàng)立.阿達(dá)瑪?shù)哪康氖前颜瘮?shù)理論應(yīng)用于ζ(s)的研究,并為此完成三篇論文.胡爾維茲研究了阿達(dá)瑪?shù)倪@些論文,深受影響,并把有關(guān)研究結(jié)果第一個(gè)告知波利亞.波利亞和胡爾維茲關(guān)系很好,在1918年論文中稱他是可尊敬的學(xué)者.他整理其數(shù)學(xué)遺稿,并在1933年出版了全集.波利亞受他在ζ(s)上工作影響很大,并繼承他的有關(guān)思
- 方程實(shí)根問(wèn)題類析
省吉水中學(xué))方程實(shí)根問(wèn)題涉及方程實(shí)根(函數(shù)零點(diǎn))的個(gè)數(shù)、各實(shí)根之和以及參數(shù)的取值范圍等，常要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、周期性及函數(shù)圖象的對(duì)稱性等性質(zhì)，利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，結(jié)合數(shù)形結(jié)合、分類與整合、函數(shù)與方程和化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想來(lái)解決.此類題型經(jīng)常出現(xiàn)在試卷客觀題的最后一道題中，有一定的難度，能綜合考查學(xué)生的抽象概括能力與直觀想象核心素養(yǎng)，受到各類考試命題人的青睞.一、形如f(x)=m的方程實(shí)根問(wèn)題( )A.6 B.7C.8 D.9【思路分析】本題要先畫(huà)出f(
教學(xué)考試(高考數(shù)學(xué)) 2019年6期2019-11-19
- 全國(guó)名校不等式測(cè)試題（A 卷）參考答案與提示
程f(x)=0有實(shí)根。(2)因?yàn)閒(0)＞0，f(1)＞0，所以c＞0，3a+2b+c＞0。由條件a+b+c=0，消去b，得a＞c＞0。由條件a+b+c=0，消去c，得a+b＜0，2a+b＞0，故(3)拋物線f(x)=3ax2+2bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為的兩邊乘以又因?yàn)閒(0)＞0，f(1)＞0，而所以方程f(x)=0 在區(qū)間內(nèi)分別有一實(shí)根。故方程f(x)=0在(0，1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根。
- 分離目標(biāo)函數(shù)巧解導(dǎo)數(shù)試題
,+)內(nèi)存在唯一實(shí)根.代入上式得顯然φ(a)在(0,1)單調(diào)遞增,φ(0)0.由零點(diǎn)存在定理可知,存在唯一的零點(diǎn)x0∈(0,1),使得φ(x0)=0.故存在a∈(0,1),使得h(x2)=0在區(qū)間(1,+)內(nèi)存在唯一實(shí)根.(1)若f(x)在定義域上不單調(diào),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(略)由已知有x1,x2是方程x2-ax+1=0的兩個(gè)不等正實(shí)根.故x1+x2=a,x1x2=1.不妨設(shè)01,0所以g′(x)故有當(dāng)00,當(dāng)x>1時(shí),g(x)由于g(1)=0,因此有g(shù)
數(shù)理化解題研究 2019年28期2019-10-23
- 探究實(shí)根分布問(wèn)題
名慰一元二次方程實(shí)根分布問(wèn)題的研究，是我們平時(shí)研究得比較透徹的一類問(wèn)題.筆者在過(guò)去的一些資料中發(fā)現(xiàn)這類問(wèn)題又被老師們分成了六七個(gè)小類，比如有一解、有兩解;兩解都在某區(qū)間內(nèi)、都在某區(qū)間外;兩根都大于某個(gè)數(shù)、都小于某個(gè)數(shù)、一根大于某數(shù)另一根小于某數(shù)，等等.很多同學(xué)覺(jué)得難以掌握，主要原因在于，不同“類型”的問(wèn)題，其細(xì)節(jié)處理有很大不同，有的需要考慮“判別式△”，有的需要考慮二次函數(shù)對(duì)稱軸的范圍，有的只需要考慮區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值符號(hào)，有的需要考慮的條件明顯更多……一些
新高考·高二數(shù)學(xué) 2019年3期2019-09-05
- 分?jǐn)?shù)階Langford系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析
程(5)有三個(gè)正實(shí)根；② 如果e>0，ad-bc>0且a+d③ 如果e>0且ad-bc④ 如果e0且a+d>0，則特征方程(5)有兩個(gè)正實(shí)根，一個(gè)負(fù)實(shí)根；⑤ 如果e0且a+d表1 特征方程(5)的根在空間(a,b,c,d,e)中的分布Tab.1 Distribution of roots of Eq.(5) in (a,b,c,d,e)-space⑥ 如果e2)當(dāng)Δ10且a+d>0，則特征方程(5)有一個(gè)正實(shí)根和一對(duì)復(fù)共軛根，其中復(fù)根的實(shí)部均為正數(shù)；② 如
- 關(guān)于四元數(shù)系數(shù)多項(xiàng)式特殊根的研究
確定常系數(shù)多項(xiàng)式實(shí)根個(gè)數(shù)的一種有效方法[11]，但對(duì)于具有符號(hào)系數(shù)的多項(xiàng)式，該算法極不方便. 參數(shù)多項(xiàng)式完全根的分類已應(yīng)用于多問(wèn)題的研究中，并建立了多種方法[12-16]. 而對(duì)四元數(shù)系數(shù)多項(xiàng)式的根進(jìn)行計(jì)數(shù)和分類卻未發(fā)現(xiàn)類似結(jié)果， H表示實(shí)四元數(shù)體.本文通過(guò)構(gòu)造從四元數(shù)系數(shù)多項(xiàng)式 Q(t)根的集合到由 Q(t)確定的某些實(shí)(復(fù))多項(xiàng)式的實(shí)(復(fù))根集合的一個(gè)雙射，來(lái)確定 Q(t)的球形根、實(shí)根、孤立復(fù)根、純虛數(shù)四元根，以及在或中根的集合.結(jié)果表明，實(shí)(復(fù))系
廣東工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào) 2019年3期2019-05-16
- 追本溯源，突破難點(diǎn)
——二輪復(fù)習(xí)中的“一法”解“嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題”
設(shè)f(t)=0的實(shí)根為ti(i=1,2,…)，則“f(g(x))=0的實(shí)根個(gè)數(shù)”等價(jià)于“直線y=ti與函數(shù)g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)”或“關(guān)于x的方程ti=g(x)的實(shí)根個(gè)數(shù)”.可以發(fā)現(xiàn)通過(guò)轉(zhuǎn)化與化歸后，原題就回歸到熟知的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的類型了.具體過(guò)程如下.【解析】令t=g(x),則f(g(x))=0，即轉(zhuǎn)化為f(t)=0,先求f(t)=0,再解方程t=g(x)，得到的x即為函數(shù)f(g(x))的零點(diǎn).(Ⅰ)當(dāng)t①當(dāng)a>1即-1>1-2a時(shí)，t=g(x)有2個(gè)
教學(xué)考試(高考數(shù)學(xué)) 2019年2期2019-04-24
- 三次函數(shù)有關(guān)極值的一個(gè)性質(zhì)及應(yīng)用
0有兩個(gè)不相等的實(shí)根.下面舉例說(shuō)明上述結(jié)論在解題中的應(yīng)用.例1 已知f(x)=ax3+bx2+cx,a+b+c=0,g(x)=f′(x),若g(0)g(1)>0,求證f(x)有兩個(gè)極值.例2 函數(shù)f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2處有極值,其圖像在x=1處的切線平行于直線6x+2y+5=0,求極大值與極小值的差.解：f′(x)=3x2+6ax+3b,f′(x)=0有根x=2,所以4+4a+b=0①,由于圖像在x=1處的切線平行于直線6x+2y+5
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2018年8期2018-08-30
- 推理與證明中的常見(jiàn)誤區(qū)
個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根。錯(cuò)解：假設(shè)三個(gè)方程都沒(méi)有兩個(gè)相異實(shí)根,則Δ1=4b2-4ac＜0,Δ2=4c2-4ab＜0,Δ3=4a2-4bc＜0。三式相加,整理得a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2＜0。(*)故(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2＜0,此不等式不能成立,三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根。剖析：上面解法的錯(cuò)誤在于認(rèn)為“方程沒(méi)有兩個(gè)相異實(shí)根就有Δ＜0”,事實(shí)上,“方程沒(méi)有兩個(gè)相異實(shí)根時(shí)Δ≤0”。正解：假設(shè)三個(gè)方程都沒(méi)
- 《數(shù)學(xué)通訊》問(wèn)題219的準(zhǔn)確最值
,1)內(nèi)有唯一的實(shí)根y=y0.雖然上述過(guò)程是正確的，但下面論述卻有欠妥之處：“如上面這樣的一元四次實(shí)系數(shù)方程①,我們僅能判斷其是否有實(shí)根,卻不能求出所存在的實(shí)根的準(zhǔn)確值(理論值).由于這種方程的實(shí)根的準(zhǔn)確值(理論值)不能求出.因而PQ的最小值PQ0的準(zhǔn)確值(理論值)也就不能求出.對(duì)于本爭(zhēng)鳴問(wèn)題,我們雖不能求出PQ0的準(zhǔn)確(理論)值,但可以通過(guò)近似計(jì)算求出它的精確到一定數(shù)位的近似值(列).”我們知道，實(shí)系數(shù)一元四次方程是可以求解的，我們運(yùn)用費(fèi)拉里與卡爾丹的古
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 2018年2期2018-04-24
- 二次方程的實(shí)根分布問(wèn)題分類解析
00)二次方程的實(shí)根分布問(wèn)題分類解析鮑人燈(浙江省天臺(tái)育青中學(xué) 317200)本文就高考復(fù)習(xí)中的一類常見(jiàn)題型——含參的二次方程實(shí)根分布問(wèn)題的求解方法，分類歸納，并舉例說(shuō)明，對(duì)高考備考專題復(fù)習(xí)有參考價(jià)值.二次方程；實(shí)根分布；區(qū)間；取值范圍由二次方程的實(shí)根分布來(lái)求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題是對(duì)初中有關(guān)二次方程、二次函數(shù)的進(jìn)一步深化，并構(gòu)成高中數(shù)學(xué)的基本知識(shí)塊，是各種數(shù)學(xué)思想的交匯處，更是高考考查的熱點(diǎn).本文從函數(shù)、方程、不等式諸角度對(duì)這類問(wèn)題分類解析，以使考生明確思路
數(shù)理化解題研究 2017年31期2018-01-02
- 學(xué)會(huì)逆向思考，讓學(xué)習(xí)事半功倍
、正難則反，巧解實(shí)根學(xué)生在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)遇到一些問(wèn)題，這些問(wèn)題如果直接求解會(huì)有許多種情況需要考慮，需要耗費(fèi)很多時(shí)間，如果正面求解會(huì)使得學(xué)生本就寶貴的時(shí)間更加匱乏.這種情況下不妨從問(wèn)題的反面入手，通過(guò)仔細(xì)閱讀題目，找到問(wèn)題的反面，也許求解過(guò)程會(huì)容易許多，能夠事半功倍.例3 假設(shè)一下三個(gè)方程x2-2mx+m2-m=0，x2-(4m-1)+4m2+m=0和4x2-(12m+4)x+9m2+8m+12=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，求m的范圍.解析題干中
數(shù)理化解題研究 2017年23期2017-10-20
- 由一道選擇壓軸題參考答案引起的探究*
程f(x)=x無(wú)實(shí)根，則方程f(f(x))=x( ).A.有四個(gè)相異實(shí)根B.有兩個(gè)相異實(shí)根C.有一個(gè)實(shí)根D.無(wú)實(shí)根解:由f(x)=x2+bx+c開(kāi)口向上，且方程f(x)=x無(wú)實(shí)根，得?x∈R，f(x)>x，故f(f(x))>f(x)>x，所以f(f(x))=x無(wú)實(shí)根.3.(2013福建三明市質(zhì)量檢測(cè)理10)對(duì)于函數(shù)f(x)，若f(x0)=x0，則稱x0為函數(shù)f(x)的“不動(dòng)點(diǎn)”；若f(f(x0))=x0，則稱x0為函數(shù)的“穩(wěn)定點(diǎn)”.如果函數(shù)f(x)=x2+
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2017年5期2017-05-11
- 運(yùn)用逆向思維例說(shuō)解決選擇題的另類思路
，能推出方程③無(wú)實(shí)根的是( ).A.方程①有實(shí)根且②有實(shí)根B.方程①有實(shí)根且②無(wú)實(shí)根C.方程①無(wú)實(shí)根且②有實(shí)根D.方程①無(wú)實(shí)根且②無(wú)實(shí)根答案：D.解題分析 當(dāng)拿到這個(gè)題目時(shí)，有可能不知其所以然，其實(shí)這個(gè)題目仍舊可以利用舉例排除法.由a1，a2，a3成等比數(shù)列，不妨設(shè)其就是一個(gè)遞增的等比數(shù)列并讓其依次為1、2、4，則可知方程①無(wú)實(shí)根且②有實(shí)根，而方程③有實(shí)根則可知C選項(xiàng)錯(cuò)誤，再利用這種舉特殊例子的方法便可以找出正確選項(xiàng).反思 當(dāng)我們遇到一個(gè)題目時(shí)要思維開(kāi)闊，
數(shù)理化解題研究 2017年7期2017-04-15
- “常用邏輯用語(yǔ)”高考考點(diǎn)題型歸類析練與預(yù)測(cè)
2+x-m=0有實(shí)根”的逆否命題是( ).A. 若方程x2+x-m=0有實(shí)根，則m>0B. 若方程x2+x-m=0有實(shí)根，則m≤0C. 若方程x2+x-m=0沒(méi)有實(shí)根，則m>0D. 若方程x2+x-m=0沒(méi)有實(shí)根，則m≤0答案：D.二、命題的否定例2(2015全國(guó)Ⅰ，理3)設(shè)命題p:?n∈N,n2>2n，則p為( ).A.?n∈N,n2>2nB.?n∈N,n2≤2nC.?n∈N,n2≤2nD.?n∈N,n2=2n點(diǎn)評(píng) 本題考查了特稱命題的否定.解本題的關(guān)鍵
數(shù)理化解題研究 2017年7期2017-04-15
- 厘清錯(cuò)因，正確解題
2kx+k=0有實(shí)根，求k的取值范圍.【學(xué)生錯(cuò)解】由題意，得k-1≠0，（2k）2-4k（k-1）≥0，解得k≥0且k≠1時(shí)，方程有實(shí)根.【教師點(diǎn)評(píng)】題設(shè)中交代方程有實(shí)根，并沒(méi)有說(shuō)明這個(gè)方程是一元一次方程還是一元二次方程，因此本題需要分兩種情況討論，一元一次方程有實(shí)根還是一元二次方程有實(shí)根.【正確解答】當(dāng)k-1=0，即k=1時(shí)，方程化為2x+1=0，∴x=-.當(dāng)k-1≠0時(shí)，如前面所解，得k≥0且k≠1.∴當(dāng)k≥0時(shí)，方程有實(shí)根.四、 應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系的前
初中生世界·九年級(jí) 2016年9期2016-10-09
- 三角函數(shù)多項(xiàng)式的實(shí)根分離
三角函數(shù)多項(xiàng)式的實(shí)根分離陳世平1劉忠2（1.四川省商貿(mào)學(xué)校-中國(guó)民航飛行學(xué)院德陽(yáng)校區(qū)，四川省德陽(yáng)市618000；2.樂(lè)山職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川省樂(lè)山市614000）本文探索非多項(xiàng)式型實(shí)函數(shù)的實(shí)根分離問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了分離三角函數(shù)多項(xiàng)式實(shí)根的“完備算法”，即可以找出一個(gè)互不相交的區(qū)間列，每一個(gè)區(qū)間包含函數(shù)一個(gè)實(shí)根，整個(gè)列表包含函數(shù)的全部實(shí)根，且每個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度可以小于任意指定精度.三角函數(shù)多項(xiàng)式；實(shí)根分離；區(qū)間列；終止性0 引言實(shí)根分離是實(shí)代數(shù)的基本算法之一，不僅有很強(qiáng)的
- "函數(shù)零點(diǎn)"常見(jiàn)題型及案例分析
)=0有2個(gè)相異實(shí)根.方法2: 作出g(x)=x+e2/x(x>0)的大致圖象如圖1. 若使y=g(x)-m有零點(diǎn),則只需m≥2e.(2) 若g(x)-f(x)=0有2個(gè)相異實(shí)根,即y=g(x)與y=f(x)的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn),在同一坐標(biāo)系中,作出函數(shù)g(x)=x+e2/x(x>0)與f(x)=-x2+2ex+m-1的大致圖象如圖2.圖1 圖2因?yàn)閒(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2，其圖象的對(duì)稱軸為x=e,開(kāi)
高中數(shù)理化 2016年10期2016-06-12
- 圖形關(guān)系對(duì)判別式的作用
0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求K的取值范圍。（2）已知方程sin2 -2sin +m=0有實(shí)根，且 是銳角，求m的取值范圍。解析：解此二題均可首先從判別式入手：即△（1）=（）2-4K>0，則K例3：已知a，b，c為△ABC的三邊長(zhǎng)，試判斷二次方程b2x2+（b2+c2-a2）x+c2=0的根的情況。解析：判別一個(gè)一元二次方程根的情況要用根的判別式，而判別式：△=（b2+c2-a2）2-4b2c2=（b+c+a）（b+c-a）（b-c+a）（b-c-a）。顯然，
讀寫(xiě)算·素質(zhì)教育論壇 2016年19期2016-05-30
- 直接證明和間接證明解析
=0]至多有兩個(gè)實(shí)根D. 方程[x3+ax+b=0]恰好有兩個(gè)實(shí)根解析 依據(jù)反證法的要求，即至少有一個(gè)的反面是一個(gè)也沒(méi)有，直接寫(xiě)出命題的否定. 方程[x3+ax+b=0]至少有一個(gè)實(shí)根的反面是方程[x3+ax+b=0]沒(méi)有實(shí)根.答案 A例5 設(shè)[a，b]是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：①[a+b>1；]②[a+b=2；]③[a+b>2；]④[a2+b2>2；]⑤[ab>1].其中能推出：“[a，b]中至少有一個(gè)大于1”的條件是 .（填序號(hào)）解析 若[a=12，b
高中生學(xué)習(xí)·高三版 2016年1期2016-05-30
- 例談三次函數(shù)問(wèn)題的求解
x)=0僅有2個(gè)實(shí)根;對(duì)于③:因?yàn)閒(-1)=2+b>0,f(1)=b-2>0,所以可得方程f(x)=0僅有1個(gè)實(shí)根.當(dāng)a=0或a=1時(shí),因?yàn)棣ぁ?,所以f(x)的圖象在R上遞增,顯然方程f(x)=0僅有1個(gè)實(shí)根.綜上,所給條件中使得該三次方程僅有1個(gè)實(shí)根的條件是①③④⑤.4根據(jù)函數(shù)的拐點(diǎn)特征,巧解題故所求式的值為1 007×2=2 014.綜上,明確一元三次函數(shù)的“圖象”規(guī)律,有利于我們從整體上把握問(wèn)題本質(zhì),從相關(guān)規(guī)律、特點(diǎn)出發(fā)迅速探求解題思路.(作者單
高中數(shù)理化 2016年6期2016-04-25
- 二次函數(shù)迭代的一個(gè)問(wèn)題的探究
)=x有2個(gè)不等實(shí)根，則1)當(dāng)0＜Δ0＜4時(shí)，f2(x)=x只有2個(gè)不等實(shí)根;2)當(dāng)Δ0＞4時(shí)，f2(x)=x有4個(gè)不等實(shí)根.方程f2(x)=x中的f2(x)為f2(x)=f(f(x))，一般地有fn(x)= f(fn-1(x)).本文將考慮一般二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c (其中a≠0且a，b，c∈R)的迭代，用初等方法給出了方程f2(x)=x的所有實(shí)根，顯然方程f2(x)=x為x的4次方程.記y=f(x)，即由f2(x)=x知x=f(y)，即上述
中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2015年3期2015-12-08
- 淺談函數(shù)的零點(diǎn)
在函數(shù)定義域上的實(shí)根，從“形”的角度來(lái)說(shuō)就是函數(shù)y=f（x）的圖像在定義域上與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。因此，要把握好兩點(diǎn)：函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)<=>方程f（x）=O在定義域上的實(shí)根<=>函數(shù)y=f（x）的圖像在定義域上與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；方程f（x）-g（x）=0的實(shí)根㈢方程f（x）=g（x）的實(shí)根<=>函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。下面給出幾道典型例題及解答，供大家參考。例1 函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)問(wèn)是（）。A.（-2，-1）B.（-
中學(xué)生數(shù)理化·高一版 2015年9期2015-11-26
- 實(shí)系數(shù)二次方程實(shí)根分布問(wèn)題中參數(shù)范圍的求法
定實(shí)系數(shù)二次方程實(shí)根分布問(wèn)題中參數(shù)的取值范圍是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是歷年高考考查的熱點(diǎn)，它涉及的數(shù)學(xué)思想方法較多，綜合性較強(qiáng)。解決此類問(wèn)題的主要思路是：從對(duì)應(yīng)函數(shù)的開(kāi)口方向、特殊點(diǎn)的函數(shù)值的正負(fù)、對(duì)稱軸的位置、判別式與0的關(guān)系等幾個(gè)角度綜合考慮后構(gòu)建充要條件，從而求出參數(shù)的取值范圍?，F(xiàn)結(jié)合實(shí)例介紹幾種題型及其求解策略，供大家參考。為敘述方便，現(xiàn)約定：當(dāng)實(shí)系數(shù)二次方程ax?+bx+c=0（a≠O）有兩個(gè)實(shí)根時(shí)，這兩個(gè)實(shí)根分別為x1、x2。類型一：方程的兩
中學(xué)生數(shù)理化·高三版 2015年7期2015-07-06
- 實(shí)系數(shù)一次方程實(shí)根分布問(wèn)題探微
——兼談主元法
希實(shí)系數(shù)一次方程實(shí)根分布問(wèn)題探微 ——兼談主元法☉北京理工大學(xué)附屬中學(xué)何拓程工作室 王洪希一、問(wèn)題的提出眾所周知，實(shí)系數(shù)二次方程實(shí)根分布的理論，是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，它充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想，以及數(shù)形結(jié)合的方法，在求解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)有著十分廣泛的應(yīng)用，應(yīng)引起大家的普遍重視.那么實(shí)系數(shù)一次方程，它的實(shí)根分布問(wèn)題，有哪些結(jié)論呢？這些結(jié)論的理論基礎(chǔ)是什么？在教學(xué)過(guò)程中又有哪些作用？本文就此作一點(diǎn)探討，供大家參考.二、實(shí)系數(shù)一次方程實(shí)根分布的內(nèi)容定理1：設(shè)有實(shí)
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年1期2015-05-05
- 解題研究三例研出三個(gè)性質(zhì)
f（x））=x的實(shí)根情況的性質(zhì).題1（2013年高考四川卷·文10）設(shè)函數(shù)f（x）=ex+x-a（a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，則a的取值范圍是（）.A.[1，e]B.[1，1+e]C.[e，1+e]D.[0，1]解析因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=ex+x-a在其定義域上是增函數(shù)，且f（x）≥0，所以當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，只能有f（x）=x（若不然，（1）f（x）>x，則f（f（x））>f（x）>x，與條件f（f（x））=x
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(高中版) 2015年2期2015-04-07
- 淺析一元實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式方程的根的分布
實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式 實(shí)根一、相關(guān)定理定理1［1］推論1［2］對(duì)于一元二次方程實(shí)根的分布問(wèn)題一般都是根據(jù)題設(shè)要求，直接用判別式韋達(dá)定理和求根公式等知識(shí)通過(guò)解不等式（組）來(lái)求解的，這種方法十分麻煩，結(jié)合代數(shù)理論，介紹一種新的判別方法.定理3［3-4］設(shè)且為方程的兩個(gè)實(shí)根.二、中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用中學(xué)數(shù)學(xué)中一些相對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)作線性代換，更換主元，利用主元法，將其轉(zhuǎn)化成方程的實(shí)根分布問(wèn)題來(lái)解決會(huì)起到簡(jiǎn)化計(jì)算積極效果。1.不等式求解2.不等式證明通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃?，?duì)某些不等式
新教育時(shí)代電子雜志(學(xué)生版) 2015年29期2015-02-28
- 按Laplace譜半徑對(duì)一些偶單圈圖的排序
)至少有k+1個(gè)實(shí)根,而P(x,k) 是k+2次多項(xiàng)式,故其余的根必定是實(shí)數(shù)．下面說(shuō)明P(x,k)在(4,r2)內(nèi)僅有一個(gè)根c(k),且為P(x,k)的最大根．不然,若(4,c(k)]內(nèi)還有一個(gè)根d,由P(x,k)的連續(xù)性及根的分布特點(diǎn)可知,當(dāng)x∈(4,d)時(shí),P(x,k)0矛盾．由此可見(jiàn),P(x,k)的第二大根是小于4的．下面考慮P(x,k)的最大根c(k)隨k嚴(yán)格遞減且有下界．由Maple計(jì)算可知,c(4)=4.385 7,c(5)=4.384 7,故
大連理工大學(xué)學(xué)報(bào) 2014年1期2014-09-07
- 高中數(shù)學(xué)不等式解法探討
=0有兩個(gè)不同的實(shí)根，且x10的解集為{xx2}；不等式ax2+bx+c<0的解集為{x10的解集為{x∈R且x≠x0}，不等式ax2+bx+c<0的解集為；（3）當(dāng)Δ<0，方程ax2+bx+c=0無(wú)實(shí)根，不等式ax2+bx+c>0的解集為{x∈R}，不等式ax2+bx+c<0的解集為.當(dāng)a<0時(shí)，可以在不等式的兩邊同時(shí)乘以-1，從而轉(zhuǎn)化為a>0時(shí)來(lái)解.2.根軸法解一元高次不等式一元高次不等式為f（x）=a（x-x1）（x-x2）…（x-xn），且（x10
中學(xué)教學(xué)參考·理科版 2014年3期2014-04-10
- 三次方程根的判別式定理的新證明
＞0，方程有一個(gè)實(shí)根和一對(duì)共軛虛根；（2）D=0，方程有三個(gè)實(shí)根，且其中有兩個(gè)相等；（3）D＜0，方程有三個(gè)互不相等的實(shí)根。易見(jiàn)三次方程 x3+px+q= 0(p,q ∈R )根的判別式D與 一 元 二 次 方 程 ax2+bx+c= 0(a≠0)根 的 判 別 式Δ= b2- 4ac的作用相同。由于三次方程根的判別式定理需要借助于卡丹公式的推導(dǎo)過(guò)程才能理解透徹（參見(jiàn)文獻(xiàn)[1]和[2]），而卡丹公式的推導(dǎo)技巧性又較強(qiáng)，所以，要深刻理解D的符號(hào)如何對(duì)三次方程
唐山師范學(xué)院學(xué)報(bào) 2011年2期2011-10-25
- 構(gòu)造輔助函數(shù)法在《數(shù)學(xué)分析》中的應(yīng)用
不超過(guò)a+b的正實(shí)根.證明 方程可化為x-asinx-b=0令f(x)=x-asinx-b，則f(x)在[0,a+b]上連續(xù)，且f(0)=-b＜0,f(a+b)=(a+b)-asin(a+b)-b=a[1-sin(a+b)]≥0（?。┤鬴(a+b)=0，則ξ=a+b是方程f(x)=0的根；（ⅱ）若f(a+b)＞0，則根據(jù)零點(diǎn)存在定理，至少?ξ∈(0, a+b)，使f(ξ)=0,即方程f(x)=0至少有一個(gè)小于a+b的正實(shí)根ξ.由（ⅰ）、（ⅱ）可知，方程x=
赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)·自然科學(xué)版 2010年9期2010-10-09
- 函數(shù)奇偶性在解題中的應(yīng)用
（x）=0有n個(gè)實(shí)根,證明n必為奇數(shù).證明:∵f（x）是R上的奇函數(shù)， ∴ f（-x）=-f（x），則f（0）=-f（0），即f（0）=0，即0是f（x）的一個(gè)實(shí)根.若f（x）=0除了x=0這個(gè)實(shí)根外,還有實(shí)根x１，x２，x３，…，xｋ（k∈N）.而f（x）是奇函數(shù)，可知-x１，-x２，-x３，…，-xｋ也必為f（x）=0的實(shí)根,即f（x）=0的非零實(shí)根必成對(duì)出現(xiàn),故f（x）=0的實(shí)根個(gè)數(shù)n必為奇數(shù).八、證明條件等式例8已知α≠kπ+，β≠kπ（k∈Z），
中學(xué)生數(shù)理化·教與學(xué) 2008年5期2008-09-08