廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的一組含參數(shù)充分條件

肖麗霞，韓貴春

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼028000)

廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣(非奇異H－矩陣)在計(jì)算數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)物理、經(jīng)濟(jì)學(xué)、控制論等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用．近年來，對(duì)廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣判別方法的研究已取得了一系列研究成果［1－9］．本文所提出的判別方法是在文獻(xiàn)［1］和文獻(xiàn)［5］的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，得到了新的含參數(shù)的充分條件．

設(shè)矩陣A=(aij)∈Cn×n為n階復(fù)(實(shí))方陣，N={1，2，…，n}，α∈［0，1］，記:

定義1［2］設(shè)，若存在α∈［0，1］，使得，則稱A為α－對(duì)角占優(yōu)矩陣，記為

定義2［2］設(shè)，若存在α∈［0，1］，使得，則稱A為嚴(yán)格α－對(duì)角占優(yōu)矩陣，記為A∈D(α)．

定義3［2］設(shè)A=(aij)∈Cn×n，若存在正對(duì)角矩陣X，使得AX∈D(α)，則稱A為廣義嚴(yán)格α－對(duì)角占優(yōu)矩陣，記為A∈D*(α)．

引理1［2］設(shè)A=(aij)∈Cn×n，若A∈D(α)，α∈［0，1］，則A∈D*．

引理2［3］設(shè)A=(aij)∈Cn×n，若A∈D0(α)，α∈［0，1］，A不可約且N1≠?，則A∈D*．

引理3［2］設(shè)A=(aij)∈Cn×n，若A∈D0(α)，α∈［0，1］，且?i∈N3，都有非零元素鏈aik1，ak2k3，…，akpj，使得j∈N1，則A∈D*．

引理4［4］設(shè)A=(aij)∈Cn×n，若存在正對(duì)角矩陣X，使得AX∈D*，則A∈D*．

1 主要結(jié)果

令α∈［0，1］，為敘述方便，引進(jìn)下列記號(hào):

其中若N2={j}或N2=?，令;同理若N1={i}或N1=?，令

定理1 設(shè)A=(aij)∈Cn×n，且N1，N2≠?，若?i∈N1，?j∈N2，滿足:

則A為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣．

證明 令:

構(gòu)造正對(duì)角矩陣X1=diag(d1，d2，…，dn)，并記BAX1=(bij)，其中:

對(duì)?i∈N1，可得:

對(duì)?j∈N2，若，根據(jù)式(1)可得:

定理2 設(shè)不可約矩陣A=(aij)∈Cn×n，且N1，N2≠?，若?i∈N1，?j∈N2，滿足:

且上式至少有一個(gè)嚴(yán)格不等式成立，則A為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣．

證明 如同定理1 的證明過程，記Mi，mj，且當(dāng)時(shí)，令mj= +∞． 由式(2)知:Mi≤mj，?i∈N1，?j∈N2，因此存在η，使

構(gòu)造正對(duì)角矩陣X2=diag(d1，d2，…，dn)，并記BAX2=(bij)，其中:

類似于定理2 的推證過程可得:

且至少有一個(gè)嚴(yán)格不等式成立．又由A不可約，可得B不可約，所以B為不可約α－對(duì)角占優(yōu)矩陣．由引理2可知B=AX2∈D*，其中X2為正對(duì)角矩陣，根據(jù)引理4，則A∈D*，因此矩陣A為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣．

則記N'1={i1，i2，…，il}，N'2={j1，j2，…，jk}，其中N'1?N1，N'2?N2，Mi，mj如定理1 證明中定義

定理3 設(shè)A=(aij)∈Cn×n，且N1，N2≠?，若?i∈N1，?j∈N2，滿足:

證明 如同定理2 的證明，可得:

其中:

成立，

成立，則B為非零元素鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣．根據(jù)引理3，B=AX2∈D*，其中X2為正對(duì)角矩陣，根據(jù)引理4，則A∈D*，因此矩陣A為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣．

2 數(shù)值算例

所以矩陣A滿足定理1 的條件，為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣． 根據(jù)文獻(xiàn)［1］中定理1，l1=1，r1=2，l2=1，r2=19，因?yàn)?

不滿足文獻(xiàn)［1］中定理1 的條件，所以矩陣A無法用文獻(xiàn)［1］中定理1 判定．又因?yàn)?

不滿足文獻(xiàn)［5］中定理2 的條件，所以矩陣A無法用文獻(xiàn)［5］中定理2 進(jìn)行判定．

［1］ 高中喜，黃廷祝．非奇異H－矩陣的充分條件［J］．?dāng)?shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2005，25A(3):409－413．

［2］ 孫玉祥．廣義對(duì)角占優(yōu)矩陣的充分條件［J］．高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1997，19(3):216－223．

［3］ 謝清明．判定廣義對(duì)角占優(yōu)矩陣的幾個(gè)充分條件［J］．工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2006，23(4):757－760．

［4］ Berman A，Plemmons R J．Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences［M］．Philadelphia:SIAM Press，1994．

［5］ 黃廷祝．非奇H矩陣的簡(jiǎn)捷判據(jù)［J］．計(jì)算數(shù)學(xué)，1993，15(3):318－328．

［6］ 孫德淑．非奇異H－矩陣的判定準(zhǔn)則［J］．溫州大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，30(3):18－21．

［7］ 肖麗霞，張俊麗．非奇異H－矩陣新的含參數(shù)細(xì)分迭代判別法［J］．純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2014，30(4):386－392．

［8］ 周偉偉，徐仲，陸全，等．非奇H－矩陣的迭代判定準(zhǔn)則［J］．工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2013，30(5):715－720．

［9］ 張俊麗，韓貴春．非奇異H矩陣的一類判定條件［J］．湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014，32(2):144－147．

［10］ 肖麗霞．非奇異H矩陣新的迭代判定法［J］．湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014，32(4):390－392．

［11］ 楊亞芬，梁茂林．非奇異H矩陣判定的充分條件［J］．蘇州科技學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012，29(3):29－31，50．