李艷艷,黃衛(wèi)華
( 文山學院 數(shù)學學院,云南 文山663000)
廣義α1對角占優(yōu)矩陣在數(shù)學、系統(tǒng)理論、彈性力學等諸多領(lǐng)域有著廣泛的應用,所以如何簡便地判別一個矩陣是否是廣義α1對角占優(yōu)矩陣是人們比較關(guān)心的一個問題[1-8],本文給出一些判定的簡潔方法.
設(shè)Cn×n表示n階全體復方陣的集合.設(shè)A=(aij)n×n∈Cn×n,α∈(0,1],如果|aii|>αRi(A)+(1-α)Ci(A),則稱A為嚴格α1對角占優(yōu)矩陣,記為A∈D(α).若存在正對角矩陣X,使得AX∈D(α),則稱A為廣義α1對角占優(yōu)矩陣,記為A∈D*(α).
若A為廣義α1對角占優(yōu)矩陣,則總有aii≠0.引入下面一些記號:
顯然N1∪N2∪N3=N,若N1∪N2≠N,則A為廣義α1對角占優(yōu)矩陣;若A為廣義α1對角占優(yōu)矩陣,則A至少有一行嚴格成立,即N3≠?,因此總假設(shè)N1∪N2≠?,N3≠?.
引理1[1]設(shè)A=(aij)n×n∈Cn×n,若存在正對角矩陣X,使得AX是廣義α1對角占優(yōu)矩陣,則A是廣義α1對角占優(yōu)矩陣.
引理2[1]設(shè)A=(aij)n×n∈Cn×n為不可約α1對角占優(yōu)矩陣,則A是廣義α1對角占優(yōu)矩陣.
[2]中的構(gòu)造方法,可得下面的定理.
定理1 設(shè)A=(aij)n×n∈Cn×n,若A滿足:
則A為廣義α1對角占優(yōu)矩陣.
構(gòu)造正對角矩陣X=diag(x1,x2,…,xn),B=AX=(bij)n×n,其中:,若t,由式(1)得
?i∈N3,得到:
綜上所述,?i∈N有:,即B是廣義α1對角占優(yōu)矩陣,則B是H矩陣,即A是H矩陣.
角占優(yōu)矩陣.
證明 構(gòu)造正對角矩陣X=diag(x1,x2,…,xn),B=AX=(bij)n×n,其中:
對?i∈N1∪N2,由式(3)得:
?i∈N3,得到:
由上面的證明知,B為不可約廣義α1對角占優(yōu)矩陣,進而A為廣義α1對角占優(yōu)矩陣.
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