坐標本征態(tài)的Fock表象表示*

林 蓉

(菏澤學(xué)院物理與電子工程系，山東菏澤274015)

引言

Dirac證明了薛定諤的波動力學(xué)與海森堡的矩陣力學(xué)的統(tǒng)一性，并且創(chuàng)造性的引入了Dirac符號，Dirac符號是量子力學(xué)理論最普遍的表述［1］．許多教材［2～4］闡述了波函數(shù)在不同表象中，如動量表象、角動量表象等的表示形式，由此可以得出描述微觀粒子的態(tài)可以在任何表象下表示出，即態(tài)矢不依賴于任何表象．本文利用線性諧振子本征態(tài)│n〉的完備性導(dǎo)出了坐標本征態(tài)│x〉在Fock表象下［5］的表達式．在Fock表象中計算簡潔，而且用途越來越廣．

1 薛定諤方程

在量子力學(xué)中，微觀粒子的狀態(tài)大多用波函數(shù)描寫，但決定粒子狀態(tài)變化的是薛定諤方程，它描寫勢場U→)中粒子狀態(tài)隨時間的變化．

薛定諤方程為:

如果U(→r)不含時間則(1)式的解可用分離變量法進行簡化，考慮一特解

將(2)式代入(1)式并對方程進行計算可得到定態(tài)薛定諤方程:

所謂定態(tài)就是指能量具有確定值的狀態(tài)．

2 狄喇克符號

在幾何學(xué)或經(jīng)典力學(xué)中，常用矢量形式討論問題而不指明坐標系，同樣，在量子力學(xué)中，描寫態(tài)和力學(xué)量也可以不用具體表象，這種描寫方式是狄喇克最先引用的，因此這樣的一套符號稱為狄喇克符號．

微觀體系的狀態(tài)可以用一種矢量來表示，它的符號是│〉，稱為刃矢，簡稱刃，也稱為右矢，某一確定的刃矢A可用符號│A〉表示．微觀體系的狀態(tài)也可以用另一種矢量來表示，這種矢量的符號是〈│，稱為刁矢，簡稱刁，也稱為左矢，某一確定的刁矢B可用符號〈B│表示．

刃和刁是兩種不同的矢量，二者不能相加，它們在同一種表象中的相應(yīng)分量互為共軛復(fù)數(shù)．│A〉在Q表象中的分量為{a1，a2，…an…}，那么〈A│在Q表象的分量為}．和│A〉〈B│在同一表象中相應(yīng)分量的乘積之和稱為│A〉和〈B│的標積，用符號〈B|A〉表示．用表示〈B│在Q表象中的分量，那么顯然〈B│A〉和〈A│B〉互為共軛復(fù)數(shù)，即:

設(shè)│A〉為表示某一狀態(tài)的刃，這個態(tài)在x表象中以波函數(shù)Ψ(x，t)描寫，Ψ(x，t)就是刃│A〉在x表象中的分量，由于基刃│x〉組成完全系，所以│A〉可以按│x'〉展開:

以〈x│左乘上式兩邊，并且利用坐標x的本征態(tài)正交歸一條件:

可得:

由(4)式和(7)式可得:

3 Fock表象的引入

量子力學(xué)中態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱為表象．常見的表象有坐標表象、動量表象、能量表象、角動量表象和Fock表象．

3．1 線性諧振子

引入沒有量綱的變量ξ代替x，它們的關(guān)系是

其中Hn(αx)為厄密多項式，Nn是歸一化常數(shù)，且

Hn(ξ)=Hn(αx)滿足遞推關(guān)系［6］:

3．2 本征矢│n〉的封閉性

Q表象的正交歸一基矢全體集合為{│n〉，n=1，2，3…}，是完備的，任意態(tài)矢│ψ〉可以通過│n〉表示為因為│ψ〉是任意的，故

(15)式所表示的性質(zhì)稱為本征矢│n〉的封閉性，也稱為完備性．通常將這組正交、歸一、完備基{│n〉}所張的空間稱為Fock空間．在Fock空間中，計算簡潔，富于粒子圖像，后繼量子力學(xué)中經(jīng)常使用，且用途越來越廣．

3．3 Fock表象

引入新算符

利用(10)式可將(16)、(17)式改寫為:

由(16)、(17)兩式可得:

以│n〉為基矢的表象稱為Fock表象，也稱占有數(shù)表象．

4 坐標本征態(tài)的Fock表象表示

利用本征矢│n〉的封閉性:

和

以及

可得:

由于Ψn是實函數(shù)，所以=Ψn;

坐標本征態(tài)的Fock表象表示為:

綜上所述，利用線性諧振子本征態(tài)的完備性和厄米多項式的母函數(shù)得出了坐標本征態(tài)在Fock表象中的具體表達式，方法簡潔，易于接受，并且此表達式在量子力學(xué)研究的各個領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用．

［1］Dirac PA M．The principles of Quantum Mechanics［M］．Oxford:Clarendon Press，1930．

［2］曾謹言．量子力學(xué)(卷Ⅰ)［M］，第四版，北京:科學(xué)出版社，2007:128－137．

［3］周世勛．量子力學(xué)教程［M］，北京:高等教育出版社，1979，2:103－111．

［4］陳鄂生．量子力學(xué)基礎(chǔ)教程［M］，第三版，濟南:山東大學(xué)出版社，2006，1:139－152．

［5］袁洪春，王帥，范洪義．從二維正態(tài)分布密度函數(shù)的角度研究量子力學(xué)基本表象［J］．大學(xué)物理，2011，30(12):1－3．

［6］梁昆淼．數(shù)學(xué)物理方法［M］，第三版(修訂本)，北京:高等教育出版社，1998:270－292．