李曼

摘要：該文主要討論約束最小二乘法原理，對(duì)由運(yùn)動(dòng)模糊加性噪聲產(chǎn)生的退化圖像進(jìn)行復(fù)原，并比較最小平方濾波和維納濾波的濾波效果。

關(guān)鍵詞：圖像退化與復(fù)原；退化模型；點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)PSF；約束最小平方濾波；維納濾波

中圖分類(lèi)號(hào)：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2015）26-0152-02

Constrained Least Squares in Realization of Degraded Image Restoration

LI Man

（Computer Center ，School of Mathematics and Computer Science， Jianghan University， Wuhan 430056， China）

Abstract： This article mainly discusses the constrained least squares method. Rehabilitation the degraded images generated by motion blur and noise by least square filtering and Wiener filtering， and comparing the filtering effect of the both.

Key words： image degradation and restoration； degradation model； point spread function PSF； Constrained least square filtering； Wiener filtering

在獲取數(shù)字圖像中，由于被攝物體和攝像機(jī)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)、相機(jī)抖動(dòng)、環(huán)境隨機(jī)噪聲等原因，使圖像變得模糊從而產(chǎn)生圖像退化。退化圖像復(fù)原是通過(guò)去模糊函數(shù)而去除圖像模糊，是一種圖像質(zhì)量降低的逆過(guò)程，其關(guān)鍵是要獲取圖像的退化過(guò)程從而建立退化模型。圖像退化現(xiàn)象是用卷積來(lái)描述的，實(shí)現(xiàn)圖像復(fù)原可在空間域卷積或頻域相乘，是一個(gè)反卷積過(guò)程。本文主要討論有約束最小二乘法，其中包括維納濾波和有約束最小平方濾波，實(shí)現(xiàn)含有噪聲運(yùn)動(dòng)模糊圖像復(fù)原。

1 圖像退化的數(shù)學(xué)模型

1）圖像的線(xiàn)性退化和復(fù)原模型

已知退化圖像[g（x，y）]，退化系統(tǒng)[h（x，y）]和加性噪聲[n（x，y）]。圖像退化以及復(fù)原過(guò)程模型為：

2）圖像退化模型

由于變速的非直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)造成的模糊圖像可以分解成各個(gè)分段的勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，因此主要討論均勻直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)造成模糊圖像的復(fù)原。從物理觀點(diǎn)看，目標(biāo)圖像是經(jīng)過(guò)距離延遲后再疊加形成運(yùn)動(dòng)模糊圖像。在相機(jī)快門(mén)打開(kāi)到關(guān)閉時(shí)間內(nèi)的積分為連續(xù)退化函數(shù)模型：

[g（x，y）=0Tfx-x0t，y-y0（t）dt]

其中[x0t]和[y0t]分別為x和y軸方向上運(yùn)動(dòng)分量。在空間不變線(xiàn)性系統(tǒng)中，輸入圖像[f（x，y）]經(jīng)退化算子H后輸出退化圖像[g（x，y）]，表述為：

[g（x，y）=Hf（x，y）=H-∞+∞-∞+∞f（α，β）δ（x-α，y-β）dαdβ=-∞+∞-∞+∞f（α，β）h（x-α，y-β）dαdβ=f（x，y）*h（x，y）]

結(jié)果為輸入圖像[f（x，y）]與退化系統(tǒng)沖激響應(yīng)函數(shù)[h（x，y）]的卷積，[h（x，y）]也稱(chēng)為退化系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)SPF。如果考慮噪聲（加性噪聲）的影響，上式可得：

[g（x，y）=f（x，y）*h（x，y）+n（x，y）]

在頻域中經(jīng)過(guò)傅立葉變換表示為：

[G（u，v）=H（u，v）F（u，v）+N（u，v）]

2 點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（point spread function）PSF

從光學(xué)角度分析，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)為輸入點(diǎn)光源δ函數(shù)，輸出像的光場(chǎng)分布為脈沖響應(yīng)，即點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)為脈沖響應(yīng)函數(shù)。在線(xiàn)性系統(tǒng)中，目標(biāo)X1的像X2為X2=X1*H。如果X1為沖擊函數(shù)，H為卷積系數(shù)即PSF。X2質(zhì)量取決于PSF，PSF越偏離沖擊函數(shù)，X2越模糊。運(yùn)動(dòng)模糊點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)PSF的傅里葉變換[H（u，v）]由下式給出：

[H（u，v）=sin（πvtu）πVu]

其中V為在時(shí)間T內(nèi)沿x軸方向的速度。

3 約束最小二乘法原理

約束最小二乘法復(fù)原必須對(duì)原始圖像、PSF和噪聲特性有先驗(yàn)知識(shí)。假設(shè)[Q]為[f]的線(xiàn)性算子，[f]為[f]的最優(yōu)估計(jì)而使下列函數(shù)為最?。篬Qf2+α（g-Hf2-n2）]

[f]可表示為：[f=（HTH+γQTQ）-1HTg] 其中[γ=α-1]。[α]為拉格朗日算子。

約束最小平方濾波復(fù)原是反復(fù)迭代常數(shù)[α]直至[g-Hf2=n2]。

維納濾波復(fù)原方法考慮圖像信號(hào)[f]和噪聲[n]為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，并定義[QTQ=R-1fRn]，得出[f=（HTH+γR-1fRn）-1HTg]。其中[Rf=EffT]和[Rn=EnnT]為圖像和噪聲的自相關(guān)函數(shù)。[Rf（x，y）]和[Rn（x，y）]的傅立葉變換[Sf（u，v）]和[Sn（u，v）]分別為圖像和噪聲的功率譜，信噪比為：[SNR=Sf（u，v）/Sn（u，v）]，維納濾波復(fù)原原理為：

[F（u，v）=1H（u，v）H（u，v）2H（u，v）2+γ1SNRG（u，v）+N（u，v）]

調(diào)整[γ]為可調(diào)整參數(shù)維納濾波器，當(dāng)[γ]<1的參數(shù)化維鈉濾波復(fù)原效果較好。

4 在Matlab中模糊圖像復(fù)原實(shí)現(xiàn)

4.1 確定點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)PSF

在實(shí)驗(yàn)中對(duì)真實(shí)的模糊圖像進(jìn)行復(fù)原時(shí)，不知道其準(zhǔn)確的失真函數(shù)，但可以估計(jì)該模糊是由攝像物體以水平線(xiàn)0角度為基準(zhǔn)逆時(shí)針?lè)较蛞訲HETA角度運(yùn)動(dòng)了LEN個(gè)像素構(gòu)成的。函數(shù)SPF = fspecial （'motion'，LEN，THETA）產(chǎn)生一個(gè)反映勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的二維濾波器，即運(yùn)動(dòng)模糊算子。設(shè)置參數(shù)LEN=4和THETA=1，得到點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)PSF。

維納濾波函數(shù)WN=deconvwnr（I，PSF，NSR），通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)PSF來(lái)修復(fù)原始模糊圖像，信噪比NSR取值不同得到的復(fù)原圖像WN效果不同。當(dāng)信噪比分別取0.7、0.1、0.04、0.001時(shí)，顯示NSR=0.04去模糊濾波效果最好。

復(fù)原圖像WN看成無(wú)模糊無(wú)噪聲清晰圖像，當(dāng)THETA和LEN分別取不同值4，1或10，1或20，10時(shí)，得到不同的SPF，分別代入函數(shù)J=imfilter（WN，PSF，'circular'，'conv'）中，該函數(shù)對(duì)任意二維圖像使用卷積進(jìn)行濾波。得到模糊退化處理后的圖像J，與原始拍攝的模糊圖像I進(jìn)行比較，相似度最高的是當(dāng)參數(shù)LEN 和THETA分別為4，1時(shí)最接近實(shí)際圖像的模糊程度。4.2 約束最小二乘法復(fù)原

1）平滑度最小平方濾波復(fù)原

實(shí)際模糊圖像由于光照強(qiáng)度或傳感器溫度等等原因也會(huì)含有高斯噪聲。對(duì)原始圖像I估計(jì)并確定含有均值為0，方差為v=0.0001的高斯噪聲。計(jì)算噪聲能量NP，對(duì)圖像I進(jìn)行最小二乘類(lèi)deconvreg平滑度最小平方濾波復(fù)原。復(fù)原效果由與原圖像的相似度來(lái)衡量，通過(guò)公式var（WN（：））/var（G（：））的比值來(lái)計(jì)算，其中G為復(fù)原后的圖像。

NP=v*prod（size（I））

NPL=deconvreg（I，PSF，NP）

計(jì)算相似度比值為：0.9210。

由于圖像邊界不連續(xù)性產(chǎn)生環(huán)形，復(fù)原前使用函數(shù)edgetaper進(jìn)行預(yù)處理，函數(shù)返回拉格朗日算子Lagra。設(shè)定約束算子Regop=[1 -2 1]，代碼如下：

Edged=edgetaper（I，PSF）；

[Leg1，Lagra]=deconvreg（Edged，PSF，NP）

Leg2=deconvreg（Edged，PSF，2*NP）

當(dāng)增大噪聲強(qiáng)度2*NP，原始圖像與復(fù)原圖像相似度比值由0.9698提高到0.9859。

Leg3=deconvreg（Edged，PSF，[]，10*Lagra，Regop）

Leg4=deconvreg（Edged，PSF，[]，Lagra，4*Regop）

當(dāng)減小拉格朗日算子并增大約束算子時(shí)復(fù)原效果較好。復(fù)原比值分別為：0.9872、0.9959

2）維納濾波復(fù)原

計(jì)算信噪比，采用函數(shù)deconvwnr（）對(duì)圖像進(jìn)行維納復(fù)原。

NSR=0.0001/var（WN（：））；

WNWL=deconvwnr（I，PSF，NSR）；

原始清晰圖像與復(fù)原圖像比值為：0.7880。

3）圖像自相關(guān)信息維納濾波復(fù)原

使用圖像的自相關(guān)信息進(jìn)行復(fù)原。計(jì)算噪聲能量以及噪聲和圖像的自相關(guān)函數(shù)，對(duì)圖像I進(jìn)行維納復(fù)原：

NN=I-WN

NNP=abs（fft2（NN））.^2

NCORR=fftshift（real（ifft2（NNP）））

IIP=abs（fft2（I））.^2

ICORR=fftshift（real（ifft2（IIP）））

WNZX=deconvwnr（I，PSF，NCORR，ICORR）

原始清晰圖像與復(fù)原圖像比值為：0.9584。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文描述了通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定退化系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)PSF，在此基礎(chǔ)上使用平滑度最小平方濾波和維納濾波對(duì)圖像進(jìn)行復(fù)原。通過(guò)改變參數(shù)如噪聲強(qiáng)度、拉格朗日算子、約束算子等等的設(shè)置，得到不同復(fù)原結(jié)果，其中減小拉格朗日算子同時(shí)增大約束算子時(shí)復(fù)原效果最好。在維納濾波中采用圖像與噪聲的自相關(guān)性濾波效果較好。

參考文獻(xiàn)：

[1] 楊丹， 趙海濱. Matlab圖像處理實(shí)例詳解[M]. 北京： 清華大學(xué)出版社， 2013.