宋 佳，張 恒

(中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第七二三研究所，江蘇 揚(yáng)州 225101)

0 引 言

Goldstein提出的多級(jí)維納濾波器(MSWF)推廣了傳統(tǒng)維納濾波器(WF)結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)由一個(gè)分界濾波器組和一個(gè)合成濾波器組成，具有更強(qiáng)的降維能力。多級(jí)維納濾波器是近年發(fā)展起來的降維自適應(yīng)濾波技術(shù)，在很多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，例如空時(shí)自適應(yīng)雷達(dá)中的恒虛警率(CFAR)檢測(cè)、自適應(yīng)均衡、超分辨率譜估計(jì)等。本文研究多級(jí)維納濾波器的快速實(shí)現(xiàn)方法，提出了降秩多級(jí)維納濾波器和相關(guān)相減算法的多級(jí)維納濾波器，并對(duì)2種濾波器進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真實(shí)現(xiàn)，結(jié)果表明，多級(jí)維納濾波器的快速實(shí)現(xiàn)方法保持了與經(jīng)典算法幾乎相同的性能，且計(jì)算量更低。

1 多級(jí)維納濾波器基本原理

(1)

WX0稱為維納解，其中隱含這樣的事實(shí)：X0(k)和d0(k)只能對(duì)消掉彼此相關(guān)的信號(hào)分量。如果X0(k)和d0(k)互不相關(guān)，則不能達(dá)到自適應(yīng)濾波的目的。

圖1 維納濾波器的結(jié)構(gòu)

用廣義旁瓣相消的形式替換圖1的下支路即得維納濾波器的廣義旁瓣相消形式，如圖2所示。

圖2 維納濾波器的等效廣義旁瓣相消形式

對(duì)圖2中的虛線部分進(jìn)一步進(jìn)行等效，以此類推，直到經(jīng)N-1次等效，由正交投影得到xN-1=BN-1XN-1為標(biāo)量為止，取N=4時(shí)，多級(jí)維納濾波器形式如圖3所示。

圖3 多級(jí)維納濾波器(MWF)

多級(jí)維納濾波器的處理分為2步：

(1) 對(duì)Xi(k)進(jìn)行正交投影，其中Bihi=0，分解得到Xi+1(k)和參考信號(hào)di+1(k)，以此遞推，使數(shù)據(jù)的維數(shù)降低至標(biāo)量。

(2) 綜合步驟(1)中的標(biāo)量維納濾波器，得到輸出誤差信號(hào)ε0(k)。

其中步驟(1)被稱為前向分解，步驟(2)則被稱為后項(xiàng)綜合。由圖3可以推出多級(jí)維納濾波器的等效自適應(yīng)權(quán)矢量：

(2)

(3)

(4)

(5)

代入式(2)，可得：

(6)

則多級(jí)維納濾波器的等效自適應(yīng)權(quán)矢量為：

WMWF=WX0=LHWd

(7)

由上式可以看出，多級(jí)維納濾波器可以等效為如圖4所示的結(jié)構(gòu)。

圖4 多級(jí)維納濾波器的變換域形式

圖4中：

(8)

Rd=E[d(k)dH(k)]=LRX0LH

(9)

rdd0=E[d(k)d*(k)]=LrX0d0

(10)

如果圖3中的X0(k)和d0(k)是通過一級(jí)正交分解得到的，并且2個(gè)正交分量分別為B0和h0，即得到廣義旁瓣相消器的多級(jí)維納濾波器形式。由于廣義旁瓣相消器與最小方差無失真響應(yīng)(約束)波束形成器等效，因此可以成為無失真響應(yīng)多級(jí)維納濾波器(DR-MWF)[1-2]。

(11)

2 低運(yùn)算量的多級(jí)維納濾波器

2.1 降秩多級(jí)維納濾波器

降秩多級(jí)維納濾波器(RR-MWF)，也可稱為截?cái)喽嗉?jí)維納濾波器，即在第r級(jí)分解處令dr(k)=εr(k)，由圖3可知：

(12)

d(k)=[d1(k),d2(k),…,dr(k)]T

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

將式(16)代入(12)，可得：

(18)

等效降秩變換矩陣Tr的列向量依次為滿秩時(shí)等效變換矩陣T(=LH)的前r列，即多級(jí)維納濾波器權(quán)值WMWF位于LH張成的子空間。由于多級(jí)維納濾波器是根據(jù)相關(guān)的強(qiáng)弱將輸入數(shù)據(jù)向量X0(k)通過前向遞推過程依次變換為d(k)，而后向遞推相當(dāng)于將d(k)的元素進(jìn)行Gram-Schmidt正交化。因此，MWF各級(jí)分解與綜合對(duì)WMWF的貢獻(xiàn)隨級(jí)數(shù)的增加而降低，因此采用截?cái)嗫傻玫捷^好的降秩性能[3]。

2.2 相關(guān)相減算法的多級(jí)維納濾波器

DR-MWF中，為實(shí)現(xiàn)前向遞推分解中觀測(cè)數(shù)據(jù)向量的維數(shù)的逐次降低，構(gòu)造了行數(shù)比列數(shù)少1的長(zhǎng)方陣阻塞矩陣，而這里考慮用歸一化參考向量求取阻塞矩陣，而不再計(jì)算(構(gòu)造)阻塞矩陣，從而使歸一化參考向量相互正交，以提高性能和降低計(jì)算量。多級(jí)維納濾波器可以用如圖5所示的相關(guān)相減算法結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，稱為相關(guān)相減算法多級(jí)維納濾波器(CSA-MWF)。由于不需要求解阻塞矩陣，計(jì)算量可得到降低，而且CSA-MWF是酉多級(jí)維納濾波器[4]，即子空間基向量相互正交，較DR-MWF(子空間基向量不正交)穩(wěn)健性要好。

圖5 多級(jí)維納濾波器的CSA實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)(CSA-MWF)

圖5中:

X0(k)=B0X(k)

(19)

(20)

(21)

(22)

則有:

(23)

相關(guān)相減多級(jí)維納濾波器中，第i級(jí)的前向迭代關(guān)系為:

(24)

(25)

(26)

Xi(k)=BiXi-1(k)

(27)

在相關(guān)相減多級(jí)維納濾波器中，阻塞矩陣Bi均為N維方陣，各級(jí)觀測(cè)數(shù)據(jù)Xi(k)也均為N維方陣，由CSA-MWF的原理可知，降秩處理并沒有導(dǎo)致維數(shù)的降低[5-6]，因此數(shù)據(jù)冗余量很大。若將阻塞矩陣采用(N-i-1)×(N-i)長(zhǎng)方陣，既利用CSA-MWF的CSA結(jié)構(gòu)，不需要求解阻塞矩陣，又利用了DR-MWF降維的優(yōu)點(diǎn)，使得Xi(k)的維數(shù)逐次降低。將這種結(jié)構(gòu)稱為改進(jìn)的相關(guān)相減算法多級(jí)維納濾波器(MCSA-MWF)，結(jié)構(gòu)如圖6所示，它綜合了DR-MWF和CSA-MWF的優(yōu)點(diǎn)，計(jì)算量比兩者都小[6]。

圖6 改進(jìn)的多級(jí)維納濾波器CSA(MCSA-MWF)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)

其中

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

式中：hi為N-i維；Xi(k)為(N-i-1)維向量，隨著級(jí)數(shù)i的增加，Xi(k)維數(shù)逐漸降低[7]。

3 算法仿真與比較

3.1 降秩多級(jí)維納濾波器算法仿真實(shí)現(xiàn)

仿真條件：等間隔直線陣，陣元個(gè)數(shù)為16個(gè)，陣元間隔為半波長(zhǎng)，幅度為1的期望信號(hào)在0°方向，3個(gè)干擾方位分別為-35°，19°，45°，干擾幅度分別為5，3，1。對(duì)降秩的DR-MWF和滿秩處理2種算法波束形成和方向圖仿真如圖7所示。并對(duì)不同截?cái)嗉?jí)數(shù)的情況進(jìn)行了仿真對(duì)比，如圖8所示。

圖7 RR-MWF波束形成算法計(jì)算機(jī)仿真(r=12)

從圖7(b)可以看到，降秩的DR-MWF和滿秩處理的方向性圖相比，邊緣角度的旁瓣較高，但對(duì)算法性能的影響可接受。

為了說明不同的降秩階數(shù)和不同快拍數(shù)下降秩對(duì)性能的影響，選取不同的降秩階數(shù)，以及不同的快拍數(shù)進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真。

圖8 不同截?cái)嗉?jí)數(shù)計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果(r=5，K=256)

從圖8(a)中結(jié)果可以看到，在-35°處已有旁瓣泄漏，且主波束寬度較MWF要大，對(duì)抑制旁瓣泄漏已經(jīng)有了較為明顯的不足。從圖8(b)中可以看到，RR-MWF的主波束較MWF有明顯展寬，主瓣附近旁瓣也較高，因此截?cái)嗉?jí)數(shù)過多是不可取的。說明截?cái)鄷?huì)導(dǎo)致波束形成性能的下降，因此在使用時(shí)應(yīng)當(dāng)選擇適當(dāng)?shù)慕抵入A數(shù)，將誤差控制在可以接受的范圍內(nèi)。

從圖9(a)可以看到，降秩導(dǎo)致主波束的能量泄漏，會(huì)造成隧道效應(yīng)。從圖9(b)可知，在K=16時(shí)，MWF的方向性圖已經(jīng)嚴(yán)重畸變，而RR-MWF(r=5)可以在干擾方向形成零陷，有效抑制干擾。

圖9 不同快拍數(shù)RR-MWF計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果(r=5，K=16)

根據(jù)以上的仿真結(jié)果可知，隨著降秩階數(shù)減少或者快拍數(shù)減小，RR-MWF的性能都會(huì)下降。應(yīng)根據(jù)實(shí)際應(yīng)用情況，綜合考慮算法性能和運(yùn)算量對(duì)降秩階數(shù)和快拍數(shù)進(jìn)行選擇。

3.2 相關(guān)相減算法的多級(jí)維納濾波器仿真實(shí)現(xiàn)

仿真條件：等間隔直線陣，陣元個(gè)數(shù)為16個(gè)，K=256，陣元間隔為半波長(zhǎng)，幅度1的期望信號(hào)在0°方向，3個(gè)干擾方位分別為-35°，19°，45°，干擾幅度分別為5，3，1。

如圖10 (a)所示，CSA-MWF和DR-MWF波束形成算法較常規(guī)波束形成算法均能完全抑制旁瓣干擾，抑制頻譜泄漏。如圖10 (b)所示，CSA-MWF與MCSA-MWF均可以在干擾方向形成深的零陷。

當(dāng)快拍數(shù)降低時(shí)，如圖11，快拍數(shù)為K=16，CSA-MWF和MCSA-MWF的方向圖近似一致，性能均優(yōu)于DR-MWF，DR-MWF的旁瓣較高，這是因?yàn)镈R-MWF的空間基向量無相互正交性；由于進(jìn)行了10 dB的對(duì)角加載，干擾方向零陷明顯變淺。

圖10 相關(guān)相減算法多級(jí)維納濾波器波束形成計(jì)算機(jī)仿真

圖11 CSA-MWF、MCSA-MWF與DR-MWF仿真比較(K=16)

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究多級(jí)維納濾波器的快速、有效實(shí)現(xiàn)方法，從理論分析和算法仿真2個(gè)方面進(jìn)行分析，討論了降秩多級(jí)維納濾波器(RR-MWF)的性能與降秩階數(shù)和快拍選擇的關(guān)系，得出結(jié)論：隨著降秩階數(shù)減少或者快拍數(shù)減小，RR-MWF的性能都會(huì)下降，應(yīng)根據(jù)實(shí)際應(yīng)用情況，綜合考慮算法性能和運(yùn)算量對(duì)降秩階數(shù)和快拍數(shù)進(jìn)行選擇；比較了相關(guān)相減算法的多級(jí)維納濾波器(CSA-MWF)和改進(jìn)后的相關(guān)相減算法多級(jí)維納濾波器(MCSA-MWF)與無失真響應(yīng)多級(jí)維納濾波器(DR-MWF)快拍數(shù)降低時(shí)的性能，得出結(jié)論：CSA-MWF和MCSA-MWF的旁瓣抑制能力均優(yōu)于DR-MWF，且MCSA-MWF具有更小的運(yùn)算量。