對于緊致碼在三種編碼方法下的編碼特性研究

廖慶洪+吳雙雙+劉志偉+彭維

摘 要：本文針對一種被稱為緊致碼的特殊的信源空間分布，基于Shannon，F(xiàn)ano和Huffman三種編碼方法，并分別對其進行了證明，發(fā)現(xiàn)對于某種特殊的信源分布的緊致碼，平均碼長與其信源概率分布有關(guān)。同時通過引入Huffman tree構(gòu)造方法證明了Huffman編碼方法的情況，簡化了對于這種特殊的信源分布的緊致碼編碼過程。

關(guān)鍵詞：緊致碼；Shannon；Fano；Huffman；Huffman tree

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2015.24.247

1 引言

21世紀，國際社會已進入信息化時代。信息論作為信息科學(xué)和技術(shù)的基本理論，猶如信息科學(xué)大廈的地基，在信息社會中占據(jù)越來越重要的地位。信息論的創(chuàng)始人Shannon，他在 1949 年發(fā)表了《保密通信的信息理論》，是每一位研究信息學(xué)者必讀的一篇文章[1]。隨著信息技術(shù)的發(fā)展， 編碼技術(shù)已經(jīng)在媒體技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、無線通信技術(shù)、數(shù)字電視技術(shù)等方面得到廣泛應(yīng)用[2]。信息論、錯誤控制編碼和密碼學(xué)是現(xiàn)在數(shù)字通信系統(tǒng)中的三大支柱。信息論基礎(chǔ)是應(yīng)用概率論、隨機過程和近世代數(shù)等方法研究信息的存儲、傳輸和處理中一般規(guī)律的學(xué)科，主要解決通信過程中信息傳輸?shù)挠行浴⒖煽啃耘c安全性的問題，是信息科學(xué)和通信科學(xué)領(lǐng)域中的一門基礎(chǔ)理論[3，4]。

信息論將信息的傳遞作為一種統(tǒng)計現(xiàn)象來考慮，給出了估算通信信道容量的方法。信息傳輸和信息壓縮是信息論研究中的兩大領(lǐng)域。緊致碼在信息論的研究中有著至關(guān)重要的作用，并且具有重大實際意義。

本文的目的是用信息論觀點對緊致碼進行若干研究，以Shannon，F(xiàn)ano和Huffman三種編碼方法為例，分別介紹它們的編碼原理以及相關(guān)證明，進一步得出結(jié)論。

2 緊致碼

這里我們介紹一種特殊的信源分布，如果其中各消息概率滿足pi

其中hi為任意正整數(shù)，對信源進行二進制編碼，該編碼為最佳編碼，或者說獲得碼是緊致碼[5]。

編碼效率

。

式中H（X）=-∑pilog2pi為信源熵，r為碼符號數(shù)，這里考慮二進制編碼，r=2，為編碼后平均碼長，定義表達式為。

從平均碼長的角度出發(fā)，對于給定信源，使平均碼長達到最小的編碼方法，稱為最佳編碼，得到的碼稱為最佳碼，即緊致碼。

本文考慮信源的每個消息的概率滿足，信源消息編碼后的碼長為ni=hi，則編碼效率為

下面我們將對上述結(jié)論進行證明。

3 三種編碼法及其證明

3.1 對于Shannon編碼的證明

首先介紹Shannon編碼方法。步驟如下：

（1）將信源發(fā)出的M個消息，按其概率遞減順序進行排列，得

P（x1）≥p（x2）≥…≥p（xM）

（2）計算出各消息的-logp（xm）值，m=1，2，…M；

（3）根據(jù)-logp（xm）≤nm<-logp（xm）+1。（-logp（xm）為整數(shù)時取等號），計算出每個消息的二進制代碼的長度nm（m=1，2，…，M），nm，nm取正整數(shù)；

（4）為得到唯一可譯碼，計算出第m個消息的累加概率，再將pm變換成二進制小數(shù)，取小數(shù)點后面nm位作為第m個消息的代碼組（碼字）。

然后我們考慮上面介紹的緊致碼。記離散信源，其中滿足，對其進行Shannon編碼[6]，由第三步可知，任一信源xi其對應(yīng)的二進制代碼長度nm=-logp（xm）=hi，這就是我們要證明的對緊致碼進行Shannon編碼后每個信源對應(yīng)的碼長為hi。

3.2 對于Fano編碼的證明

對Fano編碼的思路與Shannon編碼類似。首先介紹Fano編碼方法[7]。步驟如下：

（1）信源發(fā)出的M個消息，按其概率遞減順序排列，得

P（x1）≥p（x2）≥…≥p（xM）

把消息集{x1，x2，…xM}按其概率大小分解成兩個子集，使兩個子集的概率之和盡可能相等，把第一個子集編碼為0，第二個子集編碼為1，作為代碼組的第一個碼元；

（2）對子集做第二次分解，同樣分解成兩個子集，并使兩個子集概率之和盡可能接近相等，再把第一個子集編碼為0，第二個子集編碼為1，作為第二個代碼組的碼元；

（3）如此一直進行下去，直到各子集僅含一個消息為止；

（4）將逐次分解過程中得到的碼元排列起來就是各消息代碼。

下面證明作上述操作后得到的每個消息對應(yīng)的碼長為hi。

由上述步驟可知，經(jīng)過n次分解后得到的消息xi其對應(yīng)的碼長一定為n，于是問題轉(zhuǎn)為證明對應(yīng)概率為的消息需要hi次分解后得到的子集僅含該消息。為簡便，以下將把某個消息經(jīng)過分解后得到的子集僅含該消息簡稱為將該消息分出來。

由Fano編碼步驟可知，進行第n次分解，會得到2n個子集，其中每個子集中所包含消息概率和為2-n，現(xiàn)在考慮第hi次分解，將會得到個子集，其中每個子集中所包含的消息概率和為，可知概率為的消息將會在本次分解中被分出來。也即概率為的消息將在第hi次分解中被分出來。

由上述可知對于緊致碼用Fano編碼法進行編碼后每個信源對應(yīng)的碼長也為hi。

3.3 對于Huffman編碼的證明

同樣首先引出Huffman編碼[8]。將信源符號按概率遞減的次序排列；

（1）將概率最小的兩個符號連在一起。將這兩個符號的概率之和寫在他們的結(jié)合節(jié)點上。將這兩個分別標記為0和1；

（2）將這兩個概率和看作一個新符號的概率。重新排列信源符號，并將概率最小的兩個信源符號，將他們綁定在一起構(gòu)成一個新的概率。每一次我們把兩個符號結(jié)合在一起是符號總數(shù)減1。每當把兩個概率結(jié)合在一起時，總是把兩個分支標記為0和1；endprint

（3）將此過程繼續(xù)下去直至只剩一個概率，就完成了Huffman樹的構(gòu)造；

（4）對于任意符號的碼字，找到從最后節(jié)點到該符號的一個路徑，反向追蹤路徑并讀出分支的碼字，即為該符號的碼字。

下面開始證明。

首先我們考慮最特殊也是最理想的一種情況，信源概率分布如表1所示，

對于這種信源分布顯然每個信源編碼后的碼長為hi。

上述討論的概率分布是對于的概率分布最特殊也是最基本的情況，一切其他的情況都是有此種情況轉(zhuǎn)化而來。換句話說任何概率分布為的概率均可以轉(zhuǎn)化為從2-1，2-2，一直排到2-M+1，2-M+1的排列。下面我們考慮這種序列所具有的特性，可得出如下結(jié)論：

對于一個信源空間X，其概率分布為

其中hi為任意正整數(shù)。將其按概率降序排列為

p1≥p2≥…≥pM

其中M為消息個數(shù)。那么其最小的兩個概率和必定是相等的。舉個簡單例子，概率從大到小為1/2，1/4，1/8，1/16，1/16。如果只有一個1/16，那么前三項加起來應(yīng)該是15/16，但前面三項中最小的也是1/8，怎么相加都不會加到15/16。

下面用反證法進行證明。

假設(shè)有pM-1>pM即hM-1

現(xiàn)在回到Huffman方法。由上面的結(jié)論可知，對于上述的一個信源空間進行Huffman編碼，每一次合并重排后，最下面的兩個信源符號，也就是概率最小的兩個信源的概率一定是相等的。因為每一次合并重排后，原信源空間會形成一個新的信源空間，原來概率最小的兩個信源符號合并成一個新的信源符號，也就是說形成一個新的概率分布，由于相加的兩個概率相等，則相加得到的新的概率仍然滿足p=2-h，也就是說新的概率分布仍然滿足，則同樣滿足結(jié)論。這個結(jié)論當我們引入Huffman tree的概念后對證明就會變得極其有用。

下面先介紹一些樹的基本概念，然后引出Huffman tree的概念。

（1）路徑和路徑長度。在一棵樹中，從一個結(jié)點往下可以達到的孩子或?qū)O子結(jié)點之間的通路，稱為路徑。通路中分支的數(shù)目稱為路徑長度。若規(guī)定根結(jié)點的層數(shù)為1，則從根結(jié)點到第L層結(jié)點的路徑長度為L-1。

（2）結(jié)點的權(quán)及帶權(quán)路徑長度。若將樹中結(jié)點賦給一個有著某種含義的數(shù)值，則這個數(shù)值稱為該結(jié)點的權(quán)。結(jié)點的帶權(quán)路徑長度為：從根結(jié)點到該結(jié)點之間的路徑長度與該結(jié)點的權(quán)的乘積。

（3）樹的帶權(quán)路徑長度。樹的帶權(quán)路徑長度規(guī)定為所有葉子結(jié)點的帶權(quán)路徑長度之和，記為WPL。

然后是Huffman tree的構(gòu)造。

假設(shè)有n個權(quán)值，則構(gòu)造出的Huffman tree有n個葉子結(jié)點。n個權(quán)值分別設(shè)為w1w2……wn，則Huffman tree的構(gòu)造規(guī)則為：

（1） 將w1w2……wn看成是有n棵樹的森林（每棵樹僅有一個結(jié)點）；

（2）在森林中選出兩個根結(jié)點的權(quán)值最小的樹合并，作為一棵新樹的左、右子樹，且新樹的根結(jié)點權(quán)值為其左、右子樹根結(jié)點權(quán)值之和；

（3）從森林中刪除選取的兩棵樹，并將新樹加入森林；

（4）重復(fù)（2）、（3）步，直到森林中只剩一棵樹為止，該樹即為所求得的Huffman tree。

此時在看結(jié)論2我們會發(fā)現(xiàn)，在Hufuman tree中每個節(jié)點的兩個子節(jié)點權(quán)值，在這里也就是信源符號對應(yīng)的概率一定是相等的，舉個例子就是如圖1所示。

也就是說，從根結(jié)點開始進行分支，每i次分支得到的兩個子節(jié)點概率為2-i，反之概率為的節(jié)點一定是經(jīng)過第hi次分支得到。由于Human tree的定義，某一結(jié)點的路徑長度就等于得到該節(jié)點所需的分支次數(shù)，因此對于緊致碼每個概率為的信源進行Huffman編碼后其碼長一定為hi。

4 結(jié)論

本文針對一種被稱為緊致碼的特殊的信源空間分布，分別用Shannon，F(xiàn)ano和Huffman三種編碼方法對其進行了證明，發(fā)現(xiàn)對于某種特殊的信源分布的緊致碼，平均碼長與其信源概率分布有關(guān)。我們引入Huffman tree構(gòu)造方法證明了Huffman編碼方法的情況，簡化了對于這種特殊的信源分布的緊致碼編碼過程，具有重要的實際意義。

參考文獻：

[1]王鶴鳴.從信息化發(fā)展歷程看密碼學(xué)發(fā)展——專訪西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院王育民教授[J].信息安全與通信保密，2011（11）：13-19.

[2]鄧家先.與編碼課程教學(xué)改革探討[J].電子教學(xué)學(xué)報，2007（02）：111-114

[3]陳運.信息論與編碼[M].北京：電子工業(yè)出版社，2007.

[4]D CMacKay.Information Theory，Inference，and Learning Algorithms[M].Cambridge： Cambridge University Press，2000.

[5]曹雪虹，張宗橙.信息論與編碼[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004（03）.

[6]曲煒，朱詩兵.信息論基礎(chǔ)及應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005（01）.

[7]沈世鎰，吳忠華.信息論基礎(chǔ)與應(yīng)用[M].北京：高等教育出版社，2004.

[8]傅祖蕓.信息論——基礎(chǔ)理論與應(yīng)用[M].北京：電子工業(yè)出版社，2001.

[9]馬秋芳.關(guān)于離散無記憶信源的最佳編碼問題[J].江漢石油學(xué)院學(xué)報，1987.

項目：江西省省級教改項目（編號：JXJG-12-1-17） 和南昌大學(xué)學(xué)位與研究生教育教學(xué)改革研究項目（編號：YJG2012002）資助的課題。

*為通訊作者