王秀玉，　李　琳

(長春工業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院， 吉林 長春　130012)

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P*-型非線性互補問題解的存在性

王秀玉，李琳

(長春工業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院， 吉林 長春130012)

摘要：首先利用Poincare-Bohl定理給出擇一性定理，然后用該定理證明非線性互補問題解的存在性，并獲得互補問題有解的充分條件。

關(guān)鍵詞：互補問題； 擇一性定理；P-型映射；P*-型映射

0引言

互補問題首先由著名運籌學(xué)家、數(shù)學(xué)規(guī)劃的創(chuàng)始人G.B.Dantzig教授和他的學(xué)生R.W.Cottle于1963年提出，由于互補問題在數(shù)學(xué)規(guī)劃、對策論及經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用[1-2]，受到極大關(guān)注。判定互補問題是否有解及獲得互補問題有解的充分或必要條件是研究互補問題的重要問題之一。求解互補問題的方法之一為構(gòu)造一個擇一性定理，即對連續(xù)函數(shù)所對應(yīng)的互補問題構(gòu)造適當(dāng)?shù)睦獯?，互補問題或者存在例外簇，或者有解，然后給出互補問題沒有例外簇的條件，進而得到互補問題有解。文獻[3]比較全面地論述了互補問題的基礎(chǔ)理論和求解的幾種重要方法；文獻[4]給出了一種例外簇的具體形式，文獻[5]利用文獻[4]的擇一性定理，獲得了一些非單調(diào)互補問題存在解的條件;王秀玉[6]等討論了水平互補問題。其它的互補問題是否存在解，利用文獻[4]的擇一性定理能否判定，還未有結(jié)論。

文中討論如下非線性互補問題(NCP(f)):求x≥0，使得y=f(x)≥0，且xTy=0，其中f:Rn→Rn為連續(xù)映射。文中利用NCP函數(shù)構(gòu)造與文獻[4]類似的例外族，并證明了P*-型映射所對應(yīng)的互補問題的可解性。

1擇一性定理

首先介紹在拓?fù)鋵W(xué)中廣泛運用的兩個基本結(jié)論。

下面是文中給出的例外簇的定義。

則稱序列{x(r)}為NCP(f)的例外簇。

利用極小函數(shù)及Poincare-Bohl定理,首先證明一個擇一性定理。

定理1設(shè)f:Rn→Rn是一連續(xù)映射，則互補問題(NCP)或者有解或者存在例外簇。

證明因互補問題(NCP)等價于

若式(1)無解，記

考慮同倫方程：

則對?r>0,?tr∈[0,1]及存在x(r)∈?Dr，使得

否則，?r*>0，對?x∈?Dr*，?t∈[0,1]，有

因此

由引理1知

再由引理2知，φ(x)=0有解，與題設(shè)矛盾，從而式(3)成立，且式(3)中的tr∈(0,1)。

若tr=0，則有φ(x(r))=0，與證明開始假設(shè)互補問題無解矛盾。

若tr=1，則有x(r)=0，這與x(r)∈?Dr矛盾。

因為x(r)∈?Dr，故有

式(3)的分量形式為：

整理式(5)得：

式(6)兩邊平方得：

化簡式(7)得：

即

由式(9)得：

由式(4) ‖x(r)‖→+∞，(r→+∞)，從而{x(r)}是互補問題NCP(f)的例外簇。

由定理1立即可得

推論1設(shè)f:Rn→Rn是連續(xù)函數(shù)，且互補問題NCP(f)無例外簇，則互補問題NCP(f)有解。

2互補問題的解的存在性

利用定理1證明一些互補問題有解。

定理2若f為連續(xù)的P-型映射，則互補問題NCP(f)有解。

證明只需證明互補問題無例外簇即可。

定理3若f為連續(xù)的P*-型映射，則互補問題NCP(f)有解。

上式與P*-型映射矛盾，因此，互補問題NCP(f)有解。

下面給出P*-型映射的推廣。

定義4設(shè)映射f:Rn→Rn，若?τ≥0，α≥0，β∈(0,1)對?x∈Rn，有

則稱f為P(τ,α,β)-型映射。

定理4若f為P(τ,α,β)-型映射，且互補問題沒有無窮遠(yuǎn)解，則互補問題NCP(f)有解。

證明由定理1知只需證明互補問題無例外簇即可。

即

整理得

將式(12)代入上式得

參考文獻：

[1]Dantzig G B, Cottle R W. Positive (semi-definite) matrices and mathematical programming [D]: [Ph D Thesis]. Colifornia: University of Berkeley,1963.

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[3]韓繼業(yè),修乃華,戚厚鐸.非線性互補理論與算法[M].上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社,2006.

[4]Isac G, Bulavski V, Kalashnikov V. Exceptional families, Topological degree and complementarity problem[J]. Journal of Global Optimization,1997,10:207-225.

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[6]王秀玉，申海明，李琳.水平線性互補問題中常用矩陣對及其性質(zhì)[J].長春工業(yè)大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2013，34(2)：121-126.

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Existence of the solution ofP*- type nonlinear complementarity problem

WANG Xiu-yu,LI Lin

(School of Basic Science, Changchun University of Technology, Changchun 130012， China)

Abstract：An alternative theorem is proposed by using Poincare-Bohl theorem to prove the existence of the solution of some nonlinear complementarity problems and obtain the sufficient conditions this kinds of problem.

Key words：complementarity problem; alternative theorem;P- type mapping;P*- type mapping.

中圖分類號：O 224

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1674-1374(2015)02-0121-04

DOI:10.15923/j.cnki.cn22-1382/t.2015.2.01

作者簡介：王秀玉(1965-)，女，漢族，吉林長春人，長春工業(yè)大學(xué)教授,碩士，主要從事最優(yōu)化的理論與算法研究,E-mail:wangxiuyu.000@163.com.

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(10071020)； 吉林省自然科學(xué)基金資助項目(201215128,20101597)

收稿日期：2014-10-20