李洪濤 楊 勇

(1.海軍工程大學(xué)訓(xùn)練部 武漢 430033)(2.駐上海江南造船(集團(tuán))有限公司軍事代表室 上海 201913)

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面元法中偶極子影響系數(shù)計(jì)算分析*

李洪濤1楊 勇2

(1.海軍工程大學(xué)訓(xùn)練部 武漢 430033)(2.駐上海江南造船(集團(tuán))有限公司軍事代表室 上海 201913)

分析了不同方法應(yīng)用于偶極子影響系數(shù)的計(jì)算,并詳細(xì)介紹了Gauss-Bonnet定理在偶極子影響系數(shù)計(jì)算中的應(yīng)用。探討了這些計(jì)算方法的近似處理及由此造成的誤差,進(jìn)而以Gauss-Bonnet定理為基礎(chǔ)提出了計(jì)算偶極子影響系數(shù)的修改辦法。將此種修改辦法應(yīng)用于面元法的計(jì)算中,以×××槳及×××槳為計(jì)算對象,分析修改前后的偶極子計(jì)算方法對計(jì)算結(jié)果精度的影響。從理論上探討了面元法中,有關(guān)偶極子影響系數(shù)計(jì)算環(huán)節(jié)的誤差及減小此部分誤差的辦法。

面元法; 偶極子; 影響系數(shù); Gauss-Bonnet定理

Class Number TP206

1 引言

面元法以其準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)和物理模型,較快的計(jì)算速度和較高的計(jì)算精度,已廣泛應(yīng)用于螺旋槳的水動力性能預(yù)報(bào)。目前主要有基于速度和基于速度勢的兩種面元法。以速度勢面元法為例介紹面元法的基本原理,其主要是利用格林公式和拉普拉斯方程基本解的存在,將物面和尾渦面以某種規(guī)律劃分成小面元,在小面元上布置等強(qiáng)度源匯及偶極子,這一過程中以現(xiàn)階段比較普遍的面元劃分方法為例,即劃分成雙曲四邊形面元。以控制點(diǎn)在場點(diǎn)產(chǎn)生的擾動速度勢和流體在物面上法向速度為零的條件建立起離散后針對小面元積分的方程。而這個離散的積分方程每一離散項(xiàng)中,僅與物面以及尾渦面幾何形狀有關(guān)的系數(shù)即被稱之為影響系數(shù),因此在面元法計(jì)算分析過程中影響系數(shù)的計(jì)算表達(dá)是比較重要的環(huán)節(jié)。到目前為止,計(jì)算影響系數(shù)主要有兩種方法,一種是Morino[1～2]在1974年、1975年發(fā)展的一套影響系數(shù)計(jì)算方法,另一種是Newman[3]在1986年提出來的關(guān)于以立體角概念計(jì)算的方法。兩種計(jì)算方法在最終的表達(dá)形式上沒有太大區(qū)別,同樣兩種方法都有各自的近似成分。在這里主要對偶極子影響系數(shù)的計(jì)算表達(dá)作詳細(xì)的討論分析。

2 不同方法計(jì)算影響系數(shù)時的原理分析

2.1 應(yīng)用積分原函數(shù)法計(jì)算偶極子影響系數(shù)

偶極子影響系數(shù)可表達(dá)為式(1)。

(1)

此類方法是由Morino發(fā)展的一套影響系數(shù)計(jì)算方法,基本原理是通過坐標(biāo)變換將總體坐標(biāo)中的雙曲四邊形面元對應(yīng)局部坐標(biāo)的正方形面元,從而在求解的過程中,通過坐標(biāo)之間的向量關(guān)系,運(yùn)用積分的基本理論求解得到。在這里,稱它為積分原函數(shù)法,是由于影響系數(shù)表達(dá)式在變換后,可改寫為式(2),求解此式時,以類似于原函數(shù)的項(xiàng)表達(dá)最終結(jié)果。

(2)

-F(-1,1)+F(-1,-1)

(3)

而其中F(1,1),F(1,-1),F(-1,1),F(-1,-1)的表達(dá)式可表示為有關(guān)面元法向、切向以及場點(diǎn)到控制點(diǎn)向徑的關(guān)系式。具體表達(dá)見式(4):

(4)

在式(4)中向量R為控制點(diǎn)到場點(diǎn)的向徑,向量t1、t2為面元切向。

在上述對偶極子影響系數(shù)推導(dǎo)過程中,以解析的式子對偶極子影響系數(shù)進(jìn)行表達(dá)。對于式(3)可以從二維泰勒公式展開的角度進(jìn)行說明(展開到二階即可),因此對于式(3)要滿足的條件即所積分的面元應(yīng)盡量光滑。就螺旋槳表面而言,在面元較小的情況下,這一條件可以近似滿足,但同時要注意,式(3)忽略了高階的泰勒展開項(xiàng)。

2.2 應(yīng)用立體角概念計(jì)算偶極子影響系數(shù)

立體角的概念應(yīng)用于影響系數(shù)的計(jì)算是由Newman[3]提出的。主要原理下面將進(jìn)行分析,對于偶極子影響系數(shù)表達(dá)式(1)經(jīng)過簡單的數(shù)學(xué)變換可以表示為式(5)的形式。

(5)

在對上式處理時,以場點(diǎn)為球心作一個單位球面,那么變形后的表達(dá)式可以認(rèn)為是離散的面元dS在此單位球面上的投影,但要注意到在這里對于投影面元上每一位置處帶有cos(n,R)的符號。在符號全相同的情況下可以認(rèn)為影響系數(shù)近似表達(dá)為立體角。若是這樣的話,對于離散的面元為雙曲四邊形面元時,根據(jù)立體角的計(jì)算表達(dá)式,影響系數(shù)可表達(dá)為式(6):

(6)

式(6)中Ii為面元的各個角點(diǎn)的外角,且Ii是帶有相同符號的,關(guān)于Ii的表達(dá)式與運(yùn)用積分原函數(shù)解法中的表達(dá)式類似,即式(4)。在實(shí)際應(yīng)用過程中也有用反余弦表示的。但要注意到,滿足式(6)的立體角計(jì)算中,面元的邊應(yīng)是過大圓的(大圓即是過球心的圓)圓弧,在離散面元較小的情況下,可近似認(rèn)為這是可以滿足的。對于各個角點(diǎn)符號不同時的情況,如上述分析,此時不能直接應(yīng)用立體角計(jì)算公式,這時的處理,在文獻(xiàn)[4]中有較詳細(xì)的討論。具體方法是,在有一個面元角點(diǎn)符號與其他不同時采用式(7)。

·sgn(I2)+π·sgn(I4)

(7)

在有兩個角點(diǎn)符號與其他兩個角點(diǎn)符號不同時也采用式(7)。

按照立體角的計(jì)算方法,在離散面元的邊界不是過大圓弧和離散面元的四個角點(diǎn)符號不全相同,這兩種情況下,就只能采取了近似的處理方法,這要求在面元的劃分過程中要把握好劃分的函數(shù)形式,確保較少的面元出現(xiàn)上述情況,并且面元的邊界在一定范圍內(nèi),可近似認(rèn)為是過大圓弧的。

2.3 應(yīng)用Gauss-Bonnet定理計(jì)算偶極子影響系數(shù)

Newman采用立體角計(jì)算影響系數(shù)時,曾在文獻(xiàn)[3]中提到過Gauss-Bonnet定理,但未作詳細(xì)說明,在這里首先詳細(xì)說明Gauss-Bonnet定理。Gauss-Bonnet定理是微分幾何中關(guān)于測地曲率、高斯曲率及曲面內(nèi)角關(guān)系的定理,其數(shù)學(xué)表達(dá)形式為式(8):

(8)

式中Ω是曲面上的單連通區(qū)域;n為曲面面元邊界線條數(shù);L為組成Ω區(qū)域的分段光滑的閉曲線;αi為面元的第i個頂點(diǎn)的內(nèi)角;K為曲面的高斯曲率;kg為邊界曲線L的測地曲率。

當(dāng)測地曲率kg=0(此時組成Ω區(qū)域的分段光滑的閉曲線L均為測地線),高斯曲率K=1時,上式變?yōu)槭?9):

(9)

式(9)的意義為:在測地曲率恒為0,高斯曲率恒為常數(shù)1的情況下,曲面上由式(9)各參數(shù)構(gòu)成的單連通區(qū)域Ω的面積等于曲面面元的各頂點(diǎn)內(nèi)角和減去(n-2)π。

對影響系數(shù)式(5)進(jìn)行分析,前面的處理與立體角法相似,即以場點(diǎn)為球心作一單位球面,則影響系數(shù)表達(dá)式為面積dS在以場點(diǎn)為球心的單位球面上的投影面積。由于dS是投影到以場點(diǎn)為球心的單位球面上,一方面由幾何關(guān)系可知,在近似認(rèn)為面元較小的情況下,投影到單位球面上面元的各條邊均是過單位球球心的大圓弧。由微分幾何學(xué)的相關(guān)知識得到,球面上的所有測地線就是過球心的大圓弧的全體(可用數(shù)學(xué)方法證明),因而投影到單位球面的面元的各條邊測地曲率kg恒為0。另一方面,由于面元是投影到單位球面上,故曲面面元的高斯曲率K恒為常數(shù)1。綜合這兩方面的分析可知影響系數(shù)的表達(dá)式很好地符合了Gauss-Bonnet定理簡化后的表達(dá)式(9)的計(jì)算要求,因此可利用Gauss-Bonnet定理簡化式(9)來計(jì)算偶極子的影響系數(shù)。但同時需要注意到影響系數(shù)表達(dá)式中由于cos(n,R)并不恒為正,在計(jì)算時同樣需考慮到其符號變化。

由上述分析可知,Gauss-Bonnet定理的計(jì)算方法與立體角的計(jì)算方法在本質(zhì)上是相同的,不同的是Gauss-Bonnet定理從更基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)角度,推導(dǎo)出了投影面元面積的計(jì)算公式,從而解釋了為什么只有投影的面元邊線過大圓弧時,才能保證計(jì)算公式的準(zhǔn)確性。

3 面元角點(diǎn)符號不同時的處理

由前面的討論可知,在求解偶極子影響系數(shù)時,若面元角點(diǎn)符號均相同時,運(yùn)用立體角方法或Gauss-Bonnet定理是沒有太大問題的,而實(shí)際計(jì)算中會遇到面元角點(diǎn)符號不同的情況,這在文獻(xiàn)[4]中討論過其計(jì)算處理方法。但在這里,根據(jù)上述理論的推導(dǎo),相對于文獻(xiàn)[4]中的處理,主要針對面元角點(diǎn)有一個符號與其他符號不同時作一些修改。處理方法如下。

圖1 面元修改圖

投影面元四個角點(diǎn)的符號有一個與其他角點(diǎn)符號不同時,若沿用式(9)則會不合理。但注意到,由于離散面元在較小的局部范圍內(nèi),若有一個角點(diǎn)符號與其他三個不同,則三個相同符號所組成的三角面元的角點(diǎn)符號仍可認(rèn)為是相同的。此時處理方法如圖1所示。

當(dāng)角點(diǎn)1(或角點(diǎn)3)與其他角點(diǎn)的符號不同時,如圖1中左圖所示,此時將四邊形面元分為兩個三角形面元,在這兩個三角形面元中,由2、3、4三個角點(diǎn)所構(gòu)成三角形面元的角點(diǎn)符號可近似認(rèn)為是相同的,因此可直接應(yīng)用Gauss-Bonnet公式,其表達(dá)式為式(10)所示(式中αi不帶符號):

(10)

而另一個三角形面元的表達(dá)式則按照近似處理辦法,在文獻(xiàn)[4]有較詳細(xì)的說明,其表達(dá)式為(式中αi帶有符號):

(11)

同理對于角點(diǎn)2(或角點(diǎn)4)與其他面元角點(diǎn)符號不同時,運(yùn)用與式(10)、式(11)相同的處理辦法。相對于對四邊形面元作整個的處理,上述的處理方法,保證了面元一部分的偶極子影響系數(shù)的計(jì)算結(jié)果在理論上期的準(zhǔn)確度有所提高。

對于有兩個角點(diǎn)的符號與其他角點(diǎn)符號不同時,運(yùn)用了與文獻(xiàn)[4]中計(jì)算偶極子影響系數(shù)相同的處理辦法,即與式(7)相同的處理辦法。

以上的計(jì)算處理,與文獻(xiàn)[4]中主要的不同在于面元有一個角點(diǎn)符號與其他角點(diǎn)符號不同時,更精細(xì)地處理了偶極子影響系數(shù)的計(jì)算。從理論上,這樣處理后能夠提高偶極子影響系數(shù)理論上的計(jì)算精度。

下面通過將此種修改之后的處理方法應(yīng)用于×××槳、×××槳敞水性能計(jì)算,與修改前的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比,檢驗(yàn)此種方法的計(jì)算精度。具體對比結(jié)果如圖2、圖3所示。在所有的曲線圖中,1為應(yīng)用修改后方法的計(jì)算值,2為原計(jì)算值,3為試驗(yàn)值。

圖2 ×××敞水性能比較曲線圖

圖3 ×××敞水性能比較曲線圖

以上對×××槳和×××槳應(yīng)用修改后的方法求解的結(jié)果在某些方面更接近試驗(yàn)值,×××槳運(yùn)用修改后的計(jì)算方法所得到的結(jié)果與修改前的計(jì)算結(jié)果差別不是很大,但在設(shè)計(jì)點(diǎn)附近,修改后的計(jì)算結(jié)果要更接近試驗(yàn)值。,×××槳運(yùn)用修改后的計(jì)算方法所得到的計(jì)算結(jié)果,在Kq的計(jì)算上明顯要比修改前的計(jì)算結(jié)果更接近實(shí)驗(yàn)值,同樣在設(shè)計(jì)點(diǎn)附近,所得到的計(jì)算結(jié)果也是優(yōu)于修改前的計(jì)算結(jié)果的。但注意到,對于Kt的計(jì)算值,修改后的計(jì)算結(jié)果并不比修改前的計(jì)算結(jié)果好,而敞水效率的計(jì)算結(jié)果也沒有太大變化。初步分析,由于面元法是在離散的基礎(chǔ)上求解迭代的,理論上,網(wǎng)格劃分得越密,從幾何上看就越接近真實(shí),但同時注意到,離散得越密,以公式計(jì)算及向量描述的累積誤差則越大。因此合理的劃分網(wǎng)格,同時盡量保證面元投影到單位球面上的邊界線與過球心的大圓弧重合,對于運(yùn)用Gauss-Bonnet公式求解時的精度控制有著較大的意義,出現(xiàn)上述計(jì)算結(jié)果的誤差也是兩者的綜合作用。因此如何選擇合適的網(wǎng)格劃分,對于此類計(jì)算影響系數(shù)的方法的應(yīng)用具有很重要的意義,這也是需要進(jìn)一步分析的問題。

4 結(jié)語

總結(jié)了不同方法計(jì)算偶極子影響系數(shù),并簡要分析了這些計(jì)算方法中近似處理。詳細(xì)介紹了Gauss-Bonnet定理,從微分幾何學(xué)的角度,更本質(zhì)地揭露了偶極子影響系數(shù)計(jì)算的實(shí)質(zhì),因此對于分析計(jì)算中,由偶極子影響系數(shù)計(jì)算過程產(chǎn)生的誤差,能夠更深刻的把握,從而為提高這一部分的計(jì)算精度作了有益的探索。通過理論分析,提出了計(jì)算影響系數(shù)修改的方法,從理論上說明了其可行性,并通過對×××槳、×××槳對比計(jì)算,詳細(xì)分析了結(jié)果差異的原因,從而揭示出了面元法的計(jì)算過程中偶極子影響系數(shù)環(huán)節(jié)的誤差來源,進(jìn)一步明確了面元法在應(yīng)用過程中有關(guān)偶極子影響系數(shù)計(jì)算方面需要注意的問題。

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Calculation and Analysis of Dipole Influence Coefficient in Surface Panel Method

LI Hongtao1YANG Yong2

(1. Administrative Office of Training, Naval University of Engineering, Wuhan 430033)(2. Navy Representative Office in Shanghai Jiangnan Shipyard(Group) Co., Ltd, Shanghai 201913)

Different methods used in the calculation of dipole influence coefficient were analyzed and the Gauss-Bonnet theory was introduced in detail. The approximate treatment applied to these methods was discussed and the error result from the treatment was analyzed. Then a modified calculation about dipole influence coefficient based on Gauss-Bonnet theory was proposed. The modified method was used in surface panel method, and the propellers DTMB××× and DTMB××× were analyzed by the surface panel method. The result was compared to the calculation without modification. In the end, the error induced by the calculation of dipole influence coefficient was discussed.

surface panel method, dipole, influence coefficient, Gauss-Bonnet theory

2014年9月14日,

2014年11月3日

李洪濤,男,工程師,研究方向:裝備綜合保障。

TP206

10.3969/j.issn1672-9730.2015.03.011