關(guān)于求積公式序列收斂性的注記

錢　江，　鄭蘇娟，　王　凡，　吳云標(biāo)

(1.河海大學(xué)理學(xué)院，南京210098；　2.南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院基礎(chǔ)課部，南京210031；

3.河海大學(xué)文天學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽馬鞍山243031)

關(guān)于求積公式序列收斂性的注記

錢江1，鄭蘇娟1，王凡2，吳云標(biāo)3

(1.河海大學(xué)理學(xué)院，南京210098；2.南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院基礎(chǔ)課部，南京210031；

3.河海大學(xué)文天學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽馬鞍山243031)

[摘要]利用Romberg遞推求積算法，證明當(dāng)子區(qū)間數(shù)目趨于無(wú)窮大時(shí)，復(fù)化求積公式序列一致收斂于積分真值，證明過(guò)程與插值型求積公式序列如Gauss型求積公式序列一致收斂不同.

[關(guān)鍵詞]一致收斂; 求積余項(xiàng); 復(fù)化求積公式序列; 插值型求積公式

1引言

數(shù)學(xué)分析[1]課程中，函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的“收斂性”與“一致收斂性”是初學(xué)者在學(xué)習(xí)時(shí)容易困惑的知識(shí)點(diǎn). 近年來(lái)，人們對(duì)函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性問(wèn)題進(jìn)行了一些研究. 葛仁福[2]結(jié)合一致連續(xù)的性質(zhì)，得到了函數(shù)列一種新的一致收斂判別法. 傅湧[3]利用等度連續(xù)性, 得出了某些閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)列一致收斂的充要條件, 進(jìn)而推廣了Dini定理.劉江蓉[4]通過(guò)典型例子,從不同角度解析函數(shù)列一致收斂性的概念, 并分析其應(yīng)用性質(zhì).

然而，關(guān)于函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性與其它學(xué)科理論聯(lián)系的研究值得思考，如徐業(yè)基[5]改進(jìn)了平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的采樣定理，并給出了其一致收斂速度與誤差估計(jì). 這種理論應(yīng)用研究開(kāi)闊了人們認(rèn)識(shí)一致收斂性的視野. 鑒于此，作者研究“一致收斂性”在數(shù)值分析[6]與數(shù)值逼近[7]中的作用. 主要內(nèi)容包括分段低次插值序列一致收斂性問(wèn)題[8]，與求積公式序列是否收斂于積分真值等. 本文主要研究后者，具體而言圍繞如下兩問(wèn)題展開(kāi).

問(wèn)題1Newton-Cotes公式序列是否收斂于積分的真值？

問(wèn)題2對(duì)于f(x)∈CI復(fù)化梯形與Simpson公式序列是否都收斂于積分的真值？

2一致收斂性

定義2.1[1]設(shè)函數(shù)列{an(x)}與函數(shù)f(x), x∈D, 若?ε>0,?N(ε)∈N,使得當(dāng)n>N時(shí)，對(duì)一切x∈D都有

|an(x)-f(x)|<ε,

則稱函數(shù)列{an(x)}在D上一致收斂于f(x), 記作

根據(jù)下文需要，先回顧數(shù)值逼近[2]或數(shù)值分析[3]中一元Lagrange插值多項(xiàng)式理論.

定理2.1[6,7]設(shè)f(x)∈C(n+1), pn(x)為n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)諸xi上的n次Lagrange插值多項(xiàng)式，則有插值余項(xiàng)

(2.1)

其中

ωn+1(x)=(x-x0)…(x-xn),ξ∈(a,b).

3插值型復(fù)化求積公式序列的收斂性

問(wèn)題1Newton-Cotes公式序列是否收斂于積分的真值？

定理3.1[7]設(shè)諸互異節(jié)點(diǎn)xk,n∈[a,b](k=1,…,n),插值余項(xiàng)記為E[f],則插值型求積公式序列

代數(shù)精度至少為n-1. 若數(shù)列

定理3.2[7]令A(yù)k,n,k=0,…,n表示n+1點(diǎn)Newton-Cotes公式中的系數(shù)，則

注3.1上述定理表明，Newton-Cotes公式序列并不總是收斂于積分的真值.

問(wèn)題2對(duì)于f(x)∈C[a,b]，復(fù)化梯形公式與Simpson公式序列是否都收斂于積分的真值？

復(fù)化左矩形公式: 設(shè)

f(x)∈C1[a,b],a=x0

(3.1)

復(fù)化右矩形公式: 設(shè)

f(x)∈C1[a,b],a=x0

(3.2)

復(fù)化梯形公式[6,7]: 設(shè)

f(x)∈C2[a,b],a=x0

(3.3)

復(fù)化Simpson公式[6,7]: 設(shè)

k=0,1，…,n,m=0,1,…,n-1,

(3.4)

由上述求積余項(xiàng)序列一致收斂性易知

然而上述結(jié)論成立對(duì)函數(shù)f(x) 的光滑性條件要求頗高，更進(jìn)一步，有

定理3.3設(shè)f(x)∈C1[a,b],則復(fù)化梯形與Simpson公式序列也都收斂于積分真值.

證由題設(shè)知，由于?M>0，使得復(fù)化左矩形與右矩形公式的求積余項(xiàng)序列

故由函數(shù)列一致收斂的Weierstrass判別法知，求積余項(xiàng)序列都一致收斂于0，從而

又由于

故在題設(shè)條件下復(fù)化梯形與Simpson公式序列也都一致收斂于積分真值.

注3.2按Romberg遞推求積算法得到的復(fù)化求積序列一致收斂于積分真值.

值得注意的是，隨著子區(qū)間數(shù)n趨于無(wú)窮大, 能收斂于積分真值的求積公式除了上述復(fù)化求積序列，還有Gauss型求積公式，即具有2n+1次代數(shù)精度的插值型求積公式. 關(guān)于其收斂性的理論證明主要借助于Weierstrass逼近定理與其較高的代數(shù)精度性質(zhì).

定理3.4[7]設(shè)f(x)∈C[a,b].Gauss型求積公式序列

事實(shí)上，由Weierstrass逼近定理, ?ε1>0, ?N=N(ε1)∈使得

|f(x)-qN(x)|<ε1,x∈[a,b].

記

若n>N,由求積公式對(duì)qN(x)精確成立，則當(dāng)n>N時(shí)，由Gauss型求積系數(shù)為正數(shù)，

注3.3定理3.4 證明過(guò)程表明，對(duì)于插值型求積公式，若f(x)∈C[a,b],且諸求積系數(shù)為正，則求積公式序列收斂于積分的真值. 這與按Romberg遞推求積算法得到的復(fù)化求積序列一致收斂于積分真值的證明不同.

[參考文獻(xiàn)]

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(下冊(cè))[M].4版. 高等教學(xué)出版社, 2010.

[2]葛仁福. 函數(shù)列一致收斂判別法[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2011, 27(4): 179-181.

[3]傅湧. 有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)列一致收斂的充要條件[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2007, 23(3): 117-120.

[4]劉江蓉. 淺論函數(shù)列的一致收斂性[J]. 高等數(shù)學(xué)研究, 2009, 12(5): 47-48.

[5]徐業(yè)基. 關(guān)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的采樣定理的一致收斂速度[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2009, 25(6): 48-51.

[6]李慶揚(yáng), 王能超, 易大義. 數(shù)值分析[M]. 5版. 北京：清華大學(xué)出版社, 2008.

[7]王仁宏. 數(shù)值逼近[M]. 北京：高等教學(xué)出版社, 1999.

[8]錢江. 分段低次插值多項(xiàng)式序列的一致收斂性[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2014, 4(30): 7-11.

TheNotationonConvergenceofCubatureFormulaSequences

QIAN Jiang1,ZHENGSu-juan1,WANGFan2,WUYun-biao3

(1.CollegeofSciences,HohaiUniversity,Nanjing210098,China;

2.CollegeofEngineering,NanjingAgriculturalUniversity,Nanjing210031,China;

3.BasicResearchDepartment,HohaiUniversityWentianCollege,MaanshanAnhui243031,China)

Abstract:BymeansofRombergrecurrencecubaturealgorithm,compositecubatureformulasequencesareillustratedtoconvergetotheintegraluniformlyasthenumberofsubintervalsapproachesInfinite,theproofofwhicharedifferentfromthatofinterpolatingcubatureformulasequences,suchasGaussiantypecubatureformula.

Keywords:uniformconvergence;residualitemofcubature;compositecubatureformulasequence;interpolatingcubatureformula

[中圖分類號(hào)]O171

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)04-0049-04