張建剛，　申　冉

(1.上海師范大學數(shù)學系，上海200234;　2.東華大學理學院，上海201620)

線性流形的性質(zhì)

張建剛1，申冉2

(1.上海師范大學數(shù)學系，上海200234;2.東華大學理學院，上海201620)

[摘要]線性流形作為n維數(shù)組向量空間的子集合， 與線性方程組的解和n維數(shù)組向量空間的子空間有著密切的聯(lián)系.通過討論線性流形的一些基本性質(zhì)，研究其與線性方程組的解，線性子空間的關系，從而加深對這一概念的理解.

[關鍵詞]線性流形； 線性方程組； 子空間

1引言

線性方程組是線性代數(shù)的一個核心內(nèi)容.眾所周知，齊次線性方程組AmnX=0的解是n維數(shù)組向量空間的一個線性子空間.而非齊次線性方程組AmnX=b(≠0)的解集合不是一個子空間，是n維數(shù)組向量空間的一個線性流形.對于線性流形的研究，可以幫助我們進一步了解線性方程組解的結構.

在本文中，首先給出n維數(shù)組空間的線性流形一個整體刻畫.然后研究線性流形和線性子空間的關系，線性流形之間的運算，以及它們和相應的線性方程組的解的關系.上述工作，有助于我們理解方程組解的結構和性質(zhì)，同時，加深對于線性流形的理解和認知.

文中所有術語，可參見文獻[1]和[2].

2線性流形的性質(zhì)

定義2.1[1]設V是數(shù)域K上n維數(shù)組向量空間(以下簡稱n維數(shù)組空間)，Y是向量空間V的非空子集. 對任意的α,β∈Y，若

L={kα+lβ|k+l=1,k,l∈K}?Y，

則稱Y是向量空間V的一個線性流形.

n維數(shù)組空間V的線性子空間顯然是V上的線性流形，{0}和V稱為平凡的線性流形，若線性流形Y不等于{0}和V，稱為非平凡的線性流形.

定理2.2設V是數(shù)域K上n維數(shù)組空間，Y?V，則下列情形等價：

(i) Y是向量空間V的一個線性流形.

(ii) 存在V中唯一一個線性子空間W，使得

Y=α0+W={α0+η|η∈W}，

其中α0是Y中任意取定的元素，并設dimW=r.

(iii) Y是某一線性方程組AX=b的解集合，其中A是(n-r)×n階矩陣，且rankA=n-r.

(iv) 存在α0,α1,…,αr∈Y，使得

證(i)(ii). 任取α0∈Y，令W={α-α0|α∈Y}，只需證明W是V的一個子空間.首先，0=α0-α0∈W≠?.設α1-α0,α2-α0∈W，由線性流形的定義不難看到，，且

所以有

(α1-α0)+(α2-α0)=(α1+α2-α0)-α0∈W.

另一方面，對任意的α-α0∈W和k∈K，kα+(1-k)α0∈Y，且

k(α-α0)=(kα+(1-k)α0)-α0∈W，

故W是V的一個子空間，且Y=α0+W.

再證W的唯一性，假設存在另外一個線性子空間W1，使得Y=α1+W1，其中α1∈Y.則α0∈α1+W1，從而存在β∈W1，使得α0=α1+β.進一步，對任意的γ∈W，

α0+γ=α1+β+γ∈α1+W1，

即β+γ∈W1.因為W1是線性子空間，所以γ∈W1，從而W?W1.反包含同理可以證明，所以W=W1.

(ii)(iii). 設W的一組基為

(Ⅰ)

以上述列向量組構造齊次線性方程組

(1)

容易知道該方程組是有解的，且基礎解系中向量個數(shù)為n-r.不妨假設

(Ⅱ)

為方程組(1)的基礎解系.再以列向量組(Ⅱ)構造齊次線性方程組

(2)

容易看到向量組(Ⅰ)就是方程組(2)的一個基礎解系.令

則rankA=n-r，且W是齊次線性方程組AX=0的解空間.進一步，若Aα0=b，則易知方程組AX=b的解集合為Y=α0+W.

(iii)(iv). 設Y是線性方程組AX=b的解集合，其中A是(n-r)×n階矩陣，且rankA=n-r.若b=0，即方程組為齊次線性方程組.設α1,α2,…,αr是該方程組的基礎解系，對任意的α∈Y，存在k1,k2,…,kr∈K，使得

α=k1α1+k2α2+…krαr，

進一步，令α0=0，

α=(1-k1-k2-…-kr)α0+k1α1+k2α2+…krαr，

令k0=1-k1-k2-…-kr，則在此種情形下，結論成立.

若b≠0，即方程組AX=b為非齊次線性方程組.令γ0是方程組的一個特解，η1,η2,…,ηr是相應的導出組AX=0的基礎解系.顯然有γ0,γ0+η1,γ0+η2,…,γ0+ηr∈Y，下證γ0,γ0+η1,γ0+η2,…,γ0+ηr線性無關. 首先，注意到γ0,η1,η2,…,ηr線性無關.事實上，若存在k0,k1,k2,…,kr∈K，使得

k0γ0+k1η1+k2η2+…+krηr=0，

則

0=A0=k0Aγ0+k1Aη1+k2Aη2+…+krAηr=k0b.

由于b≠0，所以k0=0.進一步，由于η1,η2,…,ηr線性無關，所以

k1=k2=…=kr=0.

設

l0γ0+l1(γ0+η1)+l2(γ0+η2)+…+lr(γ0+ηr)=0，

即得到

(l0+l1+…+lr)γ0+l1η1+l2η2+…+lrηr=0，

由前面的事實可以得到，li=0,i=0,1,…r.所以γ0,γ0+η1,γ0+η2,…,γ0+ηr線性無關.

設γ是非齊次線性方程組AX=b的任一解，則γ-γ0是它的導出組AX=0的解，所以存在k1,k2,…,kr∈K，使得

即

(iv)(i). 任意的α,β∈Y，不妨假設

γ=k(k0α0+k1α1+…+krαr)+l(l0α0+l1α1+…+lrαr)

=(kk0+ll0)α0+(kk1+ll1)α1+…+(kkr+llr)αr.

而其中系數(shù)

(kk0+ll0)+(kk1+ll1)+…+(kkr+llr)

=k(k0+k1+…+kr)+l(l0+l1+…+lr)=k+l=1.

從而γ∈Y，所以Y是一個線性流形.

下面討論線性流形和向量空間V的線性子空間的關系.

定理2.3設Y(=α0+W)是一個線性流形，則下列命題等價：

(i) Y不是一個線性子空間.

(ii) 0?Y.

(iii) Y∩W=?.

(iv) 對任意的α,β∈Y，α+β?Y.

證(i)(ii). 若0∈Y，則Y=0+W=W是一個線性子空間，矛盾，故0?Y.

(ii)(iii). 若Y∩W≠?，即存在元素α∈Y∩W，由線性流形的定義可知，Y=α+W， 從而α+(-α)=0∈Y，矛盾，故Y∩W=?.

(iii)(iv). 設α,β∈Y，不妨假設α=α0+α1,β=α0+α2,α1,α2∈W.若α+β∈Y，則存在α3∈W，使得

α+β=(α0+α1)+(α0+α2)=2α0+(α1+α2)=α0+α3，

所以α0=α3-(α1+α2)∈W，這與Y∩W=?矛盾.

(iv)(i). 為顯然.

推論2.4設Y(=α0+W)是一個線性流形，則Y是一個線性子空間當且僅當0∈Y，當且僅當Y∩W=W.

推論2.5設Y(=α0+W)是一個線性流形，則Y∩W=?或者Y∩W=W.

命題2.6設Y1=α1+W,Y2=α2+W分別是兩個線性流形，則Y1∩Y2=?當且僅當α1-α2?W.

證由定理2.2的證明可知，Y1,Y2可以分別看做線性方程組AX=b1和AX=b2的解集合，且共同導出組AX=0的解空間為W. 若Y1∩Y2=?，即AX=b1和AX=b2沒有公共解，則必有α1-α2?W，否則α1-α2是導出組的解，令α1-α2=α0∈W，則α1=α0+α2，必有α1也是方程組AX=b2的解，矛盾.反之，若α1-α2?W，則必有Y1∩Y2=?.否則，AX=b1和AX=b2有公共解α，則b1=b2，從而Y1=Y2，α1-α2∈W，矛盾.

推論2.7設Y1=α1+W,Y2=α2+W分別是兩個線性流形，則Y1∩Y2=?或者Y1=Y2.

引理2.8[1]兩個真子空間的并不可能是整個向量空間.

命題2.9兩個非平凡的線性流形的并不可能是整個向量空間V.

證設Y1,Y2是V的兩個線性流形，且滿足{0}?Yi?V,i=1,2.若Y1,Y2均為V的真子空間，由引理2.8，Y1,Y2的并不可能為V.下面考察Y1,Y2不同時為子空間的情形，由定理2.3，也即0?Y1∩Y2.若V=Y1∪Y2，則0∈Y1,0∈Y2必有且僅有一個成立，不妨假設0∈Y1，即Y1是V的一個真子空間，Y2不是子空間.取α∈Y2,α?Y1，且視Y2為某一線性方程組AX=b的解空間.由于0?Y2，故b≠0.另一方面，由定理2.3，α+α=2α?Y2，則2α∈Y1.因為Y1是V的一個真子空間，所以α∈Y1，與前提矛盾.故V的兩個非平凡的線性流形的并不可能是整個向量空間.

推論2.10設Y是一個線性流形，則VY不是一個線性流形.

設Y1,Y2是V的兩個線性流形，定義

Y1+Y2={α1+α2|α1∈Y1,α2∈Y2}，

稱為兩個線性流形Y1,Y2的和.

命題2.11設Y1=α1+W1,Y2=α2+W2分別是兩個線性流形， 則Y1∩Y2,Y1+Y2也是線性流形.

證由定理2.2，分別視Y1,Y2為線性方程組A1X=b1,A2X=b2的解集合，則Y1∩Y2是線性方程組

的解集合，從而也是一個線性流形.又

Y1+Y2=α1+W1+α2+W2=α1+α2+W1+W2，

因為W1+W2也是一個線性子空間，故Y1+Y2也是一個線性流形.

定義2.12設Y=α0+W是一個線性流形，若dimW=r，稱r為線性流形Y的維數(shù), 記作dimY=r.

命題 2.13設Y1=α1+W1,Y2=α2+W2分別是兩個線性流形，則

dim(Y1+Y2)=dimY1+dimY2-dim(Y1∩Y2).

證根據(jù)線性流形維數(shù)的定義顯然有

dimY1=dimW1,dimY2=dimW2，dim(Y1+Y2)=dim(W1+W2).

假設Y1,Y2分別為線性方程組A1X=b1,A2X=b2的解集合，由定理2.2，W1,W2分別為相應的導出組A1X=0,A2X=0的解空間.另一方面，Y1∩Y2是線性方程組

的解集合，并假設Y1∩Y2=α0+W0，則W0是方程組

的基礎解系，顯然有W0=W1∩W2，所以dim(Y1∩Y2)=dim(W1∩W2).由向量空間的維數(shù)公式易知

dim(Y1+Y2)=dimY1+dimY2-dim(Y1∩Y2).

注2.14設Y1=α1+W1,Y2=α2+W2分別是兩個線性流形，分別為線性方程組A1X=b1,A2X=b2的解集合. 因為Y1+Y2=α1+α2+W1+W2也是線性流形，故它也是某個線性方程組的解集合.由定理2.2的證明不難看到，Y1+Y2可以看作線性方程組AX=b的解集合，其中系數(shù)矩陣A的行向量為方程組WX=0的基礎解系，而W1+W2的一組基恰為W的行向量，且A(α1+α2)=b.

注2.15線性流形的并一般不是線性流形.在V中任取兩個向量α,β，二者不成比例.令Y1=L(α),Y2=L(β)，則Y1,Y2是兩個線性子空間，而(0∈)Y1∪Y2顯然不是一個子空間，由推論2.4，Y1∪Y2不是一個線性流形.

[參考文獻]

[1]陳志杰. 高等代數(shù)與解析幾何(上)[M]. 北京：高等教育出版社，2000.

[2]易忠. 高等代數(shù)與解析幾何(上)[M]. 北京：清華大學出版社，2007.

[3]彭剛，翟瑩. 線性流形及其有關性質(zhì)[J]. 湖北第二師范學院學報，2008, 25(8): 15-16.

PropertiesofLinearManifolds

ZHANG Jian-gang1，SHEN Ran2

(1.DepartmentofMathematics,ShanghaiNormalUniversity，Shanghai200234,China;

2.CollegeofScience，DonghuaUniversity,Shanghai201620,China)

Abstract:Alinearmanifoldisasubsetofan-dimensionalvectorspace.Ithasclosecontactwiththesolutionsofsystemsoflinearequations,andthesubspacesofn-dimensionalvectorspace.Bysomepropertiesoflinearmanifoldsgiveninthispaper,theauthorsgettherelationsoflinearmanifolds,thesolutionsofsystemsoflinearequations,andthesubspacesofn-dimensionalvectorspace,thenwehaveabetterunderstandoflinearmanifolds.

Keywords:linearmanifold；systemoflinearequations；subspace

[中圖分類號]O151.2

[文獻標識碼]A

[文章編號]1672-1454(2015)04-0090-05