如何判斷相對(duì)面

□趙國(guó)瑞

在學(xué)習(xí)《幾何圖形初步》一章時(shí)，我們會(huì)遇到一類判斷正方體或其表面展開(kāi)圖的相對(duì)面的問(wèn)題.對(duì)于這類問(wèn)題，很多同學(xué)不知從何下手，其實(shí)只要能抓住正方體或其表面展開(kāi)圖的一些基本特征，解答此類問(wèn)題并不困難.

一、已知一個(gè)正方體的三種不同的擺法或從三個(gè)不同角度觀察到的圖形判斷相對(duì)面

圖1

如圖1，一個(gè)正方體的6個(gè)面上分別標(biāo)有字母A、B、C、a、b、c，其中A的對(duì)面是a，B的對(duì)面是b，C的對(duì)面是c.觀察圖1可知，與A相鄰的4個(gè)面是：B、b、C、c，與B相鄰的4個(gè)面是：A、a、C、c，與a相鄰的4個(gè)面是：B、b、C、c.

思考1：與A、a相鄰的4個(gè)面都是B、b、C、c，而A、a是一對(duì)相對(duì)面據(jù)此你有什么發(fā)現(xiàn)？

結(jié)論1：與某4個(gè)面都相鄰的兩個(gè)面是一對(duì)相對(duì)面.

思考2：與A相鄰的4個(gè)面是B、b、C、c，與B相鄰的4個(gè)面是：A a、C、c，因此與A、B都相鄰的面是C c，而C、c是一對(duì)相對(duì)面，據(jù)此你又有什么發(fā)現(xiàn)？

結(jié)論2：與兩個(gè)相鄰面都相鄰的兩個(gè)面是一對(duì)相對(duì)面.

由此我們可以得到判斷正方體相對(duì)面的兩種方法.

例1有一個(gè)正方體，6個(gè)面上分別寫有數(shù)字1、2、3、4、5、6，有三個(gè)人從不同的角度觀察的結(jié)果如圖所示.如果記6的對(duì)面的數(shù)字為a，的對(duì)面的數(shù)字為b，那么a＋b的值為（）

圖2

A.3B.7

C.8D.11

解析：由圖2①和圖2②知與1相鄰的面是2、3、4、6，可知面5必然是面1的相對(duì)面.

由圖2②和圖2③知，與3相鄰的面是1、2、4、5，可知面6必然是面3的相對(duì)面.

剩下的2與4當(dāng)然是相對(duì)面了.于是a＝3，b＝4，a＋b＝7.選B.

例2一個(gè)立方體木塊的6個(gè)面分別標(biāo)有1、2、3、4、5、6.圖3是從不同的方向觀察這個(gè)立方體木塊看到的數(shù)字情況，數(shù)字1、數(shù)字5對(duì)面的數(shù)字和是________.

圖3

解析：由圖3①和圖3②可知與1、2都相鄰的面是4、5，由結(jié)論2可知4與5是一對(duì)相對(duì)面.由圖3②和圖3③可知與1、4都相鄰的面是2、6，由結(jié)論2可知2與6是一對(duì)相對(duì)面.剩下的1與3是相對(duì)面.于是數(shù)字1、數(shù)字5對(duì)面的數(shù)字和是7.

二、已知一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖判斷相對(duì)面

正方體的表面展開(kāi)圖一共有11種：

1.“1-4-1”型.如圖4（1）-（6），有4個(gè)面處在同一行，其余兩個(gè)面分別位于這一行的兩側(cè).

2.“2-3-1”型.如圖4（7）-（9），有3個(gè)面在一行，其余3個(gè)面分別位于兩側(cè).

3.“2-2-2”型.如圖4（10），每行有兩個(gè)面，形成“階梯形”.

4.“3-3”型.如圖4（11），共有兩行，每行3個(gè)面，且兩行之間只有一個(gè)面有公共邊.

圖4

觀察圖4我們發(fā)現(xiàn)，正方體的相對(duì)面有兩種類型：一類是位于同一行（或同一列），中間間隔一個(gè)面的兩個(gè)面是相對(duì)面.如圖4（1）中的2個(gè)b位于同一行，中間間隔一個(gè)面c，它們是相對(duì)面，2個(gè)c也位于同一行，中間間隔一個(gè)面b，它們是相對(duì)面.再如圖4（7）中有2個(gè)b位于同一列，中間間隔一個(gè)面c，它們是相對(duì)面.

另一類是位于同一行（或同一列）的兩側(cè)，且與該行（或列）中的某一面有一條公共邊的兩個(gè)面是相對(duì)面.如圖4（5）中第1行的a與第2行中的c有一條公共邊，第3行的a與第2行中的b有一條公共邊，它們是相對(duì)面.再如圖4（10）中第2列的c與第3列的a有一條公共邊，第4列的c與第3列的b有一條公共邊，它們是相對(duì)面.

說(shuō)明：本文中的第幾行是指從上至下數(shù)第幾行，第幾列是指從左至右數(shù)第幾列.

由此我們得到判斷正方體表面展開(kāi)圖相對(duì)面的兩種方法：

結(jié)論3：位于同一行（或同一列），中間間隔一個(gè)面的兩個(gè)面是相對(duì)面.

結(jié)論4：位于同一行（或同一列）的兩側(cè)，且與該行（或列）中的某一面有一條公共邊的兩個(gè)面是相對(duì)面.

圖5

例3如圖5是正方體的展開(kāi)圖，則原正方體相對(duì)兩個(gè)面上的數(shù)字和最小的是（）.

A.4B.6

C.7D.8

解析：2與6位于同一列，它們之間相隔一個(gè)面5，由結(jié)論3知，面與面6是相對(duì)面.面3與面4位于第2列的兩側(cè)，且面3與第2列中的面5有一條公共邊，面4與第2列中的面2有一條公共邊，由結(jié)論4知，面與面4是相對(duì)面.剩下的面1與面是相對(duì)面.

由于相對(duì)面上的數(shù)字和分別為2＋6＝8，3＋4＝7，1＋5＝6，因此最小的是6，答案選B.