一個(gè)新的時(shí)滯線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件

張怡林，朱育志，劉士亞

（1.廣東煥泰電力建設(shè)有限公司，廣東佛山528000；2.廣東立勝電力設(shè)備公司，廣東佛山528000；3.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院自動(dòng)化系，廣東佛山528000）

時(shí)滯現(xiàn)象在物理和生物系統(tǒng)中及實(shí)際生產(chǎn)生活中廣泛存在，如系統(tǒng)信號(hào)的量測(cè)（特別是復(fù)雜的在線分析儀）、長(zhǎng)管道進(jìn)料或皮帶傳輸、緩慢的化學(xué)反應(yīng)過(guò)程等，也常見(jiàn)于電路、光學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、生物環(huán)境、數(shù)據(jù)網(wǎng)絡(luò)及冶金工業(yè)、建筑結(jié)構(gòu)、機(jī)械傳動(dòng)等領(lǐng)域。由于應(yīng)用背景廣泛，一直深受眾多研究者的關(guān)注［1-2］。時(shí)滯系統(tǒng)分析方法主要有2類，1）特征方程根在復(fù)平面上位置的判斷［3-4］；2）基于計(jì)算機(jī)數(shù)值分析工具的Lyapunov穩(wěn)定性分析法［5-6］。對(duì)于一維時(shí)滯系統(tǒng)，還可以應(yīng)用Lambert方程分析［3］。

本文針對(duì)一維時(shí)滯線性系統(tǒng)，采用基于復(fù)變函數(shù)的幾何方法，研究其穩(wěn)定條件。所給出的結(jié)論是充分必要條件，不存在任何保守性。文獻(xiàn)［4］也給出了一個(gè)充分必要條件，與之比較，本文結(jié)論有2個(gè)方面的改進(jìn)：1）證明過(guò)程簡(jiǎn)潔；2）結(jié)論簡(jiǎn)明，給出的表達(dá)式不需要試算和驗(yàn)算，是直接的結(jié)果。文末給出的數(shù)值例子證明了該方法的有效性，并與相關(guān)研究結(jié)果進(jìn)行了比較。

1 標(biāo)量時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

1.1 時(shí)滯無(wú)關(guān)穩(wěn)定性

考慮標(biāo)量時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性

式（1）中，x（t）（t≥0）為系統(tǒng)的狀態(tài)；a，b∈R 為實(shí)常數(shù)；h≥τi＞0（i=1，2…，∞），τi為系統(tǒng)的時(shí)滯，h 為系統(tǒng)可能的最大時(shí)滯。設(shè)系統(tǒng)（1）在t∈［-h，0］的狀態(tài)是確定的（可以是未知的）。

引理 1［5］設(shè) F（jω）=jω-a-b e-jτω，標(biāo)量時(shí)滯系統(tǒng)（1）穩(wěn)定的充要條件是

令 θ=ωτ，則（2）式可改寫為

于是有

因此，引理1成立等價(jià)于

定義圓C：z=e-jθ，則引理1等價(jià)于L1與C在復(fù)平面上無(wú)交點(diǎn)，如圖1所示。

定理1 設(shè)a＜0，系統(tǒng)（1）全時(shí)滯穩(wěn)定的充要條件是

證明 下面分別證明充分性和必要性。

證明 設(shè)直線L與圓C的交點(diǎn)為P（x，j y），有

圖1 復(fù)平面上的直線與單位圓

從圖1可以看出，L1位于單位圓之外。由引理1知，系統(tǒng)穩(wěn)定。

下面兩種情況值得注意，特此作如下說(shuō)明。

（1）Hale［4］給出了結(jié)論需要首先假定一個(gè)值，然后用假定值去解一個(gè)方程，再驗(yàn)算2個(gè)不等式，如果不滿足，則再假定，重復(fù)至滿意的結(jié)果為止。

（2）文獻(xiàn)［3］的結(jié)果可用MATLAB平臺(tái)提供的函數(shù)lambertw()計(jì)算，同樣需要先假定后驗(yàn)算，而本文結(jié)果是直接得到的。

1.2 實(shí)例

例1考慮下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性

證明 相關(guān)研究成果如表1所示。由定理1知，子系統(tǒng)x1（t）是全時(shí)滯穩(wěn)定的，可知 x1（t）有界。由文獻(xiàn)［12］知，穩(wěn)定系統(tǒng)在有界輸入作用下仍然穩(wěn)定，故系統(tǒng)穩(wěn)定需且只需x˙2（t）=-0.9x2（t）-x2（t-τ）穩(wěn)定。

由定理2知

表1 例1穩(wěn)定條件比較

2 小結(jié)

運(yùn)用復(fù)變函數(shù)理論及幾何方法得到了一維時(shí)滯線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，本文結(jié)論的證明過(guò)程和表達(dá)形式均較以往文獻(xiàn)簡(jiǎn)潔，所以更適合工程應(yīng)用。最后給出的實(shí)例表明了本文方法是有效的。

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